2025年湖北省初中学业水平考试数学模拟卷(二)（原卷版+解析版）

这是一份2025年湖北省初中学业水平考试数学模拟卷(二)（原卷版+解析版），共33页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题(共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1. 下列四个数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）

A. 热B. 爱C. 中D. 国
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A. B. C. D.
5. 已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C D.
6. 下列说法中正确的是（ ）
A. “若a是实数，则”是必然事件
B. 成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件
C. “武汉市明天降雨的概率为0.6”，表示武汉市明天一定降雨
D. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次
7. 《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（ ）
A. 平方步B. 平方步C. 120平方步D. 240平方步
8. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，，垂足分别为M，N，点G，H分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A. 12B. 8C. D. 10
9. 如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若点，为函数图象上的两点，则
二、填空题(共5题，每题3分，共15分)
11. 一个一次函数过点，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的一次函数解析式______
12. 在，，，这4个数中随机选择1个数，是无理数的概率是______．
13. 一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，kg/m3，当V＝40m3时，______kg/m3．
14. 化简：______．
15. 如图，在菱形中，，，点E、F分别在、上，且，连接、交于点G，则的度数为______，四边形面积的最大值为______．
三、解答题(共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. 解不等式组：
17. 如图，在中，点F在边上，，连接，O为的中点，的延长线交边于点E，连接．求证：四边形是菱形．
18. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
19. 巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）根据以上信息可以求出：a＝ ，b＝ ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
（3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数图象上．
（1）求k与m的值；
（2）连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
21. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
22. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示.
(1)求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.
23. 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，．
（1）【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ；
（2）【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：；
（3）【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长．
24. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
2025年湖北省初中学业水平考试数学模拟卷(二)
本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题(共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1. 下列四个数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是无理数的概念，无理数即无限不循环小数，它的表现形式为：开方开不尽的数，与π有关的数，无限不循环小数．
根据无理数的定义，即可得出符合题意的选项．
【详解】解：，，是有理数，是无理数，
故选：D．
2. 如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）

A. 热B. 爱C. 中D. 国
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答即可．
【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，则与“我”字相对的字是“爱”，与“们”字相对的字是“中”，与“国”字相对的字是“热”，
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误；
B、，原选项计算正确；
C、，原选项计算错误；
D、，原选项计算错误；
故选B．
4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
5. 已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选：A．
6. 下列说法中正确的是（ ）
A. “若a是实数，则”是必然事件
B. 成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件
C. “武汉市明天降雨的概率为0.6”，表示武汉市明天一定降雨
D. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件的分类和概率的意义进行解答即可，此题考查了事件的分类、概率的意义，熟练掌握事件的分类、概率的意义是解题的关键．
【详解】解：A．“若a是实数，则”是必然事件，故选项符合题意；
B．成语“刻舟求剑”所描述的事件，是不可能事件，故选项不符合题意；
C．“武汉市明天降雨的概率为”，武汉市明天不一定降雨，故选项不符合题意；
D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故选项不符合题意．
故选：A．
7. 《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（ ）
A. 平方步B. 平方步C. 120平方步D. 240平方步
【答案】C
【解析】
【分析】先求出扇形所在圆的半径，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：∵扇形所在圆的直径是16步，
∴扇形所在圆的半径是8步，
∵弧长是30步，
∴扇形的面积是×8×30=120（平方步），
即这块田面积为120平方步，
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算和弧长计算，注意：扇形的面积=×弧长×半径．
8. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，，垂足分别为M，N，点G，H分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A. 12B. 8C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可．
【详解】解：根据题意，可知平分，
∵，，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
9. 如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与旋转，坐标与平移，先求出菱形绕其对角线的交点为，旋转得到点的对应点为，再根据点的平移：左减右加，上加下减即可得出结果．
【详解】解：由图和题意可知，，
设菱形的对角线的交点为，则：为点的中点，
∴，
∴
设旋转后点的对应点为，则：，
∴，
将再向右平移3个单位，得到，即：；
故选C．
10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若点，为函数图象上的两点，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与轴的交点情况判断A，根据对称轴，增减性判断B，D，根据抛物线上点的坐标特点判断C．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点，
，即，选项A不正确；
抛物线的对称轴是直线，
∴，
，选项B不正确；
点，对称轴为直线，
抛物线的对称轴是直线，
∴，
∵
∴，选项C不正确；
关于直线的对称点坐标为，
当时，随的增大而减小，，
，选项D正确；
故选：D．
二、填空题(共5题，每题3分，共15分)
11. 一个一次函数过点，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的一次函数解析式______
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据题意及函数的性质可进行求解．
【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大，可知该函数可以为，
∴，
解得：，
∴一次函数为：（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
12. 在，，，这4个数中随机选择1个数，是无理数的概率是______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，无理数的定义，根据无理数的定义得出在4个数中，无理数有π，一共2个，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：在4个数中，无理数有，一共2个，
∴这4个数中随机选择1个数，是无理数的概率是：，
故答案为：
13. 一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，kg/m3，当V＝40m3时，______kg/m3．
【答案】0.68
【解析】
【分析】直接利用已知设，进而代入已知数据得出答案；
【详解】解：设，当V＝20m3时，kg/m3，
∴，
解得：，
∴当V＝40m3时，把代入得：（kg/m3），
故答案为：0.68．
【点睛】此题主要考查了反比例函数应用，正确得出函数关系式是解题关键．
14. 化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的除法运算，把除法化为乘法运算，再约分即可．
【详解】解：；
故答案为：
15. 如图，在菱形中，，，点E、F分别在、上，且，连接、交于点G，则的度数为______，四边形面积的最大值为______．
【答案】 ①. ##度 ②.
【解析】
【分析】如图，连接，证明．可得．，证明点B，C，D，G四点共圆．如图，连接交于，过作于，过作于，可得当经过圆心O时，取得最大值，取得最大值，四边形面积取得最大值，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵四边形是菱形，，
∴为等边三角形，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴点B，C，D，G四点共圆．
如图，连接交于，过作于，过作于，
∴四边形面积，
∵，，
∴当经过圆心O时，取得最大值，取得最大值，
∴四边形面积取得最大值，
此时，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为4．
∴四边形面积取得最大值为；
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、解答题(共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可．
【详解】解：解不等式①，得．
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集是．
17. 如图，在中，点F在边上，，连接，O为的中点，的延长线交边于点E，连接．求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，由四边形是平行四边形，得到，再证明，得到，证明四边形是平行四边形，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
18. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
【答案】米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图：过A作底面的垂线，过O作，两垂线相交于C；根据角的和差和解直角三角形可得，再说明四边形是矩形可得米，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：过A作底面的垂线，过O作，两垂线相交于C,
∵米，，
∴,
∵，
∴，
∴米，
∵是垂直于水平地面，，
∴四边形矩形，
∴米，
∴点A位于最高点时到地面的距离米．
19. 巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）根据以上信息可以求出：a＝ ，b＝ ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
（3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】（1）9，10，补全图形见解析
（2）七年级更好，见解析
（3）约480人
【解析】
【分析】本题考查了统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，熟练掌握统计图，三数的计算公式是解题关键．
（1） 用（人），根据中位数的定义第13个数据是中位数，在B组中，可以确定a值，根据所占百分比最大的数据是众数，计算b；后完成统计图的补充即可．
（2）根据方差越小，越稳定解答．
（3）用总人数乘以优秀率即可得到人数．
【小问1详解】
根据题意，得C组的人数为：（人），
根据中位数的定义第13个数据是中位数，恰好在B组中，
故（分）；
∵A组所占的百分比最大，
∴众数A组中，
故（分），补充统计图如下：
故答案：9,10．
【小问2详解】
七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有480人．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上．
（1）求k与m的值；
（2）连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键．
（1）根据题意将点代入反比例函数即可求解；
（2）根据题意及反比例函数的性质得出，设直线所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求解．
【小问1详解】
解：两点在反比例函数的图象上．
∴，
∴，
将点代入得：，解得：；
【小问2详解】
∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C，
∴，
∵，
设直线所在直线的解析式为，代入得：，
解得：，
∴．
21. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
22. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示.
(1)求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.
【答案】（1）（）；（2）定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元.（3）不能销售完这批蜜柚.
【解析】
【分析】（1）根据图象利用待定系数法可求得函数解析式，再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x的取值范围；
（2）根据利润=每千克的利润×销售量，可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求得；
（3）先计算出每天的销量，然后计算出40天销售总量，进行对比即可得．
【详解】（1）设 ，将点（10，200）、（15，150）分别代入，
则，
解得 ，
∴，
∵蜜柚销售不会亏本，
∴，
又，
∴ ，
∴，
∴ ；
（2） 设利润为元，
则
=
=，
∴ 当 时， 最大为1210，
∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元；
(3) 当 时，，
110×40=4400＜4800，
∴不能销售完这批蜜柚．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键．
23. 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，．
（1）【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ；
（2）【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：；
（3）【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）的长为或．
【解析】
【分析】（）连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；
（）由（）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解；
（）点三点共线，分类讨论，推理即可求解；
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：，理由如下如图所示，连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
故答案为: ；
小问2详解】
证明：如图所示，连接，
由（）可知，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，三点共线，
由（）可知，，
由（）可知，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴（不符合题意）；
如图所示，由（）可知，，，，
∴
∴是直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴；
如图所示，连接，
根据（）中的证明可知，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
综上所述，的长为或．
24. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
【答案】（1）
（2）为定值3，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解；
（3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值．
【小问1详解】
∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
【小问3详解】
设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
课题
古代典籍数学文化探究
工具计
算器、纸、笔等
示意图
说明
图2是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
参考数据
计算
求点A位于最高点时到地面距离．（结果精确到0.1）
过程
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
a
9
八年级
8
b
课题
古代典籍数学文化探究
工具计
算器、纸、笔等
示意图
说明
图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
参考数据
计算
求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1）
过程
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
a
9
八年级
8
b