2025年中考数学二轮复习专题：二次函数中的线段计算练习

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（1）求a与m的关系式；
（2）求证：为定值；
专题讲解
例1.如图,拋物线y=与坐标轴交于A、B、C三点,对称轴与x轴交于点P,点E是x轴上方抛物线上的动点,过点E作EN⊥x轴于点N.连接AE交抛物线对称轴于点F,连接BE并延长交对称轴于点G,试证明PF+PG的值为定值,并求出该定值.
【变式练习1】抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，其中A（5,0），C（0，-3）.
求抛物线的解析式；
将抛物线向左平移1个单位长度得到新抛物线（如图），点P在新抛物线在轴下方，已知PA、PB与轴分别交于E、F两点.当P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.
例2.如图，抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接AC，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标；
（3）若点E为线段OC上一动点，试求2AE+EC的最小值．
【变式练习2】如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值．
例3.如图，已知抛物线C1的顶点为E（，﹣），与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣2）；
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）点D是抛物线C1上一点，且∠ACO+∠BCD＝45°，求点D的坐标；
（3）M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，MB，NA分别交y轴于P、Q两点，求OP﹣2OQ的值．
【变式练习3】如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C．
（1）填空：b＝ ，c＝ ，点C的坐标为 ；
（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上一动点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，设＝y，求y与m的函数关系式，并求出的最大值；
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，当∠PBA+∠CBO＝45°时，求点P的坐标．