黑龙江省哈尔滨市风华中学2024-2025学年下学期九年级开学考 数学学科试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市风华中学2024-2025学年下学期九年级开学考 数学学科试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，它是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体，俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．若反比例函数的图象在每个象限内，随增大而增大，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ）
A．B．20tan37°C．D．20sin37°
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果∠E＝60°，那么∠P等于（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
8．阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且B．且
C．且D．且
9．如图，在中，点分别在上，连接，，过点作，交延长线于点F，若，，则值为（ ）
A．8B．10C．11D．12
10．小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示．放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是（ ）
A．14分钟
B．17分钟
C．18分钟
D．20分钟
二、填空题（本大题共10小题）
11．2025年2月7日至2月14日，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，据统计亚冬会全网浏览量达人，请用科学记数法表示全网浏览量为 人．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．因式分解：2a2﹣8= ．
14．不等式组的整数解有 个．
15．计算： ．
16．观察下面两行数：；
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是 ．
17．一条长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径是 ．
18．某中学九年级三班举行元旦联欢，在两名男生和两名女生中任意抽取两名同学组成小合唱，其中抽取两名男生合唱的概率为 ．
19．在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为 ．
20．如图，在正方形中，点分别是边上的两个点，连接分别与对角线交于点，连接，若，下列说法正确的序号是 ．
①
②
③
④若值为
三、解答题（本大题共7小题）
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是
(1)画出将向左平移6个单位，再向下平移1个单位后的．
(2)画出关于原点中心对称的，并直接写出点坐标．
23．某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按：优秀，：良好，：合格，：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)这次学校抽查的学生人数是__________；
(2)将条形图补充完整；
(3)如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．
24．在中，过A作的平行线，交的平分线于点D，点E是上一点，连接交于点．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，若，点分别是边中点，连接不添加字母和辅助线，直接写出图中所有与面积相等的三角形（不包含）．
25．中国•哈尔滨冰雪大世界，始创于1999年，展示了哈尔滨冰雪文化魅力．2024年冰雪大世界建造取冰时，安排甲、乙两个采冰队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队取360立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用3天．
(1)甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是多少立方米？
(2)如需30天采冰1560立方米．甲乙队共同工作若干天后，甲另有任务，剩下由乙队独立完成为了能在规定时间内完成任务，至少安排甲队工作多少天？
26．已知：如图，为的直径，弦，垂足为E，点H为弧上一点，连接交于点F，过A作，垂足为．
(1)如图1，连接，，求证：；
(2)如图2，若为弧的中点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长．
27．如图，抛物线交轴于两点（左，右），交轴于C，连接，若．
(1)如图1，求值；
(2)如图2，点为第四象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和交于点，设的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点为抛物线第一象限上一点，连接，过作于，交轴于，若，连接，请你判定四边形是否为平行四边形？并说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此解答即可．
【详解】解：的相反数是．
故此题答案为B．
2．【答案】C
【分析】根据同底数幂相乘运算法则计算并判定A；根据幂的乘方运算法则计算并判定B；根据同底数幂相除运算法则计算并判定C；根据积的乘方运算法则计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故此题答案为C．
3．【答案】B
【分析】“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
故此题答案为B．
4．【答案】A
【分析】用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
根据俯视图是从上面看到的图形，判定即可．
【详解】
解：俯视图为：，
故此题答案为A．
5．【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象在每个象限内，随增大而增大，得到，求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，随增大而增大，
∴，
∴，
故此题答案为C．
6．【答案】B
【详解】如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC=，则AB=BC•tanC=20tan37°．
故此题答案为B．
7．【答案】A
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案．
【详解】连接OA，OB．
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴∠OAP=∠OBP=90°．
∵∠E=60°，∴∠AOB=120°，∴∠P=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．
故此题答案为A．
8．【答案】A
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故此题答案为A．
9．【答案】B
【分析】先证明四边形为平行四边形得，进而可得，再证明得，即可得值．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故此题答案为B．
10．【答案】D
【详解】首先求得上坡，下坡，平路时的速度，即可求解．
解答：解：上坡的速度是：400÷5=80米/分钟；
下坡的速度是：（1200-400）÷（9-5）=200米/分钟；
平路的速度是：（2000-1200）÷（17-9）=100米/分钟．
则从学校到家需要的时间是：400/200+(1200-400)/80+(2000-1200)/100=20分钟．
故此题答案为D．
11．【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：
12．【答案】x≠1
【分析】根据分式有意义的条件即可解答.
【详解】函数y＝中，自变量x的取值范围是x﹣1≠0，即x≠1
13．【答案】2（a+2）（a－2）．
【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）．
14．【答案】5
【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解即可求解．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
∴，
∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4，共5个．
15．【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简各项，再进行减法运算，即可解题．
【详解】解：
16．【答案】83
【分析】观察第2行数可知第n个数为，第一行数的第n个数为第2行第n个数的2倍减1，即，从而可求出每行数的第7个数，继而求得答案．
【详解】解：第二行第1个数为1，第2个数为，第3个数为，第4个数为，第5个数为，…，第n个数为，
当时，即第二行第7个数为，
第一 行第1个数为1，第2个数为；第3个数为，第4个数为，第5个数为，…，第n个数为，
当时，即第一行第7个数为，
∴取每行数的第7个数，计算这两个数的和是．
17．【答案】3
【分析】根据弧长公式得出，把相应的值代入即可求出结果．
【详解】解：解：由弧长公式，
可得半径
18．【答案】
【分析】注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：画树状图如下：
∵所有等可能的情况有12种，其中两名男生有2种，
∴恰好抽中两名男生的概率为：．
19．【答案】或或6
【分析】分三种情况讨论：当∠APE=90°时，当∠AEP=90°时，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中，，，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，
∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴，即，
解得：，
∴；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，
根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴，即，
解得：，即；
综上所述，BP的长为或或6．
20．【答案】①②③
【分析】过点G作于P， 于Q，证明，得，可判断①；将绕点A逆时针旋转90度，得到，利用半角模型证明，得，由勾股定理得出，即可判断②；先证明是直角三角形，由特殊角三角函数值求得，从而求得，则可得到，即可判断③；将绕点A逆时针旋转90度，得到，连接，同理可得，从而得到，，继而求得，则，由勾股定理，得，求得，即，可判断④．
【详解】解：①过点G作于P， 于Q，如图，
∵正方形，
∴，平分，
∵，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
将绕点A逆时针旋转90度，得到，
则，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，故③正确；
④将绕点A逆时针旋转90度，得到，连接，
则，，
同理可得，
∴，，
由，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
即，
∴，
∴，故④错误；
∴正确有①②③．
21．【答案】，．
【分析】先按照分式运算顺序和法则进行化简，代入前将三角函数值代入求出a的值．再代入化简之后的式子求值即可．
【详解】解：
．
∵，
将代入得：．
22．【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）将向左平移6个单位长度，再向下平移1个单位，根据得到，从而在坐标系中描出点、、，再顺次连接这三点即可；
（2）根据得到，从而在坐标系中描出点、、，再顺次连接这三点即可；
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，．
23．【答案】(1)40人
(2)见解析
(3)220人
【分析】（1）通过优秀的百分数和人数求出总人数；
（2）先求出：合格人数，再补充条形图即可；
（3）先求出原数据中不合格人数的份数，再用这个份数乘以2200即可．
【详解】（1）解：总人数为：人
（2）：合格人数为：（人）
（3）（人）
答：估计该校不合格的人数为220人．
24．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据，，推出，证明四边形为平行四边形，再证，可得四边形是菱形；
（2）若，则四边形是正方形，再找与等底等高的三角形面积相等，由此可解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：图中与面积相等的三角形有．
理由如下：
由（1）知四边形是菱形，
，
四边形是正方形；
，
，
点是边中点，，
，
在和中，
，
，
点分别是边中点，
，
又，
与等底等高，
与面积相等的三角形有．
25．【答案】(1)甲，乙采冰队每天采冰分别为60立方米，40立方米
(2)6天
【分析】（1）设乙采冰队每天能采冰的体积是x立方米，则甲采冰队每天能采冰的体积是立方米．根据甲队取360立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用3天可得：，解方程并检验可得求解；
（2）设安排甲队工作m天，可得：，解之即可求解．
【详解】（1）解：设乙采冰队每天能采冰的体积是x立方米，则甲采冰队每天能采冰的体积是立方米．根据题意，得
，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴，
答：甲，乙采冰队每天采冰分别为60立方米，40立方米．
（2）解：设安排甲队工作m天，根据题意，得
，
解得：，
答：至少安排甲队工作6天．
26．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由，可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，于是结论得证；
（2）连接，，，由垂径定理可得，进而可得是弦的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由等边对等角可得，，则，进而可得，设，由点为的中点可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，，进而可得，由三角形外角的性质可得，由角的和差关系可得，于是可得，然后由等角对等边即可得出结论；
（3）连接，，，由推出，进而推出，，作，连接，则可推出，进而推出，，在中，由勾股定理求得，进而求得，，然后利用勾股定理及角的正切值依次求得，，，，，，，，最后根据即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图1，
，，
，，
，，
，
；
（2）证明：如图2，连接，，，
直径，
，
是弦的垂直平分线，
，，
，，
，
，
设，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，，，
点为的中点，
，
，
由（2）得：，
，
，
如图3，作，连接，
，
，
在和中，
，
，
，，
为的直径，
，
，
直径，
，
，
，
由（1）得：，
，
即：，
，
，
由（2）得：，
，
，
，，
，
，
即：，
，
，
又，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
直径，
，
，
即：，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：或（不合题意，故舍去），
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
．
27．【答案】(1)
(2)
(3)四边形不是平行四边形，见解析
【分析】（1）时，，解方程，进而可得，根据正切的定义得出，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（2）作轴与点，根据点为第四象限抛物线上一点，点的横坐标为，则，根据正切的定义得出，进而得出，然后根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）由（2）可得，进而得出，设，则，证明得出，证明得出，根据的坐标得出，进而的的坐标，求得直线的解析式，联立抛物线得出的坐标，过点作轴，解得出的坐标，进而计算根据勾股定理的长，即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，
解得：
∴
∴
∴
∴
把代入
得
解得：；
（2）解：如图2，作轴与点，
点为第四象限抛物线上一点，点的横坐标为，则
∴，
则
∴
∴
∴；
（3）四边形不是平行四边形．
理由：如图3，作轴交于点，
∵
解得：负值舍去
∴，则
又∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
设，
∵
∴
∵，，
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴，
∴
∵，即
又
∴
∴
∴
解得：或舍去
∴
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
在中，
∴，
在中，
在中，
∵
∴
解得：
∴则
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：
则
过点作轴，
∴
将代入得
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形不是平行四边形．