2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）开学数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x+2y=1 B. 2x(x−1)=2x2+3 C. 3x+1x=4 D. x2−2=0
2.以下列各数为边不能组成直角三角形的一组是( )
A. 15、12、9B. 32、2、52C. 8、15、17D. 3、2、 5
3.下列命题中的真命题是( )
A. 有一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
4.已知直线y=kx+b，若k+b=−5，kb=6，那么该直线不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是( )
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
6.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+x+k2−4=0有一个根是0，则k的值是( )
A. −2B. 2C. 0D. −2或2
7.如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE:AD=1:3，连接EF交DC于点G，则S△DEG:S△CFG等于( )
A. 4:9
B. 2:3
C. 9:4
D. 3:2
8.如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 2.5
9.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式一定成立的是( )
A. ADDB=DEBC
B. BFBC=EFAD
C. AEEC=BFFC
D. EFAB=DEBC
10.在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y(单位：km)随时间x(单位：ℎ)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.在函数y=x−22x+3中，自变量x的取值范围是______．
12.sinα= 32，α是锐角，则tanα= ______．
13.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为______．
14.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实根，则a的取值范围是______．
15.在一次函数y=(k+5)x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是______．
16.如图，AB//CD，AC、BD相交于点E，CDAB=23，则CEAE= ______．
17.如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，A(3,0)、B(0,2)，那么不等式ax+b<2的解集为______．
18.超市为了促销原价200元的某种化妆品，将价格进行了两次下降调整，现价为162元，若每次下降的百分率相同，则每次下降的百分率是______．
19.在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，点E在直线AD上，且DE=1cm，则点E到矩形对角线AC所在直线的距离是______cm．
20.如图，矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△EFC的面积为2116，tan∠ADB=34，则CF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
21.先化简，再求值：(x2−4x2−4x+4−x−2x+2)÷xx−2，其中x=4cs30°−2tan45°．
四、解答题：本题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题7分)
如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
(1)以线段AB为斜边作等腰Rt△ABC，画出△ABC；
(2)以AC为对角线作平行四边形ABCD，画出平行四边形ABCD，并直接写出平行四边形ABCD的周长．
23.(本小题8分)
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．

(1)如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；
(2)如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积．
24.(本小题8分)
风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图(1)，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图(2)为测量示意图(点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC).已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36， 3≈1.73)
25.(本小题10分)
某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
(1)求A，B两种花卉的单价．
(2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
26.(本小题10分)
如图1，已知四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB(1)求证：BC⊥CD．
(2)如图2，延长DA，CB交于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为H，过点E作EF⊥DH交DH延长线于F，DF，EC交于G.求证：DF⋅DG=CD⋅EG．
(3)如图3，在(2)的条件下，过点E作EQ⊥EC交CA延长线于Q，EQ：CD=2：3，CG=1，求AB的长．
27.(本小题10分)
已知，如图1，在平面直角坐标系中直线y=−x+b与x轴交于B，与y轴交于A．
(1)求tan∠ABO．
(2)如图2，过点B作直线BD⊥x轴(D在x轴上方)，C为OB上一点，连接AC，交OD于E，∠OAE=2∠DOB.求证：AB= 2AE．
(3)如图3，在(2)的条件下，M为射线BD上一点，满足180°−∠AMD=4∠DOB，AM=MB+7，BD=b−6，求直线OD的解析式．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.A
5.C
6.A
7.A
8.C
9.C
10.C
11.x≠−32
12. 3
13.5
14.a≤1且a≠0
15.k<5
16.23
17.x>0
18.10%
19.2 55或6 55或2 5
20.78
21.解：原式=[(x+2)(x−2)(x−2)2−x−2x+2]⋅x−2x，
=(x+2)2−(x−2)2(x+2)(x−2)⋅x−2x，
=8x+2，
当x=4× 32−2×1=2 3−2时，原式=82 3−2+2=4 33．
22.解：(1)如图1，△ABC即为所求．

(2)如图2，平行四边形ABCD即为所求．

AB=CD= 42+22=2 5，AD=BC= 32+12= 10，
∴平行四边形ABCD的周长为2(2 5+ 10)=5 5+2 10．
23.(1)AB=DE．
(2)∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠BCA=∠DBE=90°−∠ABC，
∵∠A=∠E=90°，
∴△ABC≌△EBD(AAS)，
∴DE=AB，BE=AC，
∵AB=2，AC=6，
∴DE=2，BE=6，
∴AE=AB+BE=8，
∵∠DEB+∠A=180°，
∴DE//AC，
∴△DEF∽△CAF，
∴DEAC=EFAF，即26=EFEF+8，
∴EF=4，
∴BF=BE+EF=10，
∴S△BDF=12BF⋅DE=10．
24.解：过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，
由题意得：DC=20m，∠DCH=60°，
在Rt△DCH中，
∵cs60°=CHCD，sin60°=DHCD，
∴CH=CD·cs60°=10m，
∴DH=CDsin60°=10 3m≈17.3m，
∵∠DFB=∠B=∠DHB=90°，
∴四边形DFBH为矩形，
∴BH=FD，BF=DH，
∵BH=BC+CH=30+10=40m，
∴FD=40m，
在Rt△AFD中，AFFD=tan20°，
∴AF=FD·tan20°=40×0.36m=14.4m，
∴AB=AF+BF=17.3+14.4=31.7≈32m，
答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m．
25.解：(1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．
由题意得：2x+3y=214x+5y=37，
解得：x=3y=5，
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株；
(2)设采购A种花卉m株，则B种花卉(10000−m)株，总费用为W元．
由题意得：W=3m+5(10000−m)=−2m+50000，
∵m≤4(10000−m)，
解得：m≤8000，
在W=−2m+50000中，
∵−2<0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=8000时W的值最小，
W=−2×8000+50000=34000，
此时10000−m=2000，
答：当购进A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元．
26.(1)证明：方法一：如图，作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，

∵AC平分∠BAD，
∴CM=CN，
在Rt△BCM和Rt△DCN中，
BC=CD(已知)CM=CN(已证)，
∴Rt△BCM≌Rt△DCN(HL)，
∴∠MBC=∠D，
∵∠MBC+∠ABC=180°，
∴∠D+∠ABC=180°，
在四边形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BCD=360°−(∠BAD+∠ABC+∠D)=90°，
∴BC⊥CD．
方法二：如图，在AD上截取AM=AB，

∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠MAC，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△AMC(SAS)，
∴CM=CB，∠ABC=∠AMC，
∵CD=CB，
∴CM=CD，
∴∠D=∠CMD，
∵∠AMC+∠CMD=180°，
∴∠D+∠ABC=180°，
在四边形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BCD=360°−(∠BAD+∠ABC+∠D)=90°，
∴BC⊥CD．
(2)证明：方法一：∵AC平分∠BAD，且∠BAD=90°，
∴∠DAC=45°，
∵DH⊥AC，EF⊥DH，
∴∠F=∠AHD=90°，
∴EF//AC，
∴∠FED=∠CAD=45°，
∴EF=DF，
由(1)知∠BCD=90°，
∴∠F=∠BCD，
∵∠EGF=∠DGC，
∴△EFG∽△DCG，
∴EFDC=EGDG，
∴DFCD=EGDG，
∴DF⋅DG=CD⋅EG．
方法二：同方法一，先证出EF=DE，
∵S△DEG=12EG⋅DC=12DG⋅EF，
∴EG⋅CD=DG⋅EF，
∴DF⋅DG=CD⋅EG．
(3)延长EF、DC交于点K，

∵EQ⊥EC，CD⊥EC，
∴EQ//CK，
由(2)知CQ//EK，
∴四边形EKCQ是平行四边形，
∴CK=EQ，
设EQ=2m，则CK=3m，
∵EQ：CD=2：3，
∴CD=3m，
∴DK=CD+CK=5m，
∵△EFG∽△DCG，
∴∠FEG=∠FDK，
又∵∠EFD=DFK=90°，EF=DF，
∴△FEG≌△FDK(AAS)，
∴EG=DK=5m，
∵∠FEG=∠FDK，∠ECK=∠BCG=90°，
∴△ECK∽△DCG，
∴CGCK=CDCE，即12m=3m5m+1，
解得m=1或−16(负值舍去)，
∴CD=3，CE=5m+1=6，
在Rt△CDE中，DE= CD2+CE2=3 5，tan∠DEC=CDCE=12，
∵EQ//CD，
∴EAAD=EQCD=23，
∴AE=25DE=6 55，
在Rt△ABE中，tan∠DEC=ABAE=12，
∴AB=12AE=3 55．
27.(1)解：∵令x=0，得y=b，
∴A(0,b)，
令y=0，得x=b，
∴B(b,0)，
∴OA=OB，
∴tan∠ABO=OAOB=1；
(2)证明：由(1)知tan∠ABO=1，
∴∠AB0=45°，
∴sin∠ABO=OAAB= 22，
∴AB= 2OA，
设∠DOB=α，则∠OAE=2α，
∵∠AOE=∠AOC−∠DOB=90°−α，
∴∠AEO=180°−∠OAE−∠AOE=90°−α，
∴∠AOE=∠AEO，
∴OA=OE，
∵AB= 2OA，
∴AB= 2AE；
(3)设∠BOD=α，则∠OAC=2α，
∵180°−∠AMD=4∠DOB，
∴∠AMD=180°−4α，
如图，延长AC交BD于点F，

∵BD⊥x轴，
∴BD//AO，
∴∠F=∠OAE=2α，∠AOE=∠FDE，
∴∠FAM=180°−∠AMD−∠F=2α，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=MF，
∵AM=MB+7，
∴MF=MB+7=MB+BF，
∴BF=7，
∴FD=BD+BF=b−6+7=b+1，
由(1)知∠AOE=∠AEO，
∵∠AEO=∠FED，
∴∠FDE=∠FED，
∴FE=FD=b+1，
∵A(0,b)，
∴OA=AE=b，
∴AF=2b+1，
过A作AG⊥BD于点G，则AG=OB=b，BG=OA=b，
∴GF=GB+BF=b+7，
在Rt△AGF中，AG2+GF2=AF2，
即b2+(b+7)2=(2b+1)2，
解得b=8或−3(负值舍去)，
∴BD=2，OB=8，
∴D(8,2)，
设直线OD解析式为y=kx，
将B(8,2)代入得2=8k，
解得k=14，
∴直线OD的解析式为y=14x.