2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（上）开学数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x+2y=1 B. 2x(x−1)=2x2+3 C. 3x+1x=4 D. x2−2=0
2.以下列各数为边不能组成直角三角形的一组是( )
A. 15、12、9B. 32、2、52C. 8、15、17D. 3、2、 5
3.下列命题中的真命题是( )
A. 有一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
4.已知直线y=kx+b，若k+b=−5，kb=6，那么该直线不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是( )
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
6.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+x+k2−4=0有一个根是0，则k的值是( )
A. −2B. 2C. 0D. −2或2
7.如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE:AD=1:3，连接EF交DC于点G，则S△DEG:S△CFG等于( )
A. 4:9
B. 2:3
C. 9:4
D. 3:2
8.如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 2.5
9.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式一定成立的是( )
A. ADDB=DEBC
B. BFBC=EFAD
C. AEEC=BFFC
D. EFAB=DEBC
10.在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y(单位：km)随时间x(单位：ℎ)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.在函数y=x−22x+3中，自变量x的取值范围是______．
12.sinα= 32，α是锐角，则tanα= ______．
13.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为______．
14.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实根，则a的取值范围是______．
15.在一次函数y=(k+5)x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是______．
16.如图，AB//CD，AC、BD相交于点E，CDAB=23，则CEAE= ______．
17.如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，A(3,0)、B(0,2)，那么不等式ax+b<2的解集为______．
18.超市为了促销原价200元的某种化妆品，将价格进行了两次下降调整，现价为162元，若每次下降的百分率相同，则每次下降的百分率是______．
19.在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，点E在直线AD上，且DE=1cm，则点E到矩形对角线AC所在直线的距离是______cm．
20.如图，矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△EFC的面积为2116，tan∠ADB=34，则CF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
21.先化简，再求值：(x2−4x2−4x+4−x−2x+2)÷xx−2，其中x=4cs30°−2tan45°．
四、解答题：本题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题7分)
如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
(1)以线段AB为斜边作等腰Rt△ABC，画出△ABC；
(2)以AC为对角线作平行四边形ABCD，画出平行四边形ABCD，并直接写出平行四边形ABCD的周长．
23.(本小题8分)
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．

(1)如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；
(2)如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积．
24.(本小题8分)
风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图(1)，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图(2)为测量示意图(点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC).已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36， 3≈1.73)
25.(本小题10分)
某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
(1)求A，B两种花卉的单价．
(2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
26.(本小题10分)
如图1，已知四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB(1)求证：BC⊥CD．
(2)如图2，延长DA，CB交于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为H，过点E作EF⊥DH交DH延长线于F，DF，EC交于G.求证：DF⋅DG=CD⋅EG．
(3)如图3，在(2)的条件下，过点E作EQ⊥EC交CA延长线于Q，EQ：CD=2：3，CG=1，求AB的长．
27.(本小题10分)
已知，如图1，在平面直角坐标系中直线y=−x+b与x轴交于B，与y轴交于A．
(1)求tan∠ABO．
(2)如图2，过点B作直线BD⊥x轴(D在x轴上方)，C为OB上一点，连接AC，交OD于E，∠OAE=2∠DOB.求证：AB= 2AE．
(3)如图3，在(2)的条件下，M为射线BD上一点，满足180°−∠AMD=4∠DOB，AM=MB+7，BD=b−6，求直线OD的解析式．
答案解析
1.D
【解析】解：A、x+2y=1是二元一次方程，故错误；
B、方程去括号得：2x2−2x=2x2+3，
整理得：−2x=3，为一元一次方程，故错误；
C、3x+1x=4是分式方程，故错误；
D、x2−2=0，符合一元二次方程的形式，正确．
故选D．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数是2；
(3)是整式方程．
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2.D
【解析】解：A、92+122=152，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、(32)2+22=(52)2，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、82+152=172，故是直角三角形，故此选项不合题意；
D、( 3)2+22≠( 5)2，故不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.D
【解析】解：A、有两组对边平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项错误；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项正确．
故选：D．
根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据菱形的判定方法对D进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4.A
【解析】解：∵k+b=−5，kb=6，
∴k<0，b<0，
∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：A．
首先根据k+b=−5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．
5.C
【解析】解：设有x个队，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，
x(x−1)÷2=21，
解得x=7或−6(舍去)．
故应邀请7个球队参加比赛．
故选：C．
赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数=x(x−1)2.即可列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
6.A
【解析】解：把x=0代入(k−2)x2+x+k2−4=0得：
k2−4=0，
解得k1=2，k2=−2，
而k−2≠0，
所以k=−2．
故选：A．
先把x=0代入(k−2)x2+x+k2−4=0得k2−4=0，解关于k的方程得k1=2，k2=−2，然后根据一元二次方程的定义可确定k的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7.A
【解析】解：设DE=x，AD=3x，
∵在▱ABCD中，AD=3x，
∴BC=AD=3x，DE//BC，
∵点F为BC的中点，
∴CF=3x2，
∵DE/​/BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴S△DEGS△CFG=(DECF)2=(x3x2)2=(23)2=49，
即S△DEG:S△CFG=4:9．
故选：A．
根据题意，设DE=x，AD=3x，根据平行四边形的性质得出BC=3x，进而求出CF=3x2，最后根据相似三角形的判定和性质求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定和性质．
8.C
【解析】解：如图，连接AE，
∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
∵AE=AEAF=AD，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，则EC=6−x．
∵G为BC中点，BC=6，
∴CG=3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：(6−x)2+9=(x+3)2，
解得x=2．
则DE=2．
故选：C．
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．
本题考查了翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
9.C
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADBD=AECE，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC=DEBC，
∵EF//AB，
∴AECE=BFCF，
∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴CEAC=CFCB=EFAB，
∵DE//BC，EF//AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE=BF，EF=BD，
∴ADEF=AECE，AECE=DECF，ADAB=AEAC=BFBC，CEAC=CFCB=BDAB，
∴AEEC=BFFC正确，
故选：C．
用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．
此题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
10.C
【解析】解：在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；
由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；
甲的图象的解析式为y=10x，乙AB段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，甲的路程为15千米，乙的路程为12千米，甲的行程比乙多3千米，故③正确；
甲到达终点所用的时间较少，因此甲比乙先到达终点，故④正确．
故选：C．
根据题目所给的图示可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，出发0.5小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度大于甲的速度，出发1.5小时之后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，再利用函数图象横坐标，得出甲先到达终点．
本题考查了一次函数的应用，行程问题的数量关系速度=路程后÷时间的运用，解答时理解函数的图象的含义是关键．
11.x≠−32
【解析】解：由题意可得，
2x+3≠0，
解得x≠−32，
故答案为：x≠−32．
根据分式有意义的条件得2x+3≠0，从而得出答案
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握使分式有意义分母不为零是解题的关键．
12. 3
【解析】解：∵sinα= 32，α为锐角，
∴∠α=60°，
∴tanα=tan60°= 3．
故答案为： 3．
依据题意，根据sinα= 32，求出α的度数，再根据度数求出tanα的值即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题时要能熟记各特殊值是关键．
13.5
【解析】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=9+π，一条直角边的平方=16−π，
由勾股定理可知：斜边的平方=9+π+16−π=25，即A所代表的正方形的面积为25．
∴A所代表的正方形的边长为5．
故答案为：5．
根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积=9+π+16−π=25，再根据正方形面积计算公式即可求出边长．
本题考查了勾股定理等知识点．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.a≤1且a≠0
【解析】解：∵一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，
∴Δ=22−4a≥0，且a≠0，
解得：a≤1且a≠0，
故答案为：a≤1且a≠0．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ=22−4a≥0，然后求出a的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根是解题的关键．
15.k<5
【解析】解：∵一次函数y=(k−5)x+1中y随x的增大而减小，
∴k−5<0，
解得，k<5，
故答案为：k<5．
根据已知条件“一次函数y=(k−5)x+1中y随x的增大而减小”知，k−5<0，然后解关于k的不等式即可．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为常数)的图象为一条直线，当k>0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小是解题的关键．
16.23
【解析】解：∵AB//CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴CDAB=CEAE，
∵CDAB=23，
∴CEAE=23，
故答案为：23．
根据相似三角形的判定与性质求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
17.x>0
【解析】解：由图象知，∵直线AB过A(3,0)、B(0,2)，
∴3a+b=0b=2．
∴直线AB为y=−23x+2．
∴不等式ax+b<2的解集可以看作一次函数y=−23x+2的图象在y=2下方的部分对应的自变量的范围．
∴x>0．
故答案为：x>0．
依据题意，先通过待定系数法求出一次函数的解析式，然后直接结合图象即可得出答案．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
18.10%
【解析】解：设每次下降的百分率为x，
依题意得：200(1−x)2=162，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)，
∴每次下降的百分率为10%．
故答案为：10%．
设每次下降的百分率为x，利用经过两次降价后的售价=原价×(1−每次下降的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.2 55或6 55或2 5
【解析】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AC=BD，AD=BC，AB=CD，
∵AB=4cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得AC= AB2+BC2= 42+82=4 5cm，
∴BD=4 5cm，
∵∠EFD=∠BAD=90°，∠EDF=∠BDA，
∴△DEF∽△DBA，
∴EFAB=DEBD，
∴EF4=24 5，
∴EF=2 55cm；
如图2，过点E作EM⊥AC于点M，
∵AD=BC=8cm，DE=2cm，
∴AE=6cm，
∵∠AME=∠ADC=90°，∠EAM=∠CAD，
∴△AEM∽△ACD，
∴AEAC=EMCD，
∴64 5=EM4
∴EM=6 55cm；
如图3，过点E作EN⊥BD的延长线于点N，
∴∠END=∠BAD=90°，
∴∠EDN=∠BDA，
∴△END∽△BAD，
∴DEBD=ENAB，
∴24 5=EN4，
∴EN=2 55cm；
如图4，过点E作EH⊥AC的延长线于点H，
∴∠AHE=∠ADC=90°，
∴∠EAH=∠CAD，
∴△AHE∽△ADC，
∴AEAC=EHCD，
∵AD=BC=8cm，DE=2cm，
∴AE=10cm，
∴104 5=EH4，
∴EH=2 5cm；
综上，点E到矩形对角线所在直线的距离是2 55cm或6 55cm或2 5cm，
故答案为：2 55或6 55或2 5．
分四种情况讨论：如图1，过点E作EF⊥BD于点F，证得△DEF∽△DBA，即可求出EF的值；如图2，过点E作EM⊥AC于点M，证得△AEM∽△ACD，即可求出EM的值；如图3，过点E作EN⊥BD的延长线于点N，证得△END∽△BAD，即可求出EN的值；如图4，过点E作EH⊥AC的延长线于点H，证得△AHE∽△ADC，即可求出EH的值；从而得出答案．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20.78
【解析】解：如图：设EF、BD交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠BCD=90°
∴∠ADB=∠CBD，tan∠ADB=tan∠CBD=34，
在Rt△DBC中，tan∠CBD=CDBC=34，
设CD=3x，则BC=4x，
∴BD= BC2+CD2= (4x)2+(3x)2=5x，
∵EF是线段BD的垂直平分线，
∴EF⊥BD，BG=12BD=52x，
∵∠DBC=∠FBG，∠BCD=∠BGF=90°，
∴△BGF∽△BCD，
∴BFBD=BGBC，即BF5x=5x24x，
解得：BF=258x，
∴FC=BC−BF=4x−258x=78x，
∵△EFC的面积为2116，
∴12×78x⋅3x=2116，
解得：x=1(负值已舍去)，
∴FC=78，
故答案为：78．
设EF、BD交于点G，由矩形的性质、三角形正切的定义可得CDBC=34，设CD=3x，则BC=4x，由勾股定理可得BD=5x，由线段的垂直平分线的性质得出EF⊥BD，BG=12BD=52x，再证△BGF∽△BCD，然后根据相似三角形的性质列比例式可求得BF=258x，进而得到FC=78x，再根据三角形的面积求得x=1，进而求得CF的长．
本题主要考查了矩形的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，灵活运用相关性质和判定定理是解题的关键．
21.解：原式=[(x+2)(x−2)(x−2)2−x−2x+2]⋅x−2x，
=(x+2)2−(x−2)2(x+2)(x−2)⋅x−2x，
=8x+2，
当x=4× 32−2×1=2 3−2时，原式=82 3−2+2=4 33．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
22.解：(1)如图1，△ABC即为所求．

(2)如图2，平行四边形ABCD即为所求．

AB=CD= 42+22=2 5，AD=BC= 32+12= 10，
∴平行四边形ABCD的周长为2(2 5+ 10)=5 5+2 10．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质结合数形结合的思想解决问题即可．
(2)根据平行四边形的定义画出图形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.AB=DE
【解析】解：(1)∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠BCA=∠DBE=90°−∠ABC，
∵∠A=∠E=90°，
∴△ABC≌△EBD(AAS)，
∴AB=DE；
故答案为：AB=DE．
(2)∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠BCA=∠DBE=90°−∠ABC，
∵∠A=∠E=90°，
∴△ABC≌△EBD(AAS)，
∴DE=AB，BE=AC，
∵AB=2，AC=6，
∴DE=2，BE=6，
∴AE=AB+BE=8，
∵∠DEB+∠A=180°，
∴DE//AC，
∴△DEF∽△CAF，
∴DEAC=EFAF，即26=EFEF+8，
∴EF=4，
∴BF=BE+EF=10，
∴S△BDF=12BF⋅DE=10．
(1)利用“一线三垂直“证△ABC≌△EBD(AAS)即可得证；
(2)证△DEF∽△CAF可求EF长度，然后即可求出△BDF的面积．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握以上基础知识和添加合适的辅助线是解题关键．
24.解：过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，
由题意得：DC=20m，∠DCH=60°，
在Rt△DCH中，
∵cs60°=CHCD，sin60°=DHCD，
∴CH=CD·cs60°=10m，
∴DH=CDsin60°=10 3m≈17.3m，
∵∠DFB=∠B=∠DHB=90°，
∴四边形DFBH为矩形，
∴BH=FD，BF=DH，
∵BH=BC+CH=30+10=40m，
∴FD=40m，
在Rt△AFD中，AFFD=tan20°，
∴AF=FD·tan20°=40×0.36m=14.4m，
∴AB=AF+BF=17.3+14.4=31.7≈32m，
答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m．
【解析】过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，由题意得：DC=20m，∠DCH=60°，根据三角函数的定义得到CH=CD·cs60°=10m，DH=CDsin60°=10 3m≈17.3m，根据矩形的性质得到BH=FD，BF=DH，求得FD=40m，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.解：(1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．
由题意得：2x+3y=214x+5y=37，
解得：x=3y=5，
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株；
(2)设采购A种花卉m株，则B种花卉(10000−m)株，总费用为W元．
由题意得：W=3m+5(10000−m)=−2m+50000，
∵m≤4(10000−m)，
解得：m≤8000，
在W=−2m+50000中，
∵−2<0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=8000时W的值最小，
W=−2×8000+50000=34000，
此时10000−m=2000，
答：当购进A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元．
【解析】(1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株，依据购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元列出二元一次方程组，解答即可；
(2)设采购A种花卉m株，则B种花卉(10000−m)株，总费用为W元．依据采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍列出不等式，解答即可．
本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应方程组或不等式．
26.(1)证明：方法一：如图，作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，

∵AC平分∠BAD，
∴CM=CN，
在Rt△BCM和Rt△DCN中，
BC=CD(已知)CM=CN(已证)，
∴Rt△BCM≌Rt△DCN(HL)，
∴∠MBC=∠D，
∵∠MBC+∠ABC=180°，
∴∠D+∠ABC=180°，
在四边形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BCD=360°−(∠BAD+∠ABC+∠D)=90°，
∴BC⊥CD．
方法二：如图，在AD上截取AM=AB，

∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠MAC，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△AMC(SAS)，
∴CM=CB，∠ABC=∠AMC，
∵CD=CB，
∴CM=CD，
∴∠D=∠CMD，
∵∠AMC+∠CMD=180°，
∴∠D+∠ABC=180°，
在四边形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BCD=360°−(∠BAD+∠ABC+∠D)=90°，
∴BC⊥CD．
(2)证明：方法一：∵AC平分∠BAD，且∠BAD=90°，
∴∠DAC=45°，
∵DH⊥AC，EF⊥DH，
∴∠F=∠AHD=90°，
∴EF//AC，
∴∠FED=∠CAD=45°，
∴EF=DF，
由(1)知∠BCD=90°，
∴∠F=∠BCD，
∵∠EGF=∠DGC，
∴△EFG∽△DCG，
∴EFDC=EGDG，
∴DFCD=EGDG，
∴DF⋅DG=CD⋅EG．
方法二：同方法一，先证出EF=DE，
∵S△DEG=12EG⋅DC=12DG⋅EF，
∴EG⋅CD=DG⋅EF，
∴DF⋅DG=CD⋅EG．
(3)延长EF、DC交于点K，

∵EQ⊥EC，CD⊥EC，
∴EQ//CK，
由(2)知CQ//EK，
∴四边形EKCQ是平行四边形，
∴CK=EQ，
设EQ=2m，则CK=3m，
∵EQ：CD=2：3，
∴CD=3m，
∴DK=CD+CK=5m，
∵△EFG∽△DCG，
∴∠FEG=∠FDK，
又∵∠EFD=DFK=90°，EF=DF，
∴△FEG≌△FDK(AAS)，
∴EG=DK=5m，
∵∠FEG=∠FDK，∠ECK=∠BCG=90°，
∴△ECK∽△DCG，
∴CGCK=CDCE，即12m=3m5m+1，
解得m=1或−16(负值舍去)，
∴CD=3，CE=5m+1=6，
在Rt△CDE中，DE= CD2+CE2=3 5，tan∠DEC=CDCE=12，
∵EQ//CD，
∴EAAD=EQCD=23，
∴AE=25DE=6 55，
在Rt△ABE中，tan∠DEC=ABAE=12，
∴AB=12AE=3 55．
【解析】(1)见角平分线作垂线，所以作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，先证Rt△BCM≌Rt△DCN(HL)，得到∠MBC=∠D，从而得出∠D+∠ABC=180°，再利用四边形内角和即可求解；
(2)要证线段乘积相等，优先考虑相似，将乘积式化成比例式，所以本题要证DFCD=EGDG，我们发现其并不完全在两个三角形中，再看题干发现DF=EF，所以可证EFDC=EGDG，从而证△EFG∽△DCG即可；
(3)由EQ⊥EC可得EQ//CD，从而可构造平行四边形EKCQ，得到CK=EQ=2m，再证△FEG≌△FDK得出EG=DK=5m，利用△ECK∽△DCG，求出m值，再用勾股定理求出DE，根据X字型相似求出AE的长度，再解Rt△ABE即可．
本题主要考查了角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
27.(1)解：∵令x=0，得y=b，
∴A(0,b)，
令y=0，得x=b，
∴B(b,0)，
∴OA=OB，
∴tan∠ABO=OAOB=1；
(2)证明：由(1)知tan∠ABO=1，
∴∠AB0=45°，
∴sin∠ABO=OAAB= 22，
∴AB= 2OA，
设∠DOB=α，则∠OAE=2α，
∵∠AOE=∠AOC−∠DOB=90°−α，
∴∠AEO=180°−∠OAE−∠AOE=90°−α，
∴∠AOE=∠AEO，
∴OA=OE，
∵AB= 2OA，
∴AB= 2AE；
(3)设∠BOD=α，则∠OAC=2α，
∵180°−∠AMD=4∠DOB，
∴∠AMD=180°−4α，
如图，延长AC交BD于点F，

∵BD⊥x轴，
∴BD//AO，
∴∠F=∠OAE=2α，∠AOE=∠FDE，
∴∠FAM=180°−∠AMD−∠F=2α，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=MF，
∵AM=MB+7，
∴MF=MB+7=MB+BF，
∴BF=7，
∴FD=BD+BF=b−6+7=b+1，
由(1)知∠AOE=∠AEO，
∵∠AEO=∠FED，
∴∠FDE=∠FED，
∴FE=FD=b+1，
∵A(0,b)，
∴OA=AE=b，
∴AF=2b+1，
过A作AG⊥BD于点G，则AG=OB=b，BG=OA=b，
∴GF=GB+BF=b+7，
在Rt△AGF中，AG2+GF2=AF2，
即b2+(b+7)2=(2b+1)2，
解得b=8或−3(负值舍去)，
∴BD=2，OB=8，
∴D(8,2)，
设直线OD解析式为y=kx，
将B(8,2)代入得2=8k，
解得k=14，
∴直线OD的解析式为y=14x.
【解析】(1)根据解析式分别求出点A和点B的坐标，从而得到OA=OB，进而得解(方法提示：见到直线解析式的k的绝对值为1，则其与x轴所夹锐角为45°)；
(2)由(1)可发现AB= 2OA，所以我们可以转移到证OA=AE，再根据已知角的关系推导即可得证；
(3)由已知可得出∠OAE=2α，∠AMD=180°−4α，再根据OA/​/BD可以推出∠MAC=2α，这时我们发现AC平分∠OAM，由角平分线和平行线需要联系到等腰三角形，所以延长AC交BD于点F，证出MA=MF，进而得出BF=7，再证FD=FE=b+1，从而得到AF=2b+1，利用勾股定理求出b值，即可得出D点坐标，最后用待定系数法求出OD解析式即可．
本题主要考查一次函数与坐标轴交点问题、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、待定系数法求正比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．