广西玉林市2024－2025学年九年级上学期期末检测数学试卷（解析版）

这是一份广西玉林市2024－2025学年九年级上学期期末检测数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，四象限B.第一，四象限D.第一等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共12小题，年小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.）
1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向南运动200米记作米，则向北运动200米可记作（ ）
A.100米B.米C.200米D.米
【答案】D
【解析】“正”和“负”相对，所以，若向南运动200米记作米，则向北运动200米可记作米.
故选：D.
2.中心对称图形在我们的日常生活中无处不在.观察下列图案，是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
B、有对称中心，是中心对称图形，符合题意；
C、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
D、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B .
3.央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能.将数据用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】，
故选：.
4.已知正比例函数，则它经过的象限是（ ）
A.第二、四象限B.第一、三象限
C.第三、四象限D.第一、四象限
【答案】A
【解析】∵，∴正比例函数的图象经过第二、四象限，
故选：A.
5.下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A、，原选项错误，不符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、，原选项错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故选：D .
6.如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，则等于（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵，∴，
故选：D.
7.掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，点数为6的概率是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】根据题意，骰子由6种等可能结果，点数为6的结果有1种，
∴点数为6的概率是，
故选：C .
8.在平面直角坐标系中，点经平移后对应点为，则点平移的方向和距离为（ ）
A.向左平移5个单位B.向右平移5个单位
C.向上平移5个单位D.向下平移5个单位
【答案】A
【解析】点经平移后对应点为，则点平移的方向和距离为向左平移5个单位，
故选：A.
9.化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B.未加入絮凝剂时，净水率为
C.絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D.加入絮凝剂的体积是时，净水率达到
【答案】D
【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误；
C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确；
故选：D.
10.如果，那么的值为（ ）
A.16B.64C.32D.8
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
故选B.
11.如图，某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里.它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（ ）
A.32海里B.42海里C.40海里D.30海里
【答案】D
【解析】“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，
∴，
∴，
∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时，
∴（海里），（海里），
∴（海里），
故选：D.
12.如图①，在菱形中，，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为（），与的函数图象如图②所示，则菱形的边长为（ ）
A.4B.C.D.
【答案】C
【解析】运动时间为时，，，
∵四边形为菱形，，
∴，
∴，
过点M作于点H，连接交于点O，
∴在中，，
∴，
即，
设菱形的边长为，
∴，
∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，
∴，解得（负值舍去），
即当运动时，点N到达点C，
∴.
故选：C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）
13. .
【答案】
【解析】∵，∴.
故答案为：.
14.若二次根式有意义，则x的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得：x≥2.
故答案为：x≥2.
15.如图，从一块半径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，则剪下来的扇形的弧长是 .
【答案】或
【解析】如下图所示，连接，
，
是的直径，
的半径为，
，
又、是扇形的半径，
，
剪下来的扇形的弧长是.
故答案为：.
16.如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具一一“碓”的结构简图，右图为其平面示意图.已知于点，与水平线相交于点，.若分米，分米，，则点到水平线的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）.

【答案】或
【解析】延长交于点，连接，
，，
，
，
，
设分米，
分米，分米，
分米，
分米，
，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
分米，
，
，
分米，
分米，
故答案为：.
三、解答题（共72分，解答应写出必要的文学说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知满足方程.
（1）求的值：
（2）在（1）的条件下，先化简，后求值：.
解：（1）
移项，得，，
系数化为1，得；
（2）
.
当时，原式.
18.如图，中，.
（1）尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若，求的长.
解：（1）如图，线段即为所求；
（2）∵，
∴，
由（1）作图可知，为边上的中线.
∴.
19.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某学校开展“科学小博士”知识竞赛，各班以小组为单位组织参赛，规定满分为10分，9分以上（含9分）为优秀.
整理数据：小李将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图.
数据分析：小李对这两个小组的成绩进行了如下分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：_______，________；
（2）分别求甲、乙两组9分以上（含9分）的同学所占的百分比；
（3）小玲认为甲、乙两组成绩的平均分相等，所以两个组成绩一样好.小李认为小玲的观点比较片面，请结合上表中的信息为小李说明理由.
解：（1）甲组的成绩依次为：，数据7出现次数最多，
∴众数，
乙组的成绩依次为：，从小到大依次为：，
∴中位数，
（2）甲组9分以上（含9分）的同学有3人，
∴所占的百分比，
乙组9分以上（含9分）的同学有2人，
∴所占的百分比，
∴甲组9分以上（含9分）的同学所占的百分比，乙组9分以上（含9分）的同学所占的百分比；
（3）解法一：虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为，高于乙组成绩的方差，
∴从方差的角度看，乙组成绩更整齐，更稳定；
解法二：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数7，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好，因此，不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，
∴小玲的观点比较片面（答案不唯一，合理即可）.
20.【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍.
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高；
素材二：用18000元购买种书架的数量比用8000元购买种书架的数量多7个；
素材三：种书架数量不少于种书架数量的.
【问题解决】
（1）求出两种书架的单价；
（2）设购买种书架个，购买总费用为元，求与的函数关系式，并写出费用最少时的购买方案.
解：（1）设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，依题意得.
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解
∴元.
答：种书架的单价为1000元，则种书架的单价为1200元.
（2）购买个种书架，则购买个种书架，依题意得.
，
解得：.
∵，
∴，
∵，随着增大而增大，
又∵，且正整数，
∴.当时，有最小值，此时.
答：费用最少时的购买方案为：购买5个种书架，15个种书架.
21.如图，是的外接圆，为直径，为上一点，且，连接，过点作交延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若垂直平分，，连接，求的面积.
（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，又为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接、，
∵垂直平分，
∴，
又∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴.
22.如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图象是抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习.
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点.
【探究】（1）求的值及抛物线的对称轴；
（2）若抛物线经过点，求当取何值时，函数有最值，并写出此时的值；
【深入探究】（3）在（）的条件下，若抛物线交轴于，两点（点位于点左边），连接，过点作直线于点，交轴于点，交抛物线于点，求交点的坐标；
【拓广探索】（4）在（）的条件下，设直线对应的函数为，二次函数为，若，观察图象，请直接写出的取值范围__________.
解：（）∵二次函数的图象与轴交于点，
∴，抛物线对称轴为直线；
（）由（）得，，
∴二次函数解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，有最小值，；
（）由（）得：二次函数解析式为，
当时，，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为，
联立，解得：或，
∴交点的坐标为；
（）由（）得，，
即与的交点坐标为，，
∵，
∴观察图象可得出的取值范围是，
故答案为：.
23.【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题.如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且.
【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则.你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由；
【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值.
解：（1）正确，理由如下，
∵是等边三角形，
∴，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）四边形为平行四边形，理由如下，
∵，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）∵，
∴，，
如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，
，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
当点三点共线时，，此时的值最小，
如图所示，过点作延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为.
平均数
中位数
众数
方差
甲组
乙组