广西防城港市2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试卷（解析版）

这是一份广西防城港市2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1.下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意.
故选D.
2.下列运动形式属于旋转的是（ ）
A.荡秋千B.射箭C.立定跳远D.晨跑运动
【答案】A
【解析】A、荡秋千，是属于旋转，则此项符合题意；
B、射箭，不属于旋转，则此项不符合题意；
C、立定跳远，不属于旋转，则此项不符合题意；
D、晨跑运动，不属于旋转，则此项不符合题意；
故选：A.
3.已知方程的二次项是，那么这个方程的一次项是（ ）
A.B.C.5D.3
【答案】B
【解析】方程的二次项是，
∴这个方程的一次项是，
故选：B.
4.二次函数 的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】二次函数图象的顶点坐标是.
故选：C.
5.与抛物线的形状相同，开口方向相反的抛物线是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】与抛物线形状相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线的二次项系数互为相反数，只有D选项符合题意.
故选：D.
6.如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则旋转角的度数是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】，
是正三角形，
，
绕点逆时针旋转得到，与是对应边，
，
即旋转角为，
故选：C.
7.方程的解是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵，
∴或，
∴，
故选：B.
8.某热销商品两次涨价后，售价由64元涨至81元，若两次涨价的百分率相同均为，可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】依题意得：.
故选：B.
9.已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕着原点顺时针旋转，得到点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】如图所示，过点作轴，点作轴，
由旋转可得：，，
∴，而，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：A.
10.抛物线y=3（x﹣2）2+1的对称轴是（ ）
A.x=2B.x=﹣2C.x=1D.x=﹣1
【答案】A
【解析】∵抛物线y=3（x﹣2）2+1，∴对称轴；
故选A.
11.已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于二次函数，令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和C选项；
B选项和D选项中，抛物线的对称轴，
∵ ，
∴，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
故选：D.
12.如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④当时，随着的增大而增大；⑤.其中正确的有（ ）
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】A
【解析】∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴，
∵抛物线对称轴所在的直线在y轴和直线之间，
∵，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵当时，，
∴，故③错误；
∵对称在直线的左侧，
∴抛物线在直线与对称轴之间的部分，随着的增大而减小，
∴当时，不一定随着的增大而增大，故④错误；
当时，，
∴，
∵当时，，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，故⑤错误；
综上分析可知，①②正确，共2个，
故选：A.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13.抛物线的顶点是它的图象的最 点（填“高”或“低”）.
【答案】高
【解析】∵中，二次项系数为负，
∴抛物线开口向下，
∴该抛物线有最高点，
故答案为：高.
14.点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 .
【答案】
【解析】∵点与点B关于原点中心对称，
∴点B的坐标为，
故答案为：.
15.若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为 .
【答案】
【解析】设方程的另一个根为m，
∵是一元二次方程的一个根，
∴，解得，即则方程的另一个根为
故答案为：.
16.矩形绿地的长为、宽为，若长、宽各增加，扩充后的总面积与的关系式为 .
【答案】
【解析】由题意可知，
扩充后的总面积与的关系式为，
故答案为：.
17.把抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的新抛物线的解析式为 .
【答案】
【解析】由题意得.
故答案为：.
18.如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 .
【答案】
【解析】延长至F使，

∵，
∴，
∴，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时，最小；
∵，
∴，
当时，，
故答案为：.
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.解下列一元二次方程：
（1）；
（2）.
解：（1）∵，
∴，
∴或，
∴，.
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，.
20.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？
解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=21，
即=21，
∴x2-x-42=0，
∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）.
答：应邀请7个球队参加比赛.
21.已知：如图，在同一平面内，和关于点对称.
（1）请在图中画出；
（2）指出图中的对称中心是哪个点？
（3）若点是平面直角坐标系的原点，且点的坐标为，请直接写出点的坐标.
解：（1）如图，为所求.
（2）如图，点即是对称中心；
（3）点的坐标为，是点关于原点的中心对称；
∴
22.已知关于的一元二次方程.
（1）求这个一元二次方程的根的判别式的值（用含有的式子表示）；
（2）求证：无论取何值，这个方程总有实数根.
（1）解：∵，
这里，，，
∴
，
即：这个一元二次方程的根的判别式的值为；
（2）证明：由（1）可知，
这个一元二次方程的根的判别式，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根.
23.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得，分别连接，.
（1）求的度数；
（2）求证：是等边三角形；
（3）求图中阴影部分（即）的面积.
（1）解：∵将绕点逆时针旋转得，
∴与是对应边，是旋转角，
∴
（2）证明：∵将绕点逆时针旋转得，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
延长交于点，如图：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴.
24.某商品原售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经市场调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价元.
（1）涨价后，每件商品的售价和销售量分别是多少？（用含的式子表示）
（2）每周销售该商品获得的利润能等于6210元吗？如果能，求出商品的售价；如果不能，说明理由.
解：（1）设每件涨价元，依题意得：
每件商品的售价是元，所售件数是件，
（2）根据题意得：，
解得：，
此时售价为：元，或元
答：商品的售价为或元时，每周销售该商品获得的利润等于元.
25.某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学在研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为.
【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值0.618，将会给人带来更美的视觉效果.
【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍.
【问题解决】
（1）请用含有的式子表示灯罩的口径；
（2）把灯罩的垂直截面图抽象为如图2中的抛物线，并建立如图所示的平面直角坐标系，依题知，，请写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（3）在（1）和（2）的条件下，求灯罩的高度的值.
解：（1）∵高度为，它的口径等于高的倍
∴灯罩的口径为；
（2）∵，，
∴点的坐标为，
设抛物线的解析式为，将代入可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式；
（3）∵设计的灯罩的抛物线形状不变，
而高度为，灯罩的口径为，
∴灯罩的口径边缘的坐标为，且经过抛物线，
即：，解得：（舍去），，
即：灯罩的高度.
26.【综合与实践】如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线的解析式为.点为线段上的一个动点，过作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为.探究线段的长度变化情况.
（1）写出点的坐标，并求抛物线的解析式；
【类比操作】因为点在直线上，且点和的横坐标都为，所以把代入得，故点的坐标为.
（2）用以上方法，请用含的式子表示点的坐标；
【探索发现】直线平行于轴，故线段的长度可以用点的纵坐标与点的纵坐标的差表示，线段的值随着点的运动而变化.
（3）求线段的长度与的函数解析式，并求出它的最大值.
解：（1）∵直线的解析式为与轴交于点，即，，
∴点坐标为，
又∵点是抛物线与轴的交点；
∴，
∴抛物线解析式为，
（2）∵点在抛物线解析式上，
∴当代入得，
即点
（3）∵P在线段上运动
∴M点在N点上方，
∵，
∴
∴当时，有最大值，的最大值为