2024-2025学年黑龙江省鸡西市高一上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省鸡西市高一上册10月月考数学学情检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 集合的真子集的个数是（ ）
A 3B. 4C. 7D. 8
3. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知集合，，若．则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知正数满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. “关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某健身沙龙开设了游泳、跑步、骑车三项运动，会员中有44人参加游泳运动，42人参加跑步运动，38人参加骑车运动，其中同时参加游泳、跑步、骑车三项运动的有10人，没有参加任何运动的有20人，若健身沙龙共有会员100名，则只参与两个运动项目的有（ ）
A. 24人B. 26人C. 36人D. 38人
8. 若关于不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中为真命题的是（ ）
A ，
B. ，
C. 若，则“”是“”的充要条件
D. 若，则“是无理数”是“是无理数”的充要条件
10. 给定非空集合，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（ ）
A. 集合是闭集合
B. 已知集合是闭集合，若，则
C. 存在只含有101个元素的闭集合
D. 若集合是闭集合，且，则
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为1
D. 当时，设关于的方程的解分别为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题“，”的否定是______．
13. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
14. 已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16 已知，．
（1）若有且只有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17. 一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．
（1）求关于的关系式；
（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？
18. 已知二次函数.
（1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集.
19. 已知集合.
（1）判断3，20，25是否是集合中的元素，并说明理由；
（2）若，，证明：；
（3）证明：存在无穷多个完全平方数属于集合（若一个数能表示成某个整数平方的形式.则称这个数为完全平方数）.
2024-2025学年黑龙江省鸡西市高一上学期10月月考数学学情检测试题
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断即可.
【详解】，A错误；，元素与集合不能用符号，B错误；
根据子集的定义，有，C正确；集合不是集合中的元素，不能用符号，D错误．
故选：C.
2. 集合的真子集的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【正确答案】A
【分析】化简集合得出集合中元素个数即可求解.
【详解】由题知，所以集合的真子集的个数是．
故选：A.
3. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】运用特殊值判断A,B,C,运用不等式性质推断D.
【详解】取，，，则，故A错误；
取，，，则，故B错误；
取，，则，故C错误；
因为，所以，所以，故D正确．
故选：D
4. 已知集合，，若．则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】化简集合，由集合包含关系列出不等式求解即可.
【详解】由题可知或，，由，可得，所以．
故选：B.
5. 已知正数满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】运用基本不等式，结合乘1法计算即可.
【详解】，
当且仅当，时取等号．
故选：B.
6. “关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意求出“关于的不等式的解集为R”的充要条件为，对比选项即可求解.
【详解】当时，恒成立；当时，由题意，得解得，
综上，实数的取值范围为，
则“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是．
故选：C.
7. 某健身沙龙开设了游泳、跑步、骑车三项运动，会员中有44人参加游泳运动，42人参加跑步运动，38人参加骑车运动，其中同时参加游泳、跑步、骑车三项运动的有10人，没有参加任何运动的有20人，若健身沙龙共有会员100名，则只参与两个运动项目的有（ ）
A. 24人B. 26人C. 36人D. 38人
【正确答案】A
【分析】画出韦恩图，根据容斥原理列方程即可求解.
【详解】设只参加游泳和跑步的有人，只参加骑车和游泳的有人，只参加跑步和骑车的有人，
由题意画出Venn图，如图所示，

则只参加游泳的有：人，只参加跑步的有：人，只参加骑车的有：人，
所以参加运动的有：人，
由题意得，解得，
所以只参与两个运动项目的有24人．
故选：A.
8. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据一元二次不等式的求解，结合两根大小关系，对分类讨论即可求解.
【详解】不等式可化为，
①时，不等式的解集为，不合题意；
②当时，不等式的解为，且，
若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得；
③当时，不等式的解为，且，
若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得．
综上可知，正数的取值范围为或．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. ，
B. ，
C. 若，则“”是“”的充要条件
D. 若，则“是无理数”是“是无理数”的充要条件
【正确答案】ABD
【分析】对于A，作差即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，直接判断即可.
【详解】因为，所以，，故A正确；
取，则，所以，，故B正确；
当时，显然成立，故C错误；
因为是有理数，所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故D正确．
故选：ABD.
10. 给定非空集合，如果对于任意，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（ ）
A. 集合是闭集合
B. 已知集合是闭集合，若，则
C. 存在只含有101个元素的闭集合
D. 若集合是闭集合，且，则
【正确答案】ABD
【分析】根据闭集合的定义逐项分析判断即可.
【详解】由两个偶数的和、差、积都是偶数，得集合是闭集合，故A正确；
集合为闭集合，则必有，若，则有，，故B正确；
设集合中有101个元素，则除了0外还有非零元素，由B选项可知，显然集合必定有无数个元素，故C错误；
由C选项可知，若，则必有，可得，故D正确．
故选：ABD
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为1
D. 当时，设关于的方程的解分别为，则
【正确答案】BC
【分析】运用三个二次之间的关系得到系数之间的关系，结合韦达定理和基本不等式，逐个判断即可.
【详解】对于A，由题意知即
则，显然当时，，故A错误；
对于B，，
即，故B正确；
对于C，，
又（当且仅当时取等号），
所以，故C正确；
对于D，方程可化为，
整理得，解得，，
则，
当时，，故D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题“，”的否定是______．
【正确答案】，
【分析】利用全称命题的否定形式变换即可得.
【详解】命题“，”的否定是“，”．
故答案：，.
13. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
【正确答案】或
【分析】若，则转化为一次函数和反比例函数有交点，联立方程有解，用计算即可.
【详解】由题知，集合为一次函数上的点构成的集合，
集合为反比例函数上的点构成的集合，
若，则方程有非零解，整理得，
则，解得或．
故或．
14. 已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______．
【正确答案】6
【分析】首先得，进一步，从而可得，解得即可得解.
【详解】因为，，所以，即，得，
所以，当且仅当时等号成立．
由，得，
整理得，即，
所以．因为存在实数，使得恒成立，
所以，即的最小值为．
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）当时，分别求出，结合交集的概念即可得解；
（2）由题意得，分是否是空集进行分类讨论，分别列出不等式即可求解.
【小问1详解】
由，得或，
由，得，
所以或．
【小问2详解】
由，得．
①当，即时，，满足，符合题意．
②当，即时，若满足，则有，解得．
综上所述，实数取值范围为．
16. 已知，．
（1）若有且只有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）分别确定为真时的范围，然后由真假，或假真得出结论；
（2）根据充分不必要条件定义列不等式组求解．
【小问1详解】
由，得；
当时，由，得．
若有且只有一个为真命题，则真假，或假真，
当真假时，解得；
当假真时，解得，
综上，实数的取值范围为或．
【小问2详解】
由，得．
因为是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为．
17. 一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．
（1）求关于的关系式；
（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？
【正确答案】（1）
（2）长为248厘米，宽为124厘米
【分析】（1）由题意得，化简即可得解；
（2）首先得，然后结合基本不等式及其取得条件即可求解.
【小问1详解】
由题意，知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米，
则，整理得．
【小问2详解】
由（1）知绘画墙墙面的面积，
则，
由基本不等式，有，当且仅当时取等号．
故，此时，
故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小．
18. 已知二次函数.
（1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集.
【正确答案】（1）或
（2）
（3）答案见解析
【分析】（1）令得两点的坐标分别为，令得点的坐标为，
代入三角形面积公式列式计算即可.
（2）由题意化为恒成立，利用判别式法列不等式组求解即可.
（3）根据和、、分类讨论解不等式即可.
【小问1详解】
令，则有，得两点的坐标分别为，
令，得点的坐标为，
故的面积为，解得或.
【小问2详解】
不等式可化为，
若不等式恒成立，则必有解得，
故若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为.
【小问3详解】
不等式可化为，
①当时，不等式的解集为或，
②当时，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为，
④当时，不等式的解集为．
19. 已知集合.
（1）判断3，20，25是否是集合中的元素，并说明理由；
（2）若，，证明：；
（3）证明：存在无穷多个完全平方数属于集合（若一个数能表示成某个整数的平方的形式.则称这个数为完全平方数）.
【正确答案】（1）3不是集合中的元素，20，25是集合中的元素，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）根据，，，即可求解；
（2）根据集合中元素特征，即可代入计算化简求解；
（3）根据完全平方公式可得，假设，可得，与为有理数矛盾即可求解.
【小问1详解】
由，知5是集合中最小的元素，故3不是集合中的元素；
由，，知20，25是集合中的元素.
【小问2详解】
由，，
设，，，，，，，，
则
，
①若，有，，可得；
②若，有
，
又由，有，有，
可得，，可得，
由上知，若，，则.
【小问3详解】
设，且，
由.
又，，
，
假设，有，又由，有，可得，
又由，，得为有理数，
又由为无理数，与矛盾，故有，
由上可知，
又因为为完全平方数，且有无数多个，所以存在无穷多个完全平方数属于集合.
方法点睛；对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析；计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.