2024-2025学年黑龙江省鸡西市高一上册9月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省鸡西市高一上册9月月考数学检测试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知集合，则是的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C 既不充分又不必要条件
D. 充要条件
5. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C 或D. 或
6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（ ）（注：1里＝300步）

A. 里B. 里C. 里D. 里
8. 一元二次等式的解集为，则最小值为（ ）
A. 1B. 0C. 2D. 3
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 充要条件是
C.
D. ，是充分不必要条件
10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若且，则
11. 设正实数m，n满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最大值为1D. 的最小值为
12. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 不等式的解集为
B. 的解集为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设集合，且，则实数m的值为______.
14. 不等式的解集为________．
15. 已知命题，，且为真命题时的取值集合为．设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围为___________．
16. 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．
四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17. 已知集合，或.
（1）若全集，求、；
（2）若全集，求.
18. （1）若，且，
求：（i）的最小值；
（ii）最小值.
（2）求的最小值.
19. 设，已知集合，．
（1）当时，求实数的范围；
（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
20. （1）已知一元二次不等式的解集为−3,2，求实数、的值及不等式的解集．
（2）已知，解不等式：．
21. 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
22. 定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集．
（1）求集合的生成集；
（2）若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；
（3）若集合，的生成集为，求证．
2024-2025学年黑龙江省鸡西市高一上学期9月月考数学检测试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题四个选项中，仅有一项正确）
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即得.
【详解】集合，所以.
故选：C
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
3. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】取特殊值作反例，可判断A、B、C项；根据不等式的性质可判断D项.
【详解】对于A，取，，则，，显然，但是，A项错误；
对于B，取，，，满足，，
，，但，B项错误；
对于C，取，，但，故C项错误；
对于D，若，，则，故D正确.
故选：D.
4. 已知集合，则是的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 既不充分又不必要条件
D. 充要条件
【正确答案】A
【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为.
【详解】若，则且，
所以或，故当时有，
而时，不一定是，
故是的充分而不必要条件.
故选：A.
5. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正确答案】B
【分析】根据和，结合判别式即可求解.
【详解】当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得解得．
综上，实数的取值范围是．
故选:B．
6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【正确答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】因为，为正实数，且，所以,
当且仅当时取等号.
故选：C
7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（ ）（注：1里＝300步）

A. 里B. 里C. 里D. 里
【正确答案】C
【分析】设步，步，由相似形得出关系，然后由基本不等式求得小城周长的最小值．
【详解】如图，设步，步，由得，
所以，（步）
所以小城周长为（步）＝（里），当且仅当，即时取等号，
故选：C．
8. 一元二次等式的解集为，则最小值为（ ）
A. 1B. 0C. 2D. 3
【正确答案】A
【分析】根据题意可得且，则，故，令，再分离常数结合基本不等式即可得解.
【详解】因为一元二次等式的解集为，
所以且，
所以，
则，
令，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以最小值为.
故选：A.
关键点点睛：根据题意得出，将所求转化为关于的分式的形式，是解决本题的关键.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 的充要条件是
C.
D. ，是的充分不必要条件
【正确答案】AD
【分析】由存在量词命题的否定形式并判断其真假即可判断A；由充分、必要条件的定义即可判断B，D；根据全称量词命题的真假的判断方法判断C.
【详解】对于A，命题“”的否定是：，故A正确；
对于B，取，满足，但此时无意义，故B错误；
对于C,,故C错误.
对于D，当时，有成立，而，但不成立，
即由不能得到，所以是的充分不必要条件，故D正确.
故选：AD
10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若且，则
【正确答案】BCD
【分析】举出反例可得A；利用不等式的性质计算可得B、C；由可得，利用作差法即可分析出.
【详解】对A：若，则，故A错误；
对B：由，则，，即，故B正确；
对C：由，则，又，则，故C正确；
对D：由，则，因为，则，故，故D正确.
故选：BCD.
11. 设正实数m，n满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最大值为1D. 的最小值为
【正确答案】AD
【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.
【详解】对于A，因正实数m，n满足m＋n＝1，
所以，
当且仅当且，即时取等号，A正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误；
对于C，，
当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确；
对于D，由，
因此，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
即的最小值为，D正确．
故选：AD
12. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 不等式的解集为
B. 的解集为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【正确答案】BC
【分析】先解出方程的根，然后由题意可得，，然后根据，的值以及基本不等式，一元二次不等式的解法对各个选项逐个化简即可判断求解．
【详解】不等式的解集为，
根据根与系数的关系，可得且，.
可化为，解得，B正确；
，当且仅当时等号成立，C正确；
，方程的解为，且，
不等式的解集为，A错误；
，而，当且仅当，即时取等号，
的最大值为，D错误.
故选：BC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设集合，且，则实数m的值为______.
【正确答案】5
【分析】根据元素与集合的关系，建立关于m的方程，解方程及验证得解.
【详解】集合，且，
（i）当时，，，违反集合元素的互异性，
（ii）当时，解得或，
① 当时，不满足集合元素的互异性，舍去，
② 当时，，满足题意，则实数m的值为
故答案为.
14. 不等式的解集为________．
【正确答案】或
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可．
【详解】，解得或，
故或．
15. 已知命题，，且为真命题时的取值集合为．设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围为___________．
【正确答案】
【分析】化简命题，结合条件列不等式可求的范围.
【详解】依题意，关于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值的集合．
因为是的必要不充分条件，
所以为的真子集．
又为非空集合，
所以， 得，
所以实数的取值范围为．
故答案为.
16. 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．
【正确答案】．
【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围．
【详解】不等式可化为，
①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
③当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有2个整数，，解得：；
④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；
⑤当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有2个整数，，解得：，
综合以上，可得.
故．
关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．
四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17. 已知集合，或.
（1）若全集，求、；
（2）若全集，求.
【正确答案】（1）或，或；
（2）
【分析】（1）（2）利用并集、补集、交集的定义直接求解即可.
【小问1详解】
集合，或，则或，
或，所以或.
【小问2详解】
由或，得，
所以.
18. （1）若，且，
求：（i）的最小值；
（ii）的最小值.
（2）求的最小值.
【正确答案】（1）（i）（ii）；（2）32
分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii），
【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得，
故，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为64；
（ii），，，
，当且仅当且，
即，时等号成立，即 取得最小值18；
（2）由可得
当且仅当，即时等号成立
故的最小值为32.
19. 设，已知集合，．
（1）当时，求实数的范围；
（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由列出不等式，求解即可；
（2）由题可得是的真子集，分类讨论，列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
由题可得且，解得．
【小问2详解】
由题可得是的真子集，
当，则，因为，所以不合题意；
当，则，因为是的真子集，
所以且等号不能同时成立，解得
综上，．
20. （1）已知一元二次不等式的解集为−3,2，求实数、的值及不等式的解集．
（2）已知，解不等式：．
【正确答案】（1），；（2）答案见解析
【分析】（1）利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程根与系数的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可；
（2）比较和，分、、三种情况解不等式即可.
【详解】（1）由的解集为−3,2，知的两根为，2，
所以，解得
所求不等式为，
变形为，
即，解得或，
所以不等式的解集为．
（2）原不等式为．
①若时，即时，原不等式的解集为；
②若时，即时，原不等式的解集为；
③若时，即时，原不等式的解集为．
综上可得，当时，原不等式的解集为；
当时，则原不等式的解集为；
当时，则原不等式解集为．
21. 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
【正确答案】（1）40元 （2）10.2万件，30元
【分析】（1）设每件定价为元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；
（2）列出不等关系，分离参数得，从而利用基本不等式即可得解
【小问1详解】
依题意，设每件定价为元，得，
整理得，解得.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
【小问2详解】
依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解，
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以，
当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，
此时该商品的每件定价为30元.
22. 定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集．
（1）求集合的生成集；
（2）若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；
（3）若集合，的生成集为，求证．
【正确答案】（1）
（2）或或
（3）证明见解析
【分析】（1）根据定义计算即可求解；
（2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可；
（3），，根据作差法得出，结合，即可证明．
【小问1详解】
由题可知：
①当时，，
②当时，，
③当，或时，，
所以．
【小问2详解】
①当时，，
②当时，，
③当，或，时，，
的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或或，
解得或或（舍去）．
【小问3详解】
证明：，，
，
，
，即，
，又，所以，
综上可得．