初中北师大版（2024）3 线段的垂直平分线课文配套课件ppt

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1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并利用定理解决几何问题. 2.用尺规作线段的垂直平分线.
1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
2.什么叫线段的垂直平分线？
3.线段的垂直平分线有什么性质？
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，这条线段的垂直平分线(中垂线).
垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点.求证：PA＝PB
证明：∵MN⊥AB，∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°.∵ AC＝BC，PC＝PC,∴△PCA ≌△PCB ( SAS ). ∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）
条件：点在线段的垂直平分线上；结论：这个点到线段两端点的距离相等．表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
例1.如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm B．10 cmC．15 cm D．17.5 cm
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
它是真命题吗？你能证明吗？
如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
例2.已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明一：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
证明二：延长AO交BC于点D.∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO=∠CAO.∵AB=AC，∴AD⊥BC，BD＝CD.∴直线AD，即AO垂直平分线段BC.
1.到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点C.三边高线的交点 D.没有这样的点
2.如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm.
3.如图，AD⊥ BC，BD = DC，点 C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
解：∵　AD⊥ BC，BD = DC， ∴　AD 是 BC 的垂直平分线， ∴　AB = AC.
∴　AB = AC = CE.∵　AB = CE，BD = DC，∴　AB + BD = CD + CE.即　AB + BD = DE .
∵点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴　AC = CE.