安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了 将函数， 已知集合， 已知，5 环B， 已知，若等内容，欢迎下载使用。
考查范围：⾼中数学 必修⼀、⼆+选修⼀第⼀、⼆章
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.
A. B. C. D.
已知直线 ：，圆：，则直线 与圆的位置关系⼀定是（）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定
已知是两条直线，是⼀个平⾯，下列命题正确的是（）
A. 若，，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
6. 将函数
象重合，则
的最⼩值为（
）
的图象向左平移
个单位⻓度后，与函数
A. 6
B. 3
C.
D.
的图
7. 已知随机事件 A 和 B，下列表述中正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若互斥，则D. 若对⽴，则
1. 已知集合
则
（
）
A.
B.
C.
D.
2. 已知
（
虚数单位)，则
（
）
A. 2
B.
C. 4
D. 8
3. 已知
，
，则
（
）
⼆、选择题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
A.
如图，正⽅形中，是的中点，若，则（）
B. C. D.
2023 年杭州亚运会上中国选⼿盛李豪获得男⼦ 10 ⽶⽓步枪⾦牌，并打破世界记录，他在决赛的第⼀阶段成绩（环数）如下表：
则下列说法正确的是（）
成绩的众数是 10.5 环B. 成绩的极差是 0.4 环
C. 成绩的 25%分位数是 10.5 环D. 平均成绩是 10.4 环
⾼斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之⼀，享有“ 数学王⼦” 的称号，他和阿基⽶德、⽜顿并列为世界三⼤数学家，⽤其名字命名的“ ⾼斯函数” 为：设，⽤表示不超过 x 的最⼤整数，则
称为⾼斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（）
是偶函数B. 是奇函数
C. 在上是增函数D. 值域是
三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.
8. 已知
为
上的奇函数，
，且
在区间
上单调递减.若
，
，则
的⼤⼩关系为（
）
A.
C.
B.
D.
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
环数
10.5
10.6
10.3
10.5
10.3
10.6
10.7
10.7
10.5
10.6
已知正六棱柱各个顶点都在球 O 的球⾯上，球⼼ O 到正六棱柱的上、下
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
如图所示，已知四棱锥中，ABCD直⻆梯形，，平⾯
，.
求点 B 到平⾯ CDE 的距离；
求⼆⾯⻆的正切值.
在中，已知.
若且，求的⾯积；
若求的取值范围.
已知函数是定义在上的奇函数.
求的值；
求使不等式成⽴的的取值范围.
近年来，我国居⺠体重“超标”成规模增⻓趋势，其对⼈的⼼⾎管安全构成威胁，国际上常⽤身体质量指数衡量⼈体胖瘦程度以及是否健康，中国成⼈的BMI 数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某社区医院为了解居⺠体重现状，
随机抽取了 100 名居⺠体检数据，将其BMI 值分成以下五组：，，，，
，得到相应的频率分布直⽅图.
底⾯的距离均为 1，若
，则球 O 的表⾯积为.
13. 已知直线
与直线
平⾏（其中为实数），则它们之间的
距离为.
14. 已知，若
，则
．
求频率分布直⽅图中 a 的值，并估计该社区居⺠BMI 值的样本数据的分位数；
现从样本中利⽤分层随机抽样的⽅法从，这两组中抽取 6 名居⺠，再从这 6 ⼈中随机抽取 2 ⼈，求抽取到的 2 ⼈的BMI 值不在同⼀组的概率.
如图 1，在⻓⽅形 ABCD 中，已知，，E 为 CD 中点，F 为线段 EC 上（端点 E，C 除外）
的动点，过点 D 作 AF 的垂线分别交 AF，AB 于 O，K 两点．现将折起，使得（如图 2）．
证明：平⾯平⾯；
求直线 DF 与平⾯所成⻆的最⼤值．
⾼⼆开学摸底检测数学
分值：150 分时间：120 分钟
考查范围：⾼中数学 必修⼀、⼆+选修⼀第⼀、⼆章
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.
【分析】⾸先解⼀元⼆次不等式求得集合 A，之后利⽤交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
⼜因为，所以，故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利⽤⼀元⼆次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题⽬.
【分析】根据复数的运算法则，化简得到，进⽽求得，得到答案.
【详解】由复数，可得，所以.
故选：B.
1. 已知集合
则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
2. 已知
（ 为虚数单位)，则
（
）
A. 2
B.
C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
3. 已知
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】

【分析】根据向量夹⻆公式的坐标表示求解.
【详解】由已知两式相加，得即，两式相减可得即，
所以.
故选：C
已知直线 ：，圆：，则直线 与圆的位置关系⼀定是（）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】由直线 的⽅程可得直线 恒过定点，判断点在圆的内部，从⽽可得结果．
【详解】因为直线 的⽅程为，所以直线 恒过定点，
对于点，因为，所以在圆的内部，
则直线 与圆⼀定相交，故选 C．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，以及直线过定点问题，属于基础题．判断直线过定点主要形式有：（1 ）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.
已知是两条直线，是⼀个平⾯，下列命题正确的是（）
若，，则B. 若，则

C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线⾯位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解.
【详解】对于A，若，，则平⾏或相交，不⼀定垂直，故A 错误.对于B，若，则或，故B 错误.
对于C，，过作平⾯，使得，
因为，故，⽽，故，故，故C 正确.对于D，若，则，故D 错误.
故选：C.
将函数的图象向左平移个单位⻓度后，与函数的图象重合，则的最⼩值为（）
A. 6B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，函数的图象与的图象重合，可得
，从⽽得解.
【详解】将的图象向左平移个单位⻓度，得到，
其图象与的图象重合，
则，所以，
⼜，所以的最⼩值为 3.
故选：B
已知随机事件 A 和 B，下列表述中正确的是（）

【答案】D
【解析】
【分析】根据事件的包含关系与概率之间的关系判断AB，根据互斥事件和对⽴事件的概率关系判断CD.
【详解】选项A：若 ，则 ，因此 ，⽽⾮ ，错误.选项B：若 ，则 ，因此 ，⽽⾮ ，错误.
选项C：若 和 互斥，则 ，故 ，⽽⾮ ，错误.选项D：若 和 对⽴，则 为必然事件，故 ，正确.故选：D.
已知为上的奇函数，，且在区间上单调递减.若
，，则的⼤⼩关系为（）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断的奇偶性和单调性，再根据单调性⽐较⼤⼩.
【详解】因为为上的奇函数，所以是偶函数，
⼜因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递增；
⼜，，所以，所以.
故选：B.
⼆、选择题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
如图，正⽅形中，是的中点，若，则（）
A
若
，则
B. 若
，则
C.
若
互斥，则
D. 若
对⽴，则

A.
B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】建⽴如图所示的平⾯直⻆坐标系，利⽤向量线性运算的坐标形式可求，，故可得正确的选项.
【详解】
以为坐标原点建⽴平⾯直⻆坐标系，设正⽅形边⻓为 1，则，则.
故，，，故，
解得，故，，，故选： AB.
2023 年杭州亚运会上中国选⼿盛李豪获得男⼦ 10 ⽶⽓步枪⾦牌，并打破世界记录，他在决赛的第⼀阶段成绩（环数）如下表：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
环数
10.5
10.6
10.3
10.5
10.3
10.6
10.7
10.7
10.5
10.6

则下列说法正确的是（）
成绩的众数是 10.5 环B. 成绩的极差是 0.4 环
C. 成绩的 25%分位数是 10.5 环D. 平均成绩是 10.4 环
【答案】BC
【解析】
【分析】根据众数、极差、百分位数、平均数的定义⼀⼀计算即可.
【详解】对A，数据中有 3 个和 3 个，所以众数是，，A 选项错误；对B，极差是最⼤值与最⼩值的差，，所以B 选项正确；
对C，将数据从⼩到⼤排列，，所以其分位数是第 3 个数，为，所以C 选项正确；对D，数据的平均成绩为：，D 选项错误，
故选：BC.
⾼斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之⼀，享有“ 数学王⼦” 的称号，他和阿基⽶德、⽜顿并列为世界三⼤数学家，⽤其名字命名的“ ⾼斯函数” 为：设，⽤表示不超过 x 的最⼤整数，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利⽤偶函数的定义举例判断 A；利⽤奇函数的定义推理判断 B；利⽤指数型复合函数单调性判断 C；求出的值域，进⽽求出的值域判断D.
【详解】依题意，函数的定义域为，
对于A，，，，函数不是偶函数，A 错误；
对于B，，则函数是奇函数，B 正确；
对于C，函数在 上单调递增，则函数在 R 上是增函数，C 正确；
称为⾼斯函数.例如：
，
.已知函数，，则下
列叙述中正确的是（）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C.在 上是增函数
D.的值域是
对于D，由，得，则，的值域为，D 错误.故选：BC
三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.
已知正六棱柱的各个顶点都在球 O 的球⾯上，球⼼ O 到正六棱柱的上、下底⾯的距离均为 1，若，则球 O 的表⾯积为.
【答案】
【解析】
【分析】求出底⾯正六边形外接圆的半径，进⽽求出外接球的半径，即可得解.
【详解】因为，所以正六边形的的外接圆半径，所以球 O 的半径，
所以球 O 的表⾯积为.
故答案为：
已知直线与直线平⾏（其中为实数），则它们之间的距离为.
【答案】3
【解析】
【分析】根据直线平⾏求得，即可求两平⾏线之间的距离.
【答案】
【解析】
【详解】因为直线
与直线
平⾏，
则
，解得
，
可知两直线分别为
，
，符合题意，
所以两直线的距离为
故答案为：3.
.
14. 已知
，若
，则
．
【分析】利⽤诱导公式可求得，利⽤，结合⼆倍⻆的余弦公式可求值.
故答案为：
【详解】由，可得，则，则
.
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
如图所示， 已知四棱锥中， ABCD 是直⻆梯形，，平⾯
，.
求点 B 到平⾯ CDE 的距离；
求⼆⾯⻆的正切值.
【答案】（1）4（2）
【解析】
【分析】（1）建⽴空间直⻆坐标系，⽤点到⾯的距离公式即可算出答案；
（2）先求出两个⾯的法向量，然后⽤⼆⾯⻆公式即可.
【⼩问 1 详解】
∵ 平⾯平⾯
∴ ，
⼜两两互相垂直，

则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
，
设平⾯的⼀个法向量
即
令，可得 ，
，
记点到平⾯的距离为，
则，
所以点到平⾯的距离为 4.
【⼩问 2 详解】
由 ( 1 ) 可知平⾯的⼀个法向量为平⾯的⼀个法向量为，
设⼆⾯⻆的平⾯⻆为，
由图可知，
，
由图知，⼆⾯⻆为锐⼆⾯⻆，
所以⼆⾯⻆的余弦值为，正弦值为，
⼆⾯⻆正切值为.
在中，已知.
若且，求的⾯积；
若求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和⾯积公式即可求解；
（2）结合基本不等式求最值和三⻆形边的关系即可求解.
【⼩问 1 详解】
由正弦定理得，⼜，从⽽，由得，
从⽽，
所以的⾯积.
【⼩问 2 详解】
由，
⼜，当且仅当时取等号，
从⽽，所以，
⼜因为中，，从⽽，所以的范围是.
已知函数是定义在上奇函数.
求的值；
求使不等式成⽴的的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据即可求解.
，
即，所以函数是定义在上的奇函数.
（2）由，即，
因为为单调递增函数，
所以，即，当时，不等式恒成⽴；
当时，则，
解得，此时
综上所述，使不等式成⽴的的取值范围为.
近年来，我国居⺠体重“超标”成规模增⻓趋势，其对⼈的⼼⾎管安全构成威胁，国际上常⽤身体质量指
（2）利⽤对数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）函数
是定义在
上的奇函数，
则，即，所以
所以，
，解得
，
数衡量⼈体胖瘦程度以及是否健康，中国成⼈的 BMI 数值标准是：为偏瘦；
为正常；为偏胖；为肥胖.某社区医院为了解居⺠体重现状，随机抽取了 100 名居⺠体检数据，将其BMI 值分成以下五组：，，，，
，得到相应的频率分布直⽅图.
求频率分布直⽅图中 a 的值，并估计该社区居⺠BMI 值的样本数据的分位数；
现从样本中利⽤分层随机抽样的⽅法从，这两组中抽取 6 名居⺠，再从这 6 ⼈中随机抽取 2 ⼈，求抽取到的 2 ⼈的BMI 值不在同⼀组的概率.
【答案】（1），分位数为 26.5
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为 1 得到⽅程，求出，利⽤百分位数的求解⽅法得到分位数；
（2）求出两组⼈数⽐值为，则在，中分别抽取 2 ⼈，4 ⼈，利⽤列举法求解古典概型
⼩问 2 详解】
的概率.
【⼩问 1 详解】
由频率分布直⽅图得
，解得.
因为前三组的频率之和为前四组的频率之和为
，
，
所以样本数据的分位数在
内，设为 x，
则，解得
，
故估计该社区居⺠身体质量指数BMI
值的样本数据的
分位数为 26.5.
由频率分布直⽅图可知BMI 值在内的频数为，在内的频数为，所以两组⼈数⽐值为，
按照分层随机抽样的⽅法抽取 6 ⼈，则在，中分别抽取 2 ⼈，4 ⼈，
记这组 2 ⼈的编号分别为，，这组 4 ⼈的编号分别为，，，，从这 6 ⼈中随机抽取 2 ⼈，
故 样 本 空 间
，共 15 个样本点，
设事件“抽取到的 2 ⼈的BMI 值不在同⼀组”，
则，共 8 个样本点，
故，即从这 6 个⼈中随机抽取 2 ⼈，抽取到的 2 ⼈的BMI 值不在同⼀组的概率为.
如图 1，在⻓⽅形 ABCD 中，已知，，E 为 CD 中点，F 为线段 EC 上（端点 E，C 除外）的动点，过点 D 作 AF 的垂线分别交 AF，AB 于 O，K 两点．现将折起，使得（如图 2）．
证明：平⾯平⾯；
求直线 DF 与平⾯所成⻆的最⼤值．
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证平⾯，得平⾯，所以，再证平⾯，从
⽽得证⾯⾯垂直；
（ 2） 直线 DF 与平⾯所成⻆为， 记， 设（）， 由
，得
【⼩问 1 详解】
，计算，利⽤基本不等式得最⼤值，从⽽得⻆的最⼤值．
因为，，，平⾯，，所以平⾯．
因为平⾯，所以．
⼜因为，，平⾯，，
【⼩问 2 详解】
连结 FK，由（1）可知，直线 DF 与平⾯所成⻆，记．在图 1 中，因为，所以，
⼜因为，所以．
⼜因为，所以．
设（），由，得，解得．在图 2 中，因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成⽴，
⼜因为，所以的最⼤值为，
即直线 DF 与平⾯所成⻆的最⼤值为．
所以
平⾯
．
因为
平⾯
，所以平⾯
平⾯
．