2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山西省吕梁市高二上学期期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=0,−1,2，b=3,2,−1，则a⋅b的值为( )
A. 4B. 0C. −4D. −1
2.已知函数fx=x3，则f′2的值为( )
A. 6B. 12C. 24D. 0
3.数列an为等差数列，公差为d，2d=1，a2=−5，则a4的值为( )
A. −4B. −72C. 4D. 72
4.若AB⋅CD=0，则直线AB与CD的位置关系是( )
A. 平行B. 相交C. 异面D. 相交或异面
5.抛物线y2=12x的焦点F到准线l的距离是( )
A. 14B. 12C. 18D. 116
6.已知曲线C:x2+y−12=4(y≥1)和直线l:y−1=kx+3有且仅有一个公共点，则直线l的斜率为( )
A. ±2 55B. −2 55C. 2 55D. 不存在
7.数列an的通项公式为an=21×12n，当an的前n项积最大时，n为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.下面四个选项中，正确的是( )
A. 双曲线x24−y24=1绕坐标原点O逆时针旋转π4得到曲线y=1x
B. 曲线y=x+1x是由双曲线y22 2+1−x22 2−1=1绕原点O顺时针旋转π8得到的
C. 曲线y=x+1x的离心率为4−2 2
D. 曲线y=−x−1x的渐近线方程是y=−x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 曲线2x2+2y2−4y+3=0表示圆
B. 过点−2,0作圆x2+y2=2的切线，其切线长为 2
C. 过圆x2+y+32=4与x−42+y2=1可作4条公切线
D. 直线l:y=xsinθ−2的倾斜角范围是0,π4∪3π4,π
10.通常把导函数y=f′x的导数叫做函数y=fx的二阶导数，记作y=f′′x，类似地，函数y=fx的n−1阶导数的导数叫做函数y=fx的n阶导数，记为y=fnx.若fx=xex+sin3x+cs3x，则下面选项正确的是( )
A. f′′1=3e−9sin3B. f31=4e−27cs3+27sin3
C. f20240=2024+32024D. f20250=2024+32025
11.沿着下面左图纸带宽的三等分线(虚线)剪开，不能得到的剪开图是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一条光线从点A3,−2出发射到直线y=−x上的点B，经直线y=−x反射后，反射光线恰好经过点C5,1，则入射光线所在直线的斜率为 ．
13.设数列an满足a1=−34，an+1=an+n⋅3n，n∈N∗，则a2025= ．
14.已知曲线C:2x2−3y2−6=0，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，若△OPN的面积为125，则四边形PNOM的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆C:x2+y2−2x−3=0，直线l:3x−4y−18=0．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值；
(3)圆心为C1−2,4的圆与圆C相切，求圆C1的方程．
16.(本小题12分)
已知数列an中，a1=72，且满足an+1−3an+1=0(n∈N∗).
(1)证明：数列an−12为等比数列；
(2)求an的通项公式；
(3)令bn=3nan⋅an+1，Sn为数列bn的前n项和，证明：Sn0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P为椭圆上任一点，且▵F1PF2的面积的最大值为 3．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C有两个不同的交点M，N(均不与点A重合)，且AM⋅AN=0，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，求△AMN面积的最大值．
19.(本小题12分)
已知边长为6的菱形ABCD(如图1)，∠BAD=π3，AC与BD相交于点O，E为线段AO上一点，且OE=12EA，将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥A−BCD(如图2)．
(1)证明：BD⊥AC；
(2)当三棱锥A−BCD的体积最大时，
(ⅰ)求三棱锥A−BCD外接球的表面积；
(ⅱ)求平面BCE与平面ACD的夹角的余弦值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.A
6.C
7.C
8.B
9.BCD
10.BC
11.ACD
12.34
13.40474×32025
14.485/935
15.解：(1)圆C可化为(x−1)2+y2=4，圆心为C(1,0)，半径r=2，
∴圆心C(1,0)到直线l:3x−4y−18=0的距离d=|3−0−18| 32+42=155=3>r=2，
∴直线l与圆C相离；
(2)由(1)可知圆心C(1,0)到直线l:3x−4y−18=0的距离d=3，
∴圆C上的点到直线l距离的最大值为d+r=3+2=5，最小值为d−r=3−2=1；
(3)
设圆C1的半径为r1，
∵C,C1两圆相切，且CC1= −2−12+4−02=5，
∴当圆C1与圆C外切时，r1=5−2=3，当圆C1与圆C内切时，r1=5+2=7，
∵圆心为C1(−2,4)，
∴圆C1的方程为(x+2)2+(y−4)2=9或(x+2)2+(y−4)2=49．

16.解：(1)由题意知an+1−3an+1=0n∈N∗，所以an+1−12=3an−12，
由于a1=72，故a1−12=3≠0，故an+1−12an−12=3，
故数列an−12是以3为首项，公比为3的等比数列；
(2)由(1)可知an−12是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以an−12=3×3n−1=3n，故an=3n+12.n∈N∗
(3)由(2)知．an=3n+12n∈N∗
所以bn=3nan⋅an+1=3n3n+123n+1+12=1213n+12−13n+1+12，
故Sn=12131+12−132+12+132+12−133+12+⋯+13n+12−13n+1+12
=12131+12−13n+1+12=17−12×3n+1+1，
由于n∈N∗,12⋅3n+1+1>0，故Sn0，
故Sn0，故存在定点−27,0．
解法二：将椭圆方程向右平移2个单位，得(x−2)24+y23=1,
∴3(x−2)2+4y2=12，
即3x2−12x+4y2=0①，设直线MN方程为mx+ny=1，
代入(1)得：3x2−12xmx+ny+4y2=0,∴3x2−12mx2−12nxy+4y2=0，
即4y2−12nxy+(3−12m)x2=0，
∵x≠0，两边同时除以x2得：4y2x2−12nyx+3−12m=0 ②，
设Mx1,y1,Nx2,y2，
k1=kAM=y1x1,k2=kAN=y2x2，k1、k2是②式的两根，
k1k2=3−12m4=−1得m=712，∴lMN:712x+ny=1，平移回去(向左平移2个单位)，
得712x+2+ny=1,∴x=−127ny−27,∴直线l过定点−27,0．
(3)解法一：由(2)知，l:x=my−27，A−2,0，
所以A到l的距离d=127 1+m2，
所以▵AMN面积S=12|MN|⋅d=12d 1+m2y1−y2=67 y1+y22−4y1y2
=67 127m3m2+42+48×48493m2+4=7249 49m2+16×43m2+42，
令3m2+4=n,∴n≥4，
∴S=7249 493n−43n2=7249 493×1n−43×1n2，因为00，故Smax=14449．
18题图
解法二：SAMMV=12×−27+2y1−y2=67y1−y2
=67 y1+y22−4y1y2=7249⋅ 49m2+643m2+4，其余同上．

19.解：(1)因为四边形ABCD是边长为6的菱形，并且∠BAD=π3，
所以▵ABD，▵BCD均为等边三角形，故AO⊥BD，CO⊥BD，
因为AO⊂平面ACO，CO⊂平面ACO，且AO∩CO=O，
所以BD⊥平面ACO，因为AC⊂平面ACO，所以BD⊥AC．
(2)因为▵ABD为等边三角形，且AO⊥BD，
又▵BCD的面积是定值，所以当平面ABD⊥平面BDC时，
三棱锥A−BCD的体积最大，所以AO⊥平面BCD，
如图，以O为坐标原点，OB、OC、OA所在直线分别为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz；
因为菱形ABCD的边长为6，所以
O0,0,0，A0,0,3 3B3,0,0，C0,3 3,0，D−3,0,0，
∵OE=12EA∴E0,0, 3
(ⅰ)设外接球的球心为O1(a,b,c)，半径为R，
则a2+b2+(c−3 3)2=R2(a−3)2+b2+c2=R2a2+(b−3 3)2+c2=R2(a+3)2+b2+c2=R2得：a=0b= 3,∴R2=9+3+3=15c= 3.
所以外接球的表面积S=4πR2=60π；
(ⅱ)设平面BCE与平面ACD的法向量分别为m=x1,y1,z1，n=x2,y2,z2，
又BC=(−3,3 3,0),BE=(−3,0, 3),DA=(3,0,3 3),DC=(3,3 3,0)．
故m⋅BC=−3x1+3 3y1=0m⋅BE=−3x1+ 3z1=0取x1= 3，则y1=1,z1=3，得m=( 3,1,3)，
又n⋅DA=3x2+3 3z2=0n⋅DC=3x2+3 3y2=0取x2= 3，则y2=−1,z2=−1，得n=( 3,−1,−1)，
∴|cs⟨m,n⟩|=|m⋅n||m|⋅|n|=1 13× 5= 6565
故平面BCE与平面ACD的夹角的余弦值为 6565．