山西省吕梁市2024-2025学年高二下学期期末统一测试数学试卷

这是一份山西省吕梁市2024-2025学年高二下学期期末统一测试数学试卷，共11页。

参考答案
1．B
【详解】由题得? ∩ ? = {−1,0,1}.故选：B．
2．A
【详解】先改写量词，再改写结论，得“∀? ∈ ?,?2 + ? + 1 > 0 ”的否定是“∃? ∈ ?,?2 +
? + 1 ≤ 0 ”.故选：A 3．A
【详解】观察发现从左到右第一个散点图所对应的样本相关系数?1为正数，且趋近于 1，所以?1最大，故选：A．
4．B
【详解】已知函数? = ???2?的图象与函数? = 2?的图象关于直线? = ?对称，所以?(?) = ???2
?，所以?(4) = ???24 = 2.故选：B．
5．C
【详解】因为随机变量? ∼ ?(1,?2)，所以正态分布的对称轴为? = 1，所以?(? ≤ 1) = 0.5
又因为?(0 < ? < 2) = 0.3，则?(? ≤ 0) = 0.5 0.3 = 0.35.故选：C．
−
2
6．D
【详解】由题知，4 名同学分成 2，1，1 三组，分配到 3 个社区参加志愿服务活动，则所有的分法总数为?2?3 = 36种，甲、乙 2 人被分配到相同社区的分法总数为?3 = 6种，则甲、
4 33
乙 2 人被分配到不同社区的概率为1− 6 = 5.故选：D．
366
B
【详解】易知当? ≤ 0时，函数? = ??单调递增，且? = ?? ∈ 0，1];
?
当? < 0时，易知函数? = ? + ?在(0, + ∞)上单调递增，当?→0时，?→−∞，当?→ + ∞，时，?→ + ∞，
?
若函数?(?) = ?(?) +?恰有 2 个零点，即函数?(?)的图象与? = −?有两个交点，由图可知? ∈ [−1,0)；
当? = 0时，函数? = ? + ? = ?， 显然函数?(?)的图象与? = 0没有交点，不合题意；
??
当? > 0时，根据对勾函数性质可知? = ? + ? = ? + ? ≥ 2 ?，当且仅当? = ?时等号成立
显然函数?(?)的图象与? = −?没有交点，不合题意；综上可知，实数?的取值范围是[−1,0).故选：B
D
【详解】将?用?−1替换，
?+?
2
?−?
2
由对任意实数?，?都有?(?) +?(?) = 2??，
?+?−1
2
可得?(?) +?(?−1) = 2?
?
= 2?
?
，由?
= 0，
?−?+1
2
2?−1
2
1
2
1
2
所以?(?) +?(?−1) = 0，即?(?) = −?(?−1)，
所以?(? + 1) = −?(?) = ?(?−1)，所以函数的周期? = 2，令? = ? = 0，则?(0) +?(0) = 2?(0) × ?(0)，因为?(0) ≠ 0，所以?(0) = 1，
所以?(2026) = ?(1013 × 2 + 0) = ?(0) = 1.故选：D
BCD
【详解】对于 A，|?| < 2⟺−2 < ? < 2⇏? < 1，同理? < 1⇏−2 < ? < 2，所以“? < 1” 是
“|?| < 2” 的既不充分也不必要条件，A 错； 对于 B，函数? = ?−1的定义域为 ?−1 ≥ 0
?−3
?−3 ≠ 0
⟹? ∈ 1，3) ∪ 3， + ∞ ，所以 B 对；对于 C，若数据?1，?2，⋯??的方差为?? =4，则数据3?1 +1，3?2 +1，⋯3?? +1的方差为32?? = 9 × 4 = 36，所以 C 对 ；对于
D．(1 + 2?)6的展开式中各项的二项式系数和为?0 + ?1 + ?2 +⋯ + ?6 = 26 = 64，所以 D
对. 故选：BCD
6666
AB
【详解】函数?(?) = |?−1|−|?−3| =
2? ≥ 3;
2?−4 1 ≤ ? < 3;，
−2? < 1.
由图象可知 ?(?)的值域为−2，2，所以 A 正确； ?(?)在3， +∞)上为 2，是常数，所以 B
正确；对于 C，由图可知? = ?(?)的对称中心为（2，0），所以 C 错误；对于 D，令?(?) = ?,则
?(?(?)) = 0⟹?(?) = 0，由?(?) = 0得? = 2，即?(?) = 2，由图象知有无数个实数解，所以 D
错误.故选：AB.
ABD
【详解】由题知?(?1) = 0.4，?(?2) = 0.35, ?(?3) = 0.25，?(?|?1) = 0.05，?(?|?2) = 0.0 3，?(?|?3) = 0.08，所以已知抽取的零件来自丙生产线，则该零件为次品的概率为 8%，A正确；由?(?) = ?(?1) ∙ ?(?|?1) + ?(?2) ∙ ?(?|?2) + ?(?3) ∙ ?(?|?3) = 0.4 × 0.05 + 0.35
× 0.03 + 0.25 × 0.08 = 0.0505.所以 B 正确；由?(?1?) = ?(?1)?(?|?1)
= 0.4 × 0.05 = 0.02，又因为?(?1) = 0.4，?(?) = 0.0505，?(?1?) = 0.02 ≠ 0.4 ×
0.0505 = 0.0202 = ?(? )?(?)，故事件? 和 B 不独立，C 错误；由?(? |?) = ?(?2?) =
112
?(?)
?(?2)?(?|?2) = 0.35×0.03 = 21 ，所以 D 正确.
?(?)
0.0505
101
故选：ABD.
48
【详解】因为(?−1)(2? + 1)5 = ?(2? + 1)5−(2? + 1)5，
所以(?−1)(2? + 1)5的展开式中?5的系数为：(2? + 1)5展开式中?4的系数减去(2? + 1)5展开式中?5的系数.
因为(2? + 1)5展开式的通项公式为：??+1 = ??(2?)5−?,令? = 1得?4的系数为?124 = 80，
55
5
令? = 0得?5的系数为?025 = 32，所以(?−1)(2? + 1)5的展开式中?5的系数为 80-32=48.
?−? > ??.
?−?1 111
10?10
3
【详解】 ∵
??
= −
? ?
=−
??3
??3
= ???3 −???3 = ??? ?
1010
?−?
3
∵ 3? < 10, ∴ ? > 3，??? ? > 1即 ?? > 1⟹?−? > ??.
3
【详解】若?(3? + 3)为偶函数，?(2? + 5)−1为奇函数，
则?(−3? + 3) = ?(3? + 3)，?(−2? + 5)−1 = −?(2? + 5) +1，
令? = 2，则?(−2 + 3) = ?(2 + 3)，即?(1) = ?(5)，
3
令? = 2，则?(−4 + 5)−1 = −?(4 + 5) +1，即?(1)−1 = −?(9) +1，又因为?(1) +?(1) = 5，所以?(5)−?(9) = ?(1) +?(1)−2 = 3.
故答案为：3.
15.（1）若? = 1，则? = {?|1 < ? < 3}，2 分
? ∪ ? = {?|−1 ≤ ? < 3}4 分
∴ ??(? ∪ ?) = ?|? < −1或? ≥ 3----------------6 分
≠
（2）若? ∈ ?是? ∈ ?的必要不充分条件，则? ⊂ ?，7 分
因为? = {?| 2? < 2? < 8?} = ?| 2? < 2? < 23?
所以，当? ≤ 0 时， ? = ?，满足题意9 分
⊂? > 02
当? > 0时，由? ≠ ?得
? ≥ −1⟹0 < ? ≤ ----------------12 分
3? ≤ 23
综上，?的取值范围为 −∞，2 .13 分
3
养殖法
箱产量
合计
箱产量< 50kg
箱产量≥ 50kg
传统养殖
60
40
100
智能养殖
30
70
100
合计
90
110
200
16.（1）
-7 分
(2)零假设 H0 : 箱产量与养殖方法无关8 分
因为χ2
 200(60  70  40  30)2
100 100  90 110
 18.182  10.828 ，13
分
H
所以根据小概率α 0.001 的χ2 独立性检验，我们推断不成立，即认为箱产量
0
与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不超过 0.001.15
分
17.（1）由题知，? = 3，且?(0) = ???3 3 +? = 0⇒? = −12 分
∴ ?(?) = ???3(? + 3)−1,显然?(?)是定义在(−3, + ∞)上的单调递增函数，3 分
所以关于t 的不等式?(1−?2)−?(?−1) ≥ 0⟺?(1−?2) ≥ ?(?−1)4 分
1−?2 > −3
⟺ ?−1 > −3 解得−2 < ? ≤ 1,所以解集为{?|−2 < ? ≤ 1}7 分
1−?2 ≥ ?−1
(2).?(9? + ?3?) > ?⟺???3(9? + ?3? + 3)−1 > ?⟺9? +?3? +3 > 3?+1
3
3?
⟺? > 3?+1−3−9? = 3−
3?
+ 3? 恒成立.10 分
令? = 3?,则上式⟺? > − 3 −? + 3
?
???
.11 分
因为? ∈ [1,2]，所以? ∈ [3,9],所以−3−? ∈ − 28 ,−4 , −3−? + 3 ∈ − 19 ,−1
?3?3
所以?的取值范围为(−1, + ∞).15 分
18.（1）X 的可能取值为：−3，0，3.1 分
P(X = −3) = 0.5 × 0.4 = 0.22 分
P(X = 0) = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.6 = 0.53
分
P(X = 3) = 0.5 × 0.6 = 0.34 分
X 的分布列用表格表示为
-5 分
（2）Y 的可能取值为：−6，−3，0，3，6.6 分
P(Y = −6) = 0.2 × 0.2 = 0.047 分
P(Y = −3) = 0.2 × 0.5 + 0.5 × 0.2 = 0.28 分
P(Y = 0) = 2 × 0.2 × 0.3 + 0.5 × 0.5 = 0.379 分
P(Y = 3) = 2 × 0.3 × 0.5 = 0.310 分
P(Y = 6) = 0.3 × 0.3 = 0.0911 分
Y 的分布列用表格表示为
-12 分
所以E(Y) = (−6) × 0.04 + (−3) × 0.2 + 0 × 0.37 + 3 × 0.3 + 6 × 0.09 = 0.6
-14 分
?(Y) = (−6)2 × 0.04 + (−3)2 × 0.2 + 02 × 0.37 + 32 × 0.3 + 62 × 0.09−0.62
= 8.8217 分
19.（1）? = 1(40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 30 + 20) = 551 分
8
? = 1(30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 8 + 36 + 40) = 232 分
8
X
-3
0
3
P
0.2
0.5
0.3
Y
-6
-3
0
3
6
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
∑
8
?=1
????
= 40 × 30 + 50 × 25 + 60 × 20 + 70 × 15 + 80 × 10 + 90 × 8 + 30 × 36 + 20
× 40 = 8100
-3 分
∑
8
?=1
??2 = 402 +502 +602 +702 +802 +902 +302 +202 = 284004 分
∴ ? =
8
∑
?=1
∑8
????−8?? =
??2−8?2
8100−8× 55× 23
28400−8× 552
≈ −0.485 分
?=1
∴ ? = 23−(−0.48) × 55 ≈ 49.46 分
∴ ? = −0.48? + 49.47 分
（2）把? = 50 代入? = −0.48? + 49.4得? = −0.48 × 50 + 49.4 = 25.4
所以这位患者的痊愈天数的预测值为 25.4
所以 2 号患者痊愈时间的残差为 25-25.4=-0.410 分
（3）将 6 个病人服用新药视为 6 重伯努利试验，在每次试验中，每个病人痊愈的概率为 0.8，且每个病人是否痊愈是相互独立的.设 X 表示这 6 个病人中痊愈的人数，则?~?(6,0.8)，12
分
C 0.8 0.2 0.01696
设 B=“经过试验该药被认定无效”，事件 B 等价于{? ≤ 2}，则? = ?{? ≤ 2} =
2
kk6k
6
.15 分
k 0
由题意可知，如果新药是有效的，则当痊愈的病人数不超过 2 人时，认定新
药无效，此时作出了错误的判断.因为作出错误判断的概率很小，属于小概率事件，所以试验方案是合理的.17
分