2024-2025学年山西省吕梁市高一（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山西省吕梁市高一（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|−1≤x0
3.一个扇形的圆心角为π3，弧长为2π，则其面积是( )
A. 2πB. 3π2C. 9π2D. 6π
4.已知关于x的一元二次不等式−2x2+mx−n⩾0的解集为{x|12⩽x⩽2}，则mn的值为( )
A. 35B. 52C. 25D. −52
5.已知0cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
6.已知α∈(−π2,0)，则sinα 1+csα1−csα+cs2α 1+tan2α=( )
A. −1B. −2csα−1C. 1D. 2csα+1
7.已知a>0且a≠1，则在同一直角坐标系中，函数y=ax+1和y=(1a)x的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=lnx+x−2,x>0cs2πx−1,x≤0在区间(−a,a)上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是( )
A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算正确的有( )
A. lg2+lg5=1B. 4(−12)4=−12C. (278)−23=49D. lg28=4
10.已知m>0，n>0，且2m+n=3，则( )
A. mn≤98B. mn≥1C. 3n+9m≥12D. 2m+1n≥3
11.已知f(x)=tanx+1tanx，则( )
A. f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z}
B. f(x)的图象关于点(π2,0)对称
C. f(x)的图象关于直线x=π4对称
D. f(x)在区间(−π4,0)上单调递减
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知函数y=f(x)在R上是奇函数，当x≤0时，f(x)=2x−1，则f(1)= ______．
13.已知函数f(x)=|lnx+12|，若f(a)=f(b)，且a≠b，则ab= ______．
14.午夜零时时针和分针重合，则午夜零时后，时针和分针第1次重合所需时间为______小时，第3次重合时时针所转的角度为______rad．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知角α是第三象限角，且sinα−csα= 105．
(1)求sinα+csα的值；
(2)求tanα的值；
(3)若f(x)=cs(x−π2)⋅sin(x−π)⋅cs(2π−x)sin(5π2+x)⋅tan(−x−π)，求f(α)的值．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=1 x− x．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式f(x2+1)0,ω>0,|φ|0且a≠1)的图象可以看作把奇函数y=lga(m−n2−xm−n2+x)(m≠n,a>0且a≠1)的图象向右(m+n>0)或向左(m+n0且a≠1)的图象关于点M(m+n2,0)中心对称.现有函数f(x)=lg2(2m−2xx−n),g(x)=2x−1−12x−1+1+1．
(1)根据上面的结论，求函数ℎ(x)=lg2(8−2xx−2)的对称中心；
(2)若n=−3，m=5，证明函数H(x)=f(x)−g(x)在定义域内有唯一零点；
(3)当n=−1，函数f(x)的图象关于点N(2,1)中心对称时，若存在x1∈[0,5)，x2∈[0,1]，使得f(x1)=g(x2)+t成立，求实数t的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.B
5.C
6.A
7.C
8.B
9.AC
10.AD
11.BCD
12.12
13.1e
14.1211 −6π11
15.解：(1)由sinα−csα= 105得(sinα−csα)2=1−2sinαcsα=25，
则2sinαcsα=35，
所以(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=85．
又因为角α是第三象限角，所以sinα+csα=−2 105．
(2)由(1)可得sinα=− 1010csα=−3 1010，
所以tanα=sinαcsα=13．
(3)f(x)=cs(x−π2)⋅sin(x−π)⋅cs(2π−x)sin(5π2+x)⋅tan(−x−π)=sinx⋅(−sinx)⋅csxcsx⋅(−tanx)=sin2xsinxcsx=sinxcsx，
所以f(α)=sinαcsα=310．
16.解：(1)要使函数f(x)有意义，
则 x≠0且x≥0，即x>0，
所以函数f(x)定义域为(0,+∞)；
(2)f(x)=1 x− x,x∈(0,+∞)是单调递减函数．
证明如下：
设x1，x2∈(0,+∞)，且x10．
所以f(x1)−f(x2)( x2− x1)⋅(1 x1⋅x2+1)>0，
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)=1 x− x,x∈(0,+∞)是单调递减函数．
(3)函数f(x)的定义域为(0,+∞)且单调递减，
所以由f(x2+1)02x+4>0x2+1>2x+4，
解得−2