2024-2025学年重庆市第一中学校高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市第一中学校高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列an中，a1=2,a2+a3=a5，则a10=( )
A. 18B. 20C. 22D. 24
2.函数fx=xex+ax的极值点为x=1，则a=( )
A. −2eB. −eC. eD. 2e
3.与椭圆x212+y23=1共焦点，且与双曲线y210−x28=1共渐近线的双曲线方程为( )
A. x25−y24=1B. x24−y25=1C. y25−x24=1D. y24−x25=1
4.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1>0,S4⋅S53，圆x2+y2=9交x轴负半轴于M，与C在第一象限的交点为N.O为坐标原点，∠MNO=30∘，则a=( )
A. 2 3+1B. 2 3C. 3 3+12D. 3 3
7.已知函数fx=−x2+2x+2ex+m有三个零点，则m的取值范围是( )
A. −2e2,0B. −6e2,0C. 0,6e2D. −2e2,6e2
8.已知数列an满足a1=32,an+1−an=n+32，则1a1+1a2+⋯+1a17+1a18=( )
A. 1920B. 2920C. 341380D. 531380
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an满足a1=1,an+1an=2对∀n∈N+成立，an的前n项和为Sn,Sn的前n项和为Tn，则下列说法正确的是( )
A. Sn为等比数列B. lnan为等差数列
C. Tn=2n+1−n−2D. 若bn=anan+1，则bn为等比数列
10.已知椭圆x28+y24=1的左右两个焦点分别为F1,F2，过点M2,1的直线与椭圆交于A,B两点，P是椭圆上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. PF2最小值为2 2−2
B. 若直线AB经过点F2，则S▵OAB=2 2
C. 存在点P，使得PF1⋅PF21，则a∈0,1e
D. 当a∈1e,4 e,fx的极大值fx0的范围是0,2−ln2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知F是抛物线C:y2=6x的焦点，点P是C上一点，PF=8，则PF的中点M到y轴的距离为 ．
13.无人机表演美轮美色，为了精确的控制每一台参演的无人机，程序员需要为每一台无人机编写控制代码.已知一位程序员每天最多可以编写110行该类代码，从第二台无人机开始，后一台无人机需要的控制代码数量是前一台的a倍a>0，已知控制1000台无人机需要24300行代码，控制2000台无人机需要32400行代码.某无人机表演公司接到客户临时通知，将表演规模从3000台增加到5000台，仅有2天的时间准备，则该公司最少需要组织 名程序员编写新增的控制代码．
14.已知fx=lnx−1ex+ax+4,x∈1e2,1ea−2.7x2+6.4x−2.7,x∈1e,e，若fx≥0恒成立，则a的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知fx=13x3−a+1x2+4ax+23，
(1)若a=2，求fx的单调区间；
(2)若a>0且fx的单调递减区间的长度为4，
(i)求a的值；
(ii)已知fx有唯一的对称中心，求f1+f4+f7的值．
16.(本小题12分)
已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1−2,0,F22,0，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为H，若▵HF1F2的面积为2．
(1)求双曲线E的方程；
(2)过F2的一条直线交双曲线E的右支于A,B两点，若▵ABF1是直角三角形，判断哪一个角不可能是直角，并求直线AB的方程．
17.(本小题12分)
已知公差为d的等差数列an和公比为qq≠1的等比数列bn满足：a3−b3=a5−b4=a9−b5．
(1)求q的值；
(2)若d=4，且a1=1,cn=(−1)nan+bn，求数列cn的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
已知点F1−1,0，动点M在以点F21,0为圆心，4为半径的圆上，若线段MF1的中垂线交线段MF2于点P,O为坐标原点．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)若轨迹E交x轴正半轴于点G，过线段OG(不含端点)上一动点H，作斜率分别为1和−1的两条直线l1,l2，若l1交轨迹E于A,B两点，l2交抛物线y2=8x于点C,D两点，求四边形ACBD的面积的最大值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=alnx+1−ax−1x+1．
(1)若a=1，求y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若fx≥ln2恒成立，求a的取值范围；
(3)试比较101e+199e与2的大小，并说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.A
5.C
6.C
7.C
8.D
9.BCD
10.AB
11.ACD
12.4
13.6
14.e3−2e2
15.【详解】(1)由题设fx=13x3−3x2+8x+23，则f′x=x2−6x+8=(x−2)(x−4)，
在−∞,2∪4,+∞上f′x>0，fx在(−∞,2),(4,+∞)上单调递增，
在(2,4)上f′x0)，其中c为半焦距．
由2a=4，可得a=2，又c=1，根据c2=a2−b2，可得b2=a2−c2=4−1=3．
点P的轨迹方程E为x24+y23=1．
(2)由(1)易知G2,0，设Ht,0(00y3+y4=−8y3⋅y4=−8t．
计算|CD|= (x3−x4)2+(y3−y4)2，因为x3−x4=(−y3+t)−(−y4+t)=y4−y3，
所以|CD|= 2[(y3+y4)2−4y3y4]，得|CD|=8 2+t.
因为AB⊥CD，所以S四边形ACBD=|AB|⋅|CD|2=16 67 (7−t2)(2+t)．
记f(t)=(7−t2)(2+t)=−t3−2t2+7t+14,00，解得00，解得x∈(1a,+∞)，
令f′x