2023-2024学年重庆市第一中学校高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市第一中学校高二上学期期中考试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的斜率为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题将直线化成斜截式，可得答案.
【详解】由题将直线的化简可得，所以斜率为
故选D
【点睛】本题考查了直线的方程，一般式化为斜截式，属于基础题.
2．已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A．B．1C．3D．4
【答案】C
【分析】利用椭圆的性质计算即可.
【详解】由题意可知.
故选：C
3．已知是等差数列的前n项和，且，则的公差（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出答案.
【详解】因为，所以.
又，且，
所以，.
故选：A.
4．如图，在等边中，点O为底边AC的中点，将沿BO折起到的位置，使二面角的大小为90°，则异面直线DO与BC所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】根据线面垂直的判定与性质，证明平面即可
【详解】因为等边，且点O为底边AC的中点，故翻着后，又，故平面，故二面角为，故，又，平面，故平面.又平面，故
故选：D
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（ ）
A．16B．24C．36D．40
【答案】C
【解析】利用双曲线的定义可得，再求出，即可得到答案；
【详解】因为双曲线为，所以；
由双曲线的定义得，
所以，
所以周长为，
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的定义的运用，考查运算求解能力.
6．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可．
【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，
得到奇数项为，
偶数项为，整体代入得，
所以前项的和为，解得.
故选：B
7．数列，满足：，，，则数列的最大项是第（ ）项．
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】根据累加法求出，.设数列的最大项是第项，由得出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
，
，
，
两边分别相加可得，
，
所以有.
因为，
所以，.
设数列的最大项是第项，
则有，即，
整理可得，，解得.
又，所以.
故选：A.
8．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点的反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知抛物线，在抛物线内平行于x轴的光线射向抛物线C，交抛物线C于点P（不为原点），过点P作C的切线l，过坐标原点O作，垂足为Q，反射光线与直线OQ交于点T，点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知，结合图形的性质推得，的轨迹为以F为圆心，以1为半径的圆.求出，即可得出答案.
【详解】由抛物线的光学性质可知，反射光线必经过抛物线的焦点，
设P处的切线与x轴交于N点，如图取点.
由可得，.
根据对称性可知，.
所以，.
，
，，
.
而，
，即，
，
的轨迹为以F为圆心，以1为半径的圆.
因为，
所以．
故选：B.
二、多选题
9．设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列
B．成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值
D．时，n的最大值为33
【答案】ACD
【分析】根据已知得出数列是一个等差数列，求出.根据的关系求出的表达式，根据定义即可判断等差数列；求出公差，进而根据等差数列的性质，即可判断B；由已知列出，求解即可得出的值，判断C项；根据的表达式，求解不等式，即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，
数列是一个等差数列，首项，公差为，
所以，，
所以，.
当时，；
当时，.
时，，满足.
综上所述，.
所以，，
所以，是等差数列，故A项正确；
对于B项，设的公差为，
由A知，，，
根据等差数列的性质可知，，故B项错误；
对于C项，因为，，
要使取得最大值，则应有，
即，解得.
又，所以当或时，取得最大值.故C正确；
对于D项，由A知，，
解，可得.
所以，时，n的最大值为33.故D正确.
故选：ACD.
10．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．过点作直线与圆O交于A，B两点，则范围为
B．过直线上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点
C．圆O与圆有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为
D．圆O上有2个点到直线的距离等于1
【答案】AB
【分析】对于A：可知点在圆O内，根据圆心O到过点的直线的距离结合弦长公式分析求解；对于B：作以为圆心，为半径的圆，由题意可知：直线CD为圆与圆的公共弦所在的直线，结合两圆方程分析求解；对于D：根据点到直线的距离公式结合圆的性质分析判断.
【详解】因为圆O的圆心为，半径，
对于选项A：因为，可知点在圆O内，
可得圆心O到过点的直线的距离，
所以，故A正确；
对于选项B：设，则，
可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由题意可知：直线CD为圆与圆的公共弦所在的直线，
可得，整理得，
令，解得，所以直线CD必过定点，故B正确；
对于选项C：圆的圆心，半径为，
则，
若圆O与圆有且仅有两条公切线，则，
即，解得，
所以实数r的取值范围为，故C错误；
对于选项D：因为圆心O到直线的距离，
所以圆O上有4个点到直线的距离等于1，故D错误.
故选：AB.
11．已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，分别为椭圆左右焦点，点，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若直线l交椭圆于A，B两点，且为AB中点，则直线l的方程为
C．内切圆面积的最大值为
D．的最小值为7
【答案】BCD
【分析】对于A：根据向量运算可得，结合的取值范围运算求解；对于B：利用点差法求直线AB的斜率，即可得方程；对于C：利用等面积可得，结合椭圆性质分析求解；对于D：根据椭圆定义转化可得，结合图形分析求解.
【详解】由题意可知：，椭圆方程为，
对于选项A：因为，
且，所以，故A错误；
对于选项B：设，若为AB中点，则，
可得，
因为在椭圆上，则，两式相减得，
整理得，即，
所以直线l的方程为，即，故B正确；
对于选项C：由题意可知：
设的内切圆半径为，
则，可得，
当点为短轴顶点时，的面积取到最大值，
可得的内切圆半径的最大值为，
所以内切圆面积的最大值为，故C正确；
对于选项D：因为，则，
可得，
当且仅当在线段上时，等号成立，
所以的最小值为7，故D正确；
故选：BCD.
12．在数学中，．已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】对A：根据数列单调性的定义分析证明；对B：作差并结合数列的单调性可判断；对C：可得，结合裂项相消法分析运算；对D：先证，结合累积法可得，再根据等比数列求和分析运算.
【详解】对A：，当且仅当时，等号成立，而，可得，故，即，故数列是递增数列，A正确；
对B：，
由A知：对，
当且仅当时，等号成立，故，B正确；
对C：，则，而，即，
，即，
故
，
可得，C正确；
对D：，而，则，
故，可得，则，
当时，则
，
当时，，故．则，D错误；
故选：ABC.
三、填空题
13．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，则 ．
【答案】
【分析】将点代入抛物线求得方程，再利用点点距求解
【详解】代入抛物线方程，解得，焦点为，故
故答案为：3
14．己知数列满足，则 ．
【答案】
【分析】由已知得，根据等比数列的定义写出数列的通项公式，进而得到，即可求项.
【详解】由题设，又，数列不可能存在为0的项，
所以，故，且
所以是首项为1，公比为2的等比数列，即，故，
所以.
故答案为：
15．已知数列是公差不为0的等差数列，数列为等比数列，数列的前三项分别为1，2，6，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】先根据数列的前三项分别为1，2，6，得到，继而可求出等比数列的公比，写出数列通项公式，再根据数列是公等差数列，写出数列的通项公式，两者相等，即可求解.
【详解】根据题意得，，则，即，
设的公比为，则，
故，又，
∴，
∴．
故答案为：
16．我们把形如的函数称为类双勾函数，这类函数有两条渐近线和，它的函数图像是对称轴不在坐标轴上双曲线．现将函数的图像绕原点逆时针旋转一定的角度得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是 ．
【答案】
【分析】根据两条渐近线的夹角得到渐近线的倾斜角，结合离心率公式求得结果.
【详解】由题意可知，以y轴和为渐近线，其夹角为，
故旋转后双曲线的一条渐近线倾斜角为，.
故双曲线离心率．
故答案为:.
四、解答题
17．已知数列中，，为等差数列，它的前n项和为，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义以及通项公式求得，再根据等差数列的通项公式求得；
（2）根据对数运算求出，再根据裂项相消法求和得出结果.
【详解】（1）由条件知，，，
所以数列是公比为2的等比数列，
又
由得，
由得，
联立以上两个方程解得
.
（2）由（1）知，
则，
18．如图所示，在三棱锥中，．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）先根据已知以及线面垂直的判定定理得出平面.进而根据已知得出.然后即可根据等体积法以及锥体的体积公式得出答案；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面以及平面的法向量，根据向量法即可得出答案.
【详解】（1）由题有，则.
同理，有.
因为，平面，平面，，
所以平面.
，是AC的中点．
又，则.
又，
所以，，.
则，所以.
.
（2）由（1）知，
故以P为原点，为x轴，为y轴，PC为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则．
易知，平面PBC，故平面PBC的一个法向量为．
又，，
设平面ABC的一个法向量为，
则，取，则为平面ABC的一个法向量.
则.
设所求二面角的平面角为，由图象可知，为锐角，
则，
所以，.
19．已知点，动点P满足，设P的轨迹为C．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设P点坐标为，根据题意结合两点间距离公式运算求解；
（2）方法一：根据数量积的运算律分析可得，结合两点间距离公式可得，再根据点的轨迹结合圆的性质分析求解；方法二：分类讨论直线MN的斜率是否存在，设直线MN的方程为，，联立方程，根据向量的坐标运算结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）设P点坐标为，
由可得，化简得，
所以C的轨迹方程为.
（2）因为表示圆心为，半径为2，的圆，
且，则点A的直线与C必相交，
法一：设MN的中点为，
因为，则点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆，
则
，
又因为表示点到定点的距离的平方，即，
可知，所以；
法二：当直线MN的斜率不存在时，不妨取，
此时；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，
联立方程，整理得，
设，则，
因为，
则
，
因为，则，可得，所以；
综上所述：．
20．设数列的前项和为，且满足（为常数）.
(1)若，求.
(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据，得，再根据等差数列求和公式求解即可；
（2）根据已知得，进而假设存在，使得为等差数列得，再验证其成立即可.
【详解】（1）解：（1）由可得，
两式相减可得，即.
若，则，
所以.
（2）解：存在，使得数列为等差数列.
理由如下.
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得.
假设存在，使得为等差数列，则，解得，
所以，则，
从而，故数列的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，且公差均为2.
当为偶数时，；
当为奇数时，.
所以，，故符合题意.
21．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．
(1)证明：；
(2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，结合圆的知识可得，，设点，则，由，可得，即得（用双曲线的第二定义来说明，也可以），由相等弦长所对的圆心角相等，得，进而求解；
（2）设直线PF的方程为，由题意可得，联立方程组，结合韦达定理可得，，由题知，直线DR的方程为，令，化简即可求解.
【详解】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，
连接AM，PM，NF．因为在圆P中，，所以．
由题易知右焦点，设点，则，整理得．
因为，
所以，所以．
【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线为双曲线的准线，根据双曲线的第二定义，可知，即，即得．】
在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得，
所以．
（2）由题知双曲线，渐近线为：，右焦点为，
直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为
因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则．
设，
联立方程组，得，
则．
由题知，直线的方程为，
令，得
，
所以直线DR过定点.
22．我们把直线叫做椭圆的上准线．已知一列椭圆的上、下焦点分别是，若椭圆上有一点，使得到上准线的距离是与的等差中项，
(1)当取最大值时，求椭圆的离心率；
(2)取，并用表示的面积，请探索数列的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)先求出，再求出准线方程，根据条件建立不等式，即可证明；
(2)根据条件求出 的坐标，按照三角形面积公式，写出 ，再利用导数判断 的单调性，进而可得的单调性.
【详解】（1）由题意可知：，准线的方程为，
根据椭圆的定义可得，则，
设点，
则有，椭圆下顶点的坐标为，上顶点的坐标为，
因为在上，则，即，解得，
可知的最大值为，此时，
所以椭圆的离心率.
（2）因为 ，则，
且，可得，
则 ，，
，
所以，则，
构造函数，
则 ，
当 时，，所以；
当 时，，所以 在 时单调递减；
且，即，
综上所述：，当时，单调递减，
注意到，所以且当时，单调递减.