新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第35讲 等差数列及其前n项和（2份，原卷版+解析版）

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1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
考点1 等差数列的基本运算
[名师点睛]
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
[典例]
1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东威海·三模）等差数列的前n项和为，若，则公差( )
A．1B．C．2D．
3．（2022·山东泰安·模拟预测）若等差数列满足，则它的前13项和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
[举一反三]
1．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
2．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若数列也是等差数列，则其首项与公差的比（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
5．（多选）（2022·福建·模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）（2022·河北衡水·二模）已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
8．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．
9．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，则数列的前13项和为______．
10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则=_______．
11．（2022·山东淄博·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，，则______．
12．（2022·河北唐山·一模）记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.
考点2 等差数列的判定与证明
[名师点睛]
1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，再化简得到定值.
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.
(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
[典例]
(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{eq \r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
[举一反三]
1．（2022·江苏常州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求证：数列是等差数列；
(2)求出数列的通项公式和前n项和．
2．（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2).已知数列的前项和为，求证：.
考点3 等差数列的性质及应用
[名师点睛]
1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
[典例]
1．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
2．（2022·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )
A.35 B.42 C.49 D.63
4.(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
5．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
[举一反三]
1．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）设是等差数列的前n项和，，，则（ ）
A．90B．100C．120D．200
3．（2022·广东广州·二模）已知数列是等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·北京通州·一模）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．60B．70C．120D．140
5．（2022·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（ ）
A．3033B．4044C．6066D．8088
6．（2022·广东佛山·模拟预测）已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（多选）（2022·福建泉州·模拟预测）设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则（ ）
A． B．，，为等差数列
C．数列是等比数列 D．是的最小值
8．（多选）（2022·湖南永州·三模）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．、均为的最大值
9．（2022·湖南·模拟预测）设是等差数列的前项和，，则的最小值为______________．
10．（2022·广东·模拟预测）已知和均为等差数列，若，则的值是__________.
11．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，当取得最小值时，______.
12．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，_____.
13．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
14．（2022·重庆·三模）公差非零的等差数列的前n项和为，若是，的等比中项，．
(1)求；
(2)数列为等差数列，，数列的公差为，数列的前n项和为，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理由．