2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第34讲等差数列及其前n项和（讲）（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第34讲等差数列及其前n项和（讲）（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了等差数列的有关概念，等差数列的有关公式等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq \f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．
(2)前n项和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
[常用结论]
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2).
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm.
题型归纳
题型1 等差数列的基本运算
【例1-1】（2020春•新华区校级期末）在等差数列中，若，，则公差
A．B．C．3D．
【分析】利用等差数列的通项公式直接求解．
【解答】解：因为，，
所以．
故选：．
【例1-2】（2020春•黄冈期末）若等差数列满足，，则数列的首项
A．20B．C．22D．
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出数列的首项．
【解答】解：等差数列满足，，
，
解得，．
数列的首项．
故选：．
【例1-3】（2020春•乐山期末）已知等差数列中，，公差，则与的等差中项为
A．B．C．D．6
【分析】根据等差中项的定义即可得出，的等差中项为，然后根据等差数列的通项公式即可得出的值．
【解答】解：，
与的等差中项为．
故选：．
【跟踪训练1-1】（2020春•合肥期末）若为等差数列，是数列前项和，，，则该数列的公差为
A．21B．2C．3D．4
【分析】由等差数列的前项和公式即可得出，然后解出即可．
【解答】解：根据等差数列的前项和公式得：，解得．
故选：．
【跟踪训练1-2】（2020春•资阳期末）已知等差数列的公差为，，，则
A．2B．3C．6D．9
【分析】由题意利用等差数列的性质，求得的值．
【解答】解：等差数列的公差为，，，
则，，
故选：．
【跟踪训练1-3】（2020春•常德期末）等差数列中，，，则
A．14B．17C．20D．23
【分析】由题意利用等差数列的通项公式，求出首项和公差，可得的值．
【解答】解：等差数列中，，，
，，
则，
故选：．
【名师指导】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略
(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．
(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．
(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
题型2 等差数列的判定与证明
【例2-1】（2020•山东模拟）已知数列，且．
求证：数列是等差数列，并求；
令，求数列的前项和．
【分析】对两边同时减去1，整理得到，然后两边同时取倒数得到，即，进而可证数列是等差数列，结合等差数列的定义可得到，整理即可得到的表达式．
先根据中的的表达式表示出，然后根据数列求和的裂项法求得答案．
【解答】解：
故
数列是公差为的等差数列
而，
由知
故
【跟踪训练2-1】（2020春•天心区校级期末）已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且．
（1）求及的值．
（2）已知数列满足，证明数列是等差数列，并求其前项和．
【分析】（1）设该等差数列为，由等差中项可得的方程，解得，可得首项、公差，再由求和公式可得；
（2）运用等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求结论．
【解答】解：（1）设该等差数列为，则，，，
由已知有，得，公差，
所以，
由，得，
解得或（舍去），
故，；
（2）证明：由（1）得，
则，故，
即数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以．
【名师指导】
等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
题型3 等差数列的性质及应用
【例3-1】（2020春•赤峰期末）在等差数列中，，，则
A．8B．9C．10D．11
【分析】根据等差数列的性质可得：，即可求出．
【解答】解：，则，
故选：．
【例3-2】（2020春•南岗区校级期末）设等差数列的前项和为，若，，则
A．27B．33C．36D．45
【分析】由题意利用等差数列的性质，求出的值．
【解答】解：等差数列的前项和为，若，，
，，成等差数列，故，
即，求得，
故选：．
【例3-3】（2020春•运城期末）设等差数列满足：，公差，其前项和为．若数列也是等差数列，则的最小值为
A．3B．2C．5D．6
【分析】由题意可得：，即，公差，解得．可得．．代入变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得：，即，公差，
解得．
．
．
．
数列是等差数列，
则，当且仅当时取等号，
的最小值为2．
故选：．
【跟踪训练3-1】（2020春•上高县校级期末）设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若，则
A．B．11C．12D．13
【分析】借助于等差数列下标性质和求和公式，将项的比值化为和的比值，再把的值代入计算即可．
【解答】解：，分别为等差数列和的前项和，且，
，
故选：．
【跟踪训练3-2】（2020春•安徽期末）在等差数列中，，，则
A．B．C．D．0
【分析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解．
【解答】解：由等差数列的性质可得，，
则．
故选：．
【跟踪训练3-3】（2020春•蚌埠期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，若，则
A．B．C．D．
【分析】根据题意，分析可得，又由等差数列的前项和公式和等差数列的性质可得；即可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列和中，若，
则有，
又由；
故；
故选：．
【跟踪训练3-4】（2020春•马鞍山期末）在数列中，若，则此数列前项和的最小值为
A．B．C．D．3
【分析】令，解得．进而可得此数列前项和的最小值为．
【解答】解：令，解得．
则此数列前项和的最小值为．
故选：．
【跟踪训练3-5】（2020春•沙坪坝区校级期末）已知等差数列，其前项和为，若，，则的最大值为
A．12B．24C．36D．48
【分析】利用等差数列通项公式求出，，求出等差数列的前项和，由此能求出的最大值．
【解答】解：等差数列，其前项和为，，，
，
解得，，
．
时，取最大值36．
故选：．
【跟踪训练3-6】（2020•哈尔滨模拟）等差数列，的前项和分别为，，若，则 ．
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
【解答】解：由为等差数列可得，
同理可得，所以．
故答案为：
【跟踪训练3-7】（2020•昆山市模拟）已知和均为等差数列，若，，则的值是 ．
【分析】由等差数列的性质，等差中项的特点可得，所求的两项的和用已知的项表示可得其结果．
【解答】解：因为和均为等差数列，，，
所以，
所以，
故答案为：12．
【名师指导】
1.等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔eq \f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an；
③eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是首项为a1，公差为eq \f(d,2)的等差数列．
2.求等差数列前n项和Sn及最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.