新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第33讲 数系的扩充与复数的引入（2份，原卷版+解析版）

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1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2.
考点1 复数的概念
[名师点睛]
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq \(z,\s\up6(－))|＝eq \r(z·\(z,\s\up6(－)) )，若z∈R，则eq \(z,\s\up6(－))＝z.
[典例]
1．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用复数相等的条件可求.
【详解】
，而为实数，故，
故选：B.
2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知，则“为纯虚数”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】
根据纯虚数的定义判断充分性，再举反例判断必要性即可
【详解】
由题意，为纯虚数则设，则；
当时，可取，则为纯虚数不成立.故“为纯虚数”是“”的充分非必要条件
故选：A
3．（2022·山东青岛·二模）复数（是虚数单位）的虚部是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】
利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.
【详解】
由题意可知，，
所以复数的虚部为.
故选：A.
4．（多选）（2022·重庆南开中学模拟预测）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】
对于A，举例判断，对于B，由复数相等的条件和复数的模的计算分析判断，对于C，两个虚数无大小关系，对于D，对已知的式子化简变形即可
【详解】
对于A，若，则满足，而不满足，所以A错误，
对于B，由，得，
所以或，所以或，所以，所以B正确，
对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，
对于D，由，得，所以，所以D正确，
故选：BD
[举一反三]
1．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,得,即
故选:
2．（2022·北京八十中模拟预测）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】C
【分析】
首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
3．（多选）（2022·福建省福州第一中学三模）设复数，当a变化时，下列结论正确的是（ ）
A．恒成立B．z可能是纯虚数
C．可能是实数D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】
首先根据题意得到，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.
【详解】
，
对选项A，，，
故A正确.
对选项B，，
当时，为纯虚数，故B正确.
对选项C，
令，即无解，故C错误.
对选项D，，当且仅当时取等号.
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD
4．（2022·浙江省临安中学模拟预测）复数满足，则的虚部为__________，__________．
【答案】
【分析】
先根据复数的除法运算求出复数，进而根据复数的概念求出虚部，再利用复数的模长公式即可求出模长.
【详解】
因为，所以，
则的虚部为，，
故答案为：；.
考点2 复数的四则运算
[名师点睛]
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
[典例]
1．（2022·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
2．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【分析】
利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】
由题意有，故．
故选：B．
3．（2022·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用复数的乘法可求.
【详解】
，
故选：D.
4．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】
利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】
由题设有，故，故，
故选：D
[举一反三]
1．（2022·山东临沂·模拟预测）若复数满足，其中为虚数为单位，则=
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，所以， ，所以， 故选A.
2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）若，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】
根据虚数单位i的性质结合复数的除法运算，可求出z，即可求得.
【详解】
由题意得，故，
故选：A．
3．（2022·全国·高考真题（文））若．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】
因为，所以，所以．
故选：D.
4．（2022·北京·二模）已知复数满足，则__________，__________．
【答案】
【分析】
利用复数的除法化简得到，利用复数的模长公式即得.
【详解】
∵，
∴，
.
故答案为：；.
5．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）若是虚数单位，则复数________．（写成最简结果）
【答案】
【分析】
由复数的除法运算直接化简可得.
【详解】
.
故答案为：
6．（2022·湖南师大附中三模）已知复数z满足（i为虚数单位），则_________.
【答案】2
【分析】
利用复数的除法运算求得，然后求得
【详解】
，
所以.
故答案为：
7．（2022·天津·静海一中模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则________
【答案】
【分析】
根据复数的乘除运算法则，化简得，进而根据共轭复数得到，根据模长公式即可求解.
【详解】
由得,所以,故.
故答案为:
8．（2022·重庆八中模拟预测）已知复数满足，则_________.
【答案】
【分析】
利用复数的除法和乘法运算求解.
【详解】
.
故答案为：
9．（2022·广东惠州·一模）已知i是虚数单位，则复数的模等于___________.
【答案】1
【分析】
根据复数运算化简目标复数，再求其模长即可.
【详解】
因为，所以模为1.
故答案为：1.
10．（2022·天津·耀华中学二模）已知i为虚数单位，则复数___________.
【答案】.
【分析】
根据复数模的运算公式，结合复数除法的运算法则进行运算即可.
【详解】
，
故答案为：.
考点3 复数的几何意义
[名师点睛]
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
[典例]
1.(2022·珠海一模)设i是虚数单位，复数z1＝i2 021，复数z2＝eq \f(|4－3i|,4＋3i)，则z1＋z2在复平面上对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 因为复数z1＝i2 021＝i，z2＝eq \f(|4－3i|,4＋3i)＝eq \f(5（4－3i）,25)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i，所以z1＋z2＝eq \f(4,5)＋eq \f(2,5)i，故z1＋z2在复平面上对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(2,5)))，在第一象限.
2.(2022·衡水联考)已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.1
答案 B
解析 因为z＝a＋(a－1)i，所以|z|＝eq \r(a2＋（a－1）2)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))≥eq \f(\r(2),2)，所以|z|的最小值为eq \f(\r(2),2).
3.(多选)(2021·德州二模)已知复数z1＝eq \f(2,－1＋i)(i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为－1
C.zeq \\al(4,1)＝4
D.满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
答案 AB
解析 由题意，复数z1＝eq \f(2,－1＋i)
＝eq \f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点是(－1，－1)，位于第三象限，所以A正确；
复数z1的虚部为－1，所以B正确；
zeq \\al(4,1)＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；
由|z1|＝eq \r(（－1）2＋（－1）2)＝eq \r(2)，得满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，eq \r(2)为半径的圆上，所以D不正确.
[举一反三]
1．（2022·北京市第五中学三模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】的共轭复数为，对应点为，在第四象限，故选D.
2．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A．（–∞，1）B．（–∞，–1）
C．（1，+∞）D．（–1，+∞）
【答案】B
【详解】设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.
3．（多选）（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
【答案】BCD
【分析】
由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．
【详解】
对于选项A，设，只需即可，故错误；
对于选项B，复数与分别表示向量与，
表示向量的复数为，故正确；
对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；
对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；
故选：BCD．
4．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）已知复数z满足，其中是虚数单位，则z的虚部是________，复平面内对应点位于第_______象限．
【答案】 1 一
【分析】
利用复数除法运算法则计算出z，可得虚部及在复平面内对应点所位于的象限.
【详解】
，故z的虚部为1，其对应的点在第一象限.
故答案为：1；一.
5．（2022·北京·北航实验学校模拟预测）在复平面内，复数对应的点在直线上，则实数___________．
【答案】1
【解析】
由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解.
【详解】
，其在复平面内对应点的坐标为，
由题意有：，则.
故答案为：1.
6．（2022·天津和平·二模）复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________.
【答案】
【分析】
先求解出，从而得到对应点的坐标.
【详解】
由题意得：，
对应的点的坐标为.
故答案为：
7．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.
【答案】
【分析】
利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果.
【详解】
复数满足，即
即复数对应的点到点的距离满足
设，表示复数对应的点到点的距离
数形结合可知的最大值
故答案为：
考点4 复数与方程
[名师点睛]
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
[典例]
【例】已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解 (1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a＋b＝0，,a－2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2.))
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
[举一反三]
1．（多选）（2022·山东泰安·模拟预测）已知复数满足方程，则（ ）
A．可能为纯虚数B．该方程共有两个虚根
C．可能为D．该方程的各根之和为2
【答案】ACD
【分析】
依题意可得或，即或，从而求出，即可判断；
【详解】
解：由，得或，即或，
解得或，
即方程的根分别为、、、，
所以
故选：ACD.
2．（2022·湖南师大附中一模）已知是关于x的方程的根，则实数_______．
【答案】
【分析】
由也是方程的根，再由韦达定理可得．
【详解】
因为是关于x的方程的根，其中，
所以也是关于x的方程的根，
所以，．
故答案为：．
3.在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.
解 因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，
所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.
设(m＋ni)2＝3－4i，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－n2＝3，,2mn＝－4，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝1.))
所以3－4i的平方根为±(2－i)，
所以x＝eq \f(－b＋“Δ的平方根”,2a)＝eq \f(i±（2－i）,2×1)，
得x1＝eq \f(i＋2－i,2)＝1，x2＝eq \f(i－2＋i,2)＝－1＋i，
即原方程的根为x1＝1，x2＝－1＋i.
满足条件(a，b为实数)
复数的
分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0