安徽省宿州市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B.
C D.
3 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量，若在方向上的投影向量为，则实数（ ）
A. 1B. C. 2D.
7. 已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 24
8. 若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数，则（ ）
A.
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 的最大值为2
D. 是偶函数
10. 已知数列前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 为等比数列B. 为等差数列
C. 为等比数列D.
11. 在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（ ）
A. 若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为
B. 若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为
C. 的最小值为
D. 若为的中点，则的离心率的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品为次品的概率为__________.
13. 四棱锥中，底面是边长为2菱形，，，则平面与平面夹角的余弦值为__________.
14. 若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知中，.
（1）求角；
（2）是边上一点，且，求的长.
16. 如图，正三棱柱中，为棱的中点，分别为棱上的点，且.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值.
17. 已知函数（是自然对数的底数），为的导函数.
（1）求函数单调区间；
（2）若函数，求在上的最小值.
18. 动圆与圆外切，且与直线相切，记该动圆心的轨迹为曲线.过的直线与交于两点，过点作的切线，设直线分别与直线交于点.
（1）求曲线的方程；
（2）证明：与的横坐标之积为定值；
（3）记的面积分别为，求的最大值.
19. 甲，乙两人各有张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字.两人进行轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的得1分，数字小的得0分，然后各自弃置此轮所选卡片（弃置的卡片在之后的轮次中不能使用）.最终得分多的人获胜.
（1）当时，求甲获胜的概率；
（2）设轮比赛后甲的总得分为随机变量，记为的概率.
（i）求；