安徽省A10联盟暨宿州市十三校2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题（Word版附解析）

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命题单位：科大附中数学教研组 编审单位：合肥皖智教育研究院
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查集合的运算以及方程和不等式的求解，分别求出A,B两个集合，再根据并集的定义求解.
【详解】由题意得，，，则.
故选C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根据解集的包含关系，结合充分条件与必要条件的概念得到答案.
【详解】，
∵是的真子集，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数定义域的求法求解.
【详解】由题意得，，解得.
故选：A.
4. 已知，当取最小值时，实数的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将原式变形为，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由得，
所以，
当且仅当，即时取最小值.
所以,取最小值时，实数.
故选：B.
5. 已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的性质及偶函数的性质得解.
【详解】根据为偶函数及，
.
故选：D
6. 已知非零实数，满足：且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用特殊值及不等式的性质判断A、B、C，应用作差法比较大小判断D.
【详解】当，时，，，A，B错误；
当，时，，C错误；
，D正确.
故选：D
7. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的性质，结合函数在上单调递增，分段讨论求出的取值范围．
【详解】函数是上增函数，
当时，函数单调递减，单调递增，，解得，
当时，单调递增，当且仅当时成立，，解得；
当时，需满足，由上述分析知，故不等式转化为，解得．
综上可得，，故C正确．
故选：C．
8. 已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得和的图象关于点对称，根据函数的对称性即可求解.
【详解】函数的定义域为，
，
所以，的图象关于点对称，
由，得的图象也关于点对称，
因此，，则.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，则两函数不为同一函数，故A错误；
对于B，，，则两函数为同一函数，故B正确；
对于C，，，则两函数为同一函数，故C正确；
对于D，的定义域为，的定义域为，则两函数不为同一函数，故D错误.
故选：BC.
10. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 所有的素数都是奇数B. ，
C. ，D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：举反例即可判断；对于B：结合的单调性即可；对于C：存在性问题，举一个符合条件的例子即可；对于D：利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题.
【详解】对于A：2既是素数，也是偶数，故A错误；
对于B：幂函数是上的增函数，所以，成立，故B正确；
对于C：令，则，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数的定义域为，且，若对，都有，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 函数为奇函数D. 函数的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过取特殊值得，，，再根据解析式判断BCD.
【详解】令，，则，
因为，所以.
令，，得，
又，则，因为，所以，故A正确；
令，则，又，
所以，则，，故B正确；
不是奇函数，故错误；
，最大值为，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的单调性即可求得其值域.
【详解】因为函数，
又因为，所以；
故答案为：
13. 已知幂函数满足，则的值是_____.
【答案】32
【解析】
【分析】先结合待定系数法求解幂函数的解析式，再求函数值即可.
【详解】由题，设，则，
所以，即，
所以.
故答案为：
14. 对于任意实数，当时，都有，则的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次不等式恒成立，再放缩求解即可得最大值.
【详解】由题意得，在上恒成立，
则，所以，即，
又，所以，
当且仅当时取等号，故的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）求；
（2）若，且，求实数的取值集合.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得集合，利用交集的意义求解即可；
（2）分，两种情况讨论可求得实数的取值集合.
【小问1详解】
由题意得，，
则，
所以.
【小问2详解】
当时，，符合题意.
当时，，由，得或.
综上，实数的取值集合为.
16. 已知是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得，再进行检验即可得解；
（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可证明；
（3）根据，再利用函数的单调性与定义域列出关于的不等式组，求解即可．
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以，解得
当时，，此时，
经验证满足题意，则.
【小问2详解】
由（1）知，，在上单调递增.
证明如下：设，
则，
因为，所以，，所以，
即，故函数在上单调递增.
小问3详解】
因为，所以不等式化为，
因为在上单调递增，所以，
解得或，故不等式的解集为.
17. 已知函数，.
（1）求证：的值为常数；
（2）记集合，求集合的所有子集；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2），，，
（3）
【解析】
【分析】（1）本题考查函数值的计算与化简，解题思路是先分别求出, 和的表达式，再计算它们的差，并化简；
（2）本题考查方程的求解以及集合子集的求法，解题思路是先根据已知条件求出集合M，再根据集合M的元素个数求出其所有子集；
（3）先将转化为，利用换元法令，转化为二次不等式在区间上得能成立问题.
小问1详解】
由题意得，.
所以的值为常数.
【小问2详解】
由题意得，，
由，得，
得到，解得，则.
的子集为：，，，.
【小问3详解】
由题意得，等价于，
即.
易得在上单调递增，则当时，.
令，则问题转化为存在，使得成立，
则当时，，
所以，解得，即实数的取值范围为.
18. 某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数.
（1）求的解析式；
（2）为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟?
（3）若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1）
（2）4 （3）3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元
【解析】
【分析】（1）当时，，且，代入求得值，即可解；
（2）分段求解不等式；
（3）因为，当时，利用基本不等式求最值，当时，利用单调性求最值.
【小问1详解】
由题意得，当时，；
当时，，且，
则，解得，
此时，
综上，
【小问2详解】
由题意得，，
当时，，满足题意；
当时，，
即，解得，所以.
综上，要使载客量至少达到532人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为4分钟.
【小问3详解】
由（1）知，
当时，，当且仅当等号成立，
所以当时，.
当时，单调递减，则，
又，所以当时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元.
19. 对于函数，若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”
（1）若是奇函数的一个“不动点”，求证：也是函数的一个“不动点”；
（2）已知函数.
（i）若对任意实数，函数都有“不动点”，求实数的取值范围；
（ii）若，且函数恰有两个不同的“不动点”，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质即可证明；
（2）（i）由题意有实数根，利用可求解；（ii）由题意可得，进而利用判别式可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为是函数的一个“不动点”，所以，
又因为为奇函数，所以，
所以也是函数的一个“不动点”.
【小问2详解】
（i）因为对任意实数，都有“不动点”，
所以方程，即有实数根，
所以对任意实数，恒成立，
所以，
解得，即实数的取值范围为.
（ii）函数恰有两个不同的“不动点”，
即方程恰有两个不同的实根.
又，即，
两式作差得：，
即，
即.
方程的判别式，
方程的判别式，
且，所以当时，一定有.
要使方程（*）恰有两个不同的实根，则只可能是下面两种情况：
①，解得或.
②且方程解也是方程的一个解，
由此解得
综上，实数的取值范围为.