九年级上学期期末数学试题 (101)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (101)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
∴且，
解得，
故选：．
2. 甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
3. 要在抛物线上找点，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下（ ）
甲：若，则点P的个数为0
乙：若，则点P的个数为1
丙：若，则点P的个数为1
A. 甲乙错，丙对B. 甲丙对，乙错C. 甲乙对，丙错D. 乙丙对，甲错
【答案】C
【解析】
【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：y=x（4-x）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，
∴甲、乙的说法正确；
若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
∴丙的说法不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
4. 如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A. 130°B. 150°C. 160°D. 170°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，
∵∠ADA′=50°，
∴∠A′DC=10°，
∴∠DA′B=130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′=∠BAE=30°，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．
故选C．
5. 如图，点、、、都在上，，，则的度数（ ）
A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】由垂径定理可知，然后根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理．解题的关键在于明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6. 生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设每个支干分出个小分支，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
故选：．
7. 如图，在△ABC中，∠B＝42°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AB'C'，点C的对应点C'落在BC边上，且B'A∥BC，则∠BAC'的度数为（ ）
如
A. 24°B. 25°C. 26°D. 27°
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转的性质得出∠B'＝∠B＝42°，∠AC'B'＝∠C，AC'＝AC，由AC'＝AC得出∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'，由B'A∥BC得出∠B'C'C＝138°，求出∠AC'C＝∠C＝∠AC'B='69°，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质得：∠B'＝∠B＝42°，∠AC'B'＝∠C，AC'＝AC，
∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'，
∵B'A∥BC，
∴∠B'+∠B'C'C＝180°，
∴∠B'C'C＝180°﹣42°＝138°，
∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'＝×138°＝69°，
∴∠BAC'＝∠AC'C﹣∠B＝69°﹣42°＝27°；
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；解答关键是根据图形旋转说明角的相等和线段相等．
8. 如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆周角定理求出OCB=∠OBC=∠B=60°，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OC
∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠B=60°，
OB=OC=BC=1，
∴的长为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键．
9. 若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根．
【详解】解：把代入一元二次方程，得，
两边除以，得，
，
即：是一元二次方程的一个根．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
10. 如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将沿着直线向右移动，当点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象和二次函数图象性质，分当时和时两种情况分析即可， 解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：如图，当时，过点作于，
∵和均为等边三角形，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
当时，，且抛物线的开口向上，
如图所示：时，过点作于，
同理得，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上，
故选：．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如图，有4张除图案不同外其余完全相同的卡片，现将这些卡片有图案的一面朝下洗匀，随机抽取1张，抽到的卡片上的图案可以作为一个正方体平面展开图的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了概率公式和正方体展开图，能围成正方体的有种，再根据概率公式进行计算,即可得出答案，解题的关键是掌握概率的计算公式．
【详解】如图可得到，除了第三个图外，剩下的个图都能围成正方体，
故随机抽出一张，上面的图案能够围成一个正方体的概率是，
故答案：．
12. 若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______。
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值．
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
．
故答案是：．
13. 在如图所示的平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查图形的旋转，首先根据旋转的性质将旋转后的图形画出来，再根据坐标系写出的坐标即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，由绕原点顺时针旋转后得到，
根据坐标系特点可得，
故答案为：．
14. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0有两个相等的实数根，其中a、b、c分别为△ABC三边的长，则△ABC是__________ 三角形．
【答案】直角．
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△＝0，即可得出a2＝b2＋c2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a−c）＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（2b）2−4（a＋c）（a−c）＝0，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角
【点睛】本题主要考查根的判别式，利用根的判别式得到a、b、c之间的关系式是解题的关键.
15. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______．
【答案】10
【解析】
【分析】连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．
【详解】如图，连接AO,BO，
∴∠AOB=2∠ADB=36°
∴这个正多边形的边数为=10
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
16. 古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为___米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为．
【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：得到：，
解得，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米，
故答案为：26．
三、解答题（共9小题，共72分）
17. 小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0过程如图所示．
解：x2﹣6x＝1 …①
x2﹣6x+9＝1 …②
（x﹣3）2＝1 …③
x﹣3＝±1 …④
x1＝4，x2＝2 …⑤
（1）小明解方程的方法是 ．
（A）直接开平方法 （B）因式分解法 （C）配方法 （D）公式法
他的求解过程从第 步开始出现错误．
（2）解这个方程．
【答案】（1）C，②；（2）x1＝+3，x2＝﹣+3．
【解析】
【分析】（1）认真分析小明的解答过程即可发现其在第几步出现错误、然后作答即可；
（2）用配方法解该二元一次方程即可
【详解】解：（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，
故选：C，
他的求解过程从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
（2）∵x2﹣6x＝1
∴x2﹣6x+9＝1+9
∴（x﹣3）2＝10，
∴x﹣3＝±
∴x＝±+3
∴x1＝+3，x2＝﹣+3．
【点睛】本题考查解一元二次方程的解法，解答本题的关键是掌握一元二次方程的解法，主要方法有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法.
18. 某市为创评“全国文明城市”称号，周末组织志愿者进行宣传活动．班主任张老师决定从4名女生（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式选择2名女生去参加．
抽签规则：将4名女生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩下的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件（填“不可能”“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ．
（2）试用画树状图法或列表法求出小惠被抽中的概率．
【答案】（1）不可能；随机；
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件； 树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.
（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；
（2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可.
【小问1详解】
该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为
故答案为：不可能；随机；
【小问2详解】
记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为, 列表如下:
由表可知，共有种等可能结果，其中小惠被抽中的有种结果，
所以小惠被抽中的概率为
19. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：不论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求k的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得，进而即可得到结论；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，结合，可得关于k的方程，进而解方程即可求解．
【小问1详解】
∵
，
∵，
∴，
∴无论取何值，该方程总有实数根；
【小问2详解】
根据题意得：，，
，
即
即
解得
【点睛】本题主要考查一元二次方程根判别式以及根与系数的关系，熟练掌握的根满足，，是解题的关键．
20. 用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m．
（1）若围成的花圃面积为，求的长；
（2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）的长为；
（2）不能围成花圃，理由见解析．
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．
（1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长；
（2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃．
【小问1详解】
解：设平行于墙的边长为．
根据题意得，，
则，
∴，
因为，
所以舍去，
所以，
答：的长为；
【小问2详解】
解：不能围成花圃，理由如下：
根据题意得，
，
方程可化为，
∴，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃．
21. 如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）如图（2），当为直径，的半径为1时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、扇形面积公式等知识点．
（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得，进而可以解决问题；
（2）连接，，由（1）得，所以，可得和是等边三角形，可以求出的长，进而可得和，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，，
为直径，半径为1，
，，
由（1）知：，
，
，
和是等边三角形，
，
，
，
，，
，
阴影部分的面积为：．
22. 阅读与理解：
图（1）是边长分别为a和的两个等边三角形纸片叠放在一起的图形（C和重合）．
操作与证明：（1）操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转，连接，，如图（2），线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：
（2）操作：若将图（1）中，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，，如图（3），线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）若将图（1）中的，绕点按逆时针方向旋转，当等于多少时，的面积最大？请直接写出结果．

【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）或
【解析】
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）先由等边三角形判断出，，再由旋转判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）先画出图形，过点作于点，再根据直角三角形的定义可得，然后根据三角形的面积公式和旋转角的定义即可得出答案．
【详解】解：（1），
证明：点与重合，和，
和都是等边三角形，
，，
由旋转知，，
在和中，
，
，
，
（2），
证明：和都是等边三角形，
，，
由旋转知，，
在和中，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，

，当且仅当，即点与点重合时，等号成立，
，
当时，的面积最大，
此时旋转角或．
23. 定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，我们就把直线称为这条抛物线的极限分割线．
（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ；
（2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标；
（3）在（）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．连接，若，求点的坐标．
【答案】（1）和；
（2）点的坐标为；
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（）由抛物线与轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标；
（）由抛物线经过点代入抛物线的解析式，可用表示出，将函数解析式中的用表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点的坐标；
（）设与对称轴交于点，若，则，由此可得关于的绝对值方程，解得的值，再求得相应的值即可得出答案；
本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，直线与抛物线的交点坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为，
∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为0,1，则另一个交点坐标为，
故答案为：0,1和；
【小问2详解】
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∵
，
∴对称轴为直线，
∴点的坐标为；
【小问3详解】
设与对称轴交于点，若，则，
∴，
∴或，
∴当 时，，点的坐标为 ；
当时，，点的坐标为 ，
∴点的坐标为或．
24. 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
①
又②
又
即．
根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ；
【理解运用】在图（1）中，若，则 ；
【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ；
【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长．
【答案】[问题呈现]①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等；[理解运用]1；[变式探究]；[实践应用] 或．
【解析】
【分析】[问题呈现]：根据圆的性质即可求解；
[理解运用]，即，即，解得：，即可求解；
[变式探究]证明，则，，又，则，即可求解；
[实践应用]已知，过点作于点，则，所以．如图，同理易得．
【详解】[问题呈现]
由证明过程可知，
（相等的弧所对的弦相等）；
（同弧所对的圆周角相等）；
故答案为：①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等；
[理解运用]，
即，
即，
解得：，
，
故答案为：1；
[变式探究]．
证明：在上截去，连接、、、，
是弧的中点，
，．
又
，
又，
，
，
即，
故答案为：；
[实践应用]
是圆的直径，
．
因为，圆的半径为5，所以．
已知，
过点作于点，
则，
所以．
所以．
如图，同理易得．
所以的长为或．
A
B
C
D
A
——
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
——
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
——
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
——