山东省烟台市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省烟台市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共16页。
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求的否定是，.
故选：C
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
详解】由题可知：，
所以.
故选：B
3. 设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意；
令，则，解得或，
当时，，不符合题意，当时，.
综上可得：.
故选：D.
4. 函数的零点所在的一个区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】函数定义域为，函数在单调递减，
由，；；
，又，所以；
，又，所以；
.
所以，所以函数的零点所在的一个区间为.
故选：B
5. 函数在上的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】解：因为，，
所以，
所以函数为上的奇函数；
当时，
，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又因为，
故只有A选项才满足.
故选：A.
6. 若函数的图象关于点对称，则实数a的值为（ ）
A. －3B. 3C. －6D. 6
【答案】C
【详解】依题意，函数的图象关于点对称，
所以，即，
即，
即恒成立，
所以，解得.
故选：C
7. 若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】函数的定义域是，
，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，且，
所以要使函数存在两个不同的零点，
则需，解得.
故选：B
8. 已知为定义在上的偶函数，且当时，，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】设，对求导得：，
已知当时，，则时，，
所以在上单调递增.
因为是偶函数，即，
则
所以是奇函数，在也单调递增，
已知，则，由奇函数性质得，
分情况解不等式
当时，即，
因为在上递增，所以，
当时，即，
因为在上递增，所以，
综上，不等式得解集为
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列不等关系成立的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，又，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误.
故选：AC
10. 若函数在处取得极大值，则（ ）
A. B.
C. 为的一个增区间D. 的极小值为
【答案】ACD
【详解】因为，
所以，
因为函数在处取得极大值，
所以，解得或，
当时，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，取极小值，不是极大值，不符合题意．
当时，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，取极大值，符合题意．
综上，，故A正确，B错误；
由上可知，，为的一个增区间，
的极小值为，故CD正确，
故选：ACD.
11. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A. 当时，
B. 的图象在处的切线方程为
C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10
D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数
【答案】BCD
【详解】由函数为上奇函数，所以，
由，所以函数关于对称，且，则，所以4为函数的一个周期.
对A，，则，，所以，
由当时，，所以，错误；
对B，由A可知：当时，，所以当时，，
所以当时，，则，
，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确；
对C，作出函数与图象，

函数图象关于对称，当时，图象共有5个交点，由为奇函数，所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确；
对D，如图：

当时，；当时，，
当为图中情况，，，令，，
所以切点为，所以；
当为图中情况，，，令，，
所以切点为，所以；
所以函数的图象与直线恰有一个公共点，则实数，正确。
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为______．
【答案】##
【详解】因为，
所以，即，
所以，即，
所以.
故答案为：
13. 若实数满足，则称为函数的一个“二阶不动点”．给定函数，则其所有“二阶不动点”的和为______．
【答案】
【详解】时，，，则，满足题意；
时，，，则，满足题意；
时，，，则，满足题意；
时，，，则，满足题意，
所以的“二阶不动点”有：，和为，
故答案为：.
14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______．
【答案】12
【详解】由，则，
令，求导可得，令，
求导可得，由得，由得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故函数在上单调递增，
由，则，即，
令，
求导可得，
由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对任意的，都有，求实数m的取值范围．
【答案】（1）单减区间为，的单增区间为
（2）
【小问1详解】
令，解得或．
（法一），
令，得，结合的定义域，得．
令，得，结合的定义域，得．
综上，单减区间为，的单增区间为．
（法二）令，，
在其定义域内为增函数，
的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
所以，当时，单调递减，当时，单调递增．
由复合函数单调性性质，当时，单调递减，当时，单调递增，
综上，单减区间为，的单增区间为．
【小问2详解】
由题意．
由（1）知，当时，单增，所以．
于是，即，解得，故m取值范围为．
16. 定义在上的函数满足，，且时，．
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求关于t的不等式的解集．
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）
小问1详解】
令，可得，所以．
令，可得，所以．
又的定义域为，图象关于原点对称，故为奇函数．
【小问2详解】
任取，，且，则，
于是，
因为，所以，由题意，
又为奇函数，所以，
所以，即，在上单调递减．
因为为奇函数，所以在单调递减，所以在上单调递减．
由，可知．
所以不等式，
等价于，
所以，解得．所以，原不等式的解集为．
17. 如图，某地计划在海中建设一风力发电站A，其离岸距离，与AC垂直的海岸线BC上有一升压站B，且．现要铺设一条电缆将A站的电力传输到B站，点P为海岸线BC上一点，线段AP，PB分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线．假设海中铺设电缆的费用为m万元/千米（m为给定正数），海岸线上铺设电缆的费用为万元/千米，CP的长度为x千米．
（1）求铺设电缆总费用y关于x的函数关系式；
（2）当CP长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用．
【答案】（1），其中
（2）当CP的长度为9公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为万元
【小问1详解】
由已知，，
所以，其中．
【小问2详解】
，
令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，y取最小值．此时．
答：当CP的长度为9公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为万元．
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线切线斜率的最小值；
（2）若有两个不同的极值点，．
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【小问1详解】
当时，，．
令，则，
令，解得．
当时，，单减；当时，，单增．
所以，当时，取得极小值也是最小值，
所以，曲线切线斜率的最小值为．
【小问2详解】
（i），则，
若有两个不同的极值点，则在上存在两个变号零点．
令．
当时，，单增，此时至多存在一个零点，舍去．
当时，．当时，，单增，当时，，单减．所以，当时，取极大值．
令，则，所以时，，单减，
当时，单增，所以存在极小值也是最小值．
所以，对，恒有的极大值．
当时，，的图象在连续不断，
由零点存在定理，存在，使得．当时，，
同理，存在，使得．
所以，对，在上存在两个不同的变号零点．
综上，a的取值范围为．
（ii）不妨设，是的两个零点，且，
则，，
两式相减得：，两式相加得：，
于是要证，只需证，只需证，
即证，即证（*）．
事实上，令，，，
所以，所以不等式（*）成立，所以原不等式成立．
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，且与有相同的最小值．
（i）求a的值；
（ii）已知，，且，求证：．
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）；（ii）证明见解析
【小问1详解】
依题意，
当时，，在上单调递增．
当时，令得，，即．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
（i）由（1）知，当时，时取得最小值．
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以，当时取得极小值即最小值．
由题意可知，，即，
令，则，
令，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以取得最小值，
所以在上恒成立，所以在上单增，
又，所以；
（ii）因为，所以，
即．
令，则，
可知在时取得最大值0，所以，即，
所以，当且仅当时，“＝”成立．
令，则，当时，，单调递减．
所以，当时，，，
由，得．
当时，显然，
综上，，即．