2024-2025学年山东省烟台市高二上册期末考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省烟台市高二上册期末考试数学检测试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列{an}的前几项为：﹣1，4，﹣7，10，…，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A．an＝（﹣1）n﹣1（3n﹣2）B．an＝（﹣1）n﹣1（3n+1）
C．an＝（﹣1）n（3n﹣2）D．an＝（﹣1）n（3n+1）
2．已知等比数列{an}中，a3＝1，a7＝4，则a5＝（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．4
3．已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2B．4C．D．6
4．已知椭圆经过（﹣2，0）和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
5．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知从抛物线y2＝4x的焦点F发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（ ）
A．y＝﹣1B．y＝2C．y＝3D．y＝4
6．三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示．记三角形数构成的数列为{an}，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．已知数列{an}的各项均为正整数，，若a6＝2，则a1的所有可能取值组成的集合为（ ）
A．{1，2，4，8}B．{1，8，10，64}C．{2，4，5，32}D．{2，8，32，64}
8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段AB的垂直平分线过点F2，点F2到直线l的距离为2a，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a2＝S8，则下列结论正确的有（ ）
A．a6＞0B．S10＝0C．S4＝S6D．S5最小
（多选）10．已知曲线Γ：＝1（m∈R），则（ ）
A．Γ可能是等轴双曲线
B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则﹣1＜m＜1
C．Γ可能是半径为的圆
D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则m＜﹣3
（多选）11．已知F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），△PF1F2的内切圆与PF1切于点M，过点Q（1，1）的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A．|PF1|+|PQ|的最大值为5
B．△PF1F2的内切圆面积最大值为π
C．|PM|为定值1
D．若Q为AB中点，则l的方程为3x+4y﹣7＝0
（多选）12．若正整数数列：a1，a2，…，an（n≥3）满足：若对任意的正整数k（2≤k≤n﹣1），都有ak+1+ak﹣1＞2ak，则称该数列为“数列”．下列关于“数列”的说法中正确的有（ ）
A．若数列8，x，4，y，8为“数列”，则有序数组（x，y）有3个
B．若数列1，m，n，8为“数列”，则m+n的最大值为6
C．若数列a1，a2，⋯，an（n≥3）为“数列”，则使an＝100的n的最大值为16
D．若数列a1，a2，⋯，an（n≥3）为“数列”，且a1＝6，则满足a1+a2+⋯+an＜100的n的最大值为10
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且a1＝3，＝a4，则S4的值为 ．
14．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F1关于C的一条渐近线的对称点为M，且|MF1|＝2|MF2|，则C的渐近线方程为 ．
15．已知F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，O为坐标原点，则|OP|的值为 ．
16．已知数列{an}满足：a1：a2：a3＝2：3：5；a4＝9；∀n≥2，αan﹣βan﹣1＝﹣1，其中α，β∈R．数列{an}的通项公式an＝ ，令，则数列{bn}的前n项和Sn＝ ．（本小题第一空2分，第二空3分．）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，2Sn＝（n+1）an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝|an﹣9|，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线y＝x+m与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值．
19．（12分）已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，O为坐标原点．
（1）证明：Q，O，M三点共线；
（2）若，求直线l的方程．
20．（12分）网上创业成为越来越多大学生的就业选择．李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品．据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%．设an，bn分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）．
（1）试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小；
（2）问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差cn＝an﹣bn最大？
参考数据：1.085≈1.469，1.086≈1.587，1.087≈1.714，1.0810≈2.159，1.0811≈2.332．
21．（12分）设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝﹣2，b1＝1，且4Sn+1＝3Sn﹣8，．
（1）求{an}的通项公式，并证明：是等差数列；
（2）若不等式对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
22．（12分）已知点P在圆x2+y2＝4上，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，Q为线段PD的中点，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为Γ．
（1）求Γ的方程；
（2）设A（0，1），B（0，﹣1），过点T（0，2）作直线与Γ交于不同的两点M，N（异于A，B），直线BM，AN的交点为G．
（i）证明：点G在一条平行于x轴的直线上；
（ii）设直线AM，BN交点为H，试问：△GAB与△HAB的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
2024-2025学年山东省烟台市高二上学期期末考试数学检测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知数列{an}的前几项为：﹣1，4，﹣7，10，…，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A．an＝（﹣1）n﹣1（3n﹣2）B．an＝（﹣1）n﹣1（3n+1）
C．an＝（﹣1）n（3n﹣2）D．an＝（﹣1）n（3n+1）
【分析】根据题意，分析数列前4项的规律，用n表示即可得答案．
解：根据题意，数列{an}的前几项为：﹣1，4，﹣7，10，…，
即（﹣1）1（3×1﹣2），（﹣1）2（3×2﹣2），（﹣1）3（3×3﹣2），（﹣1）4（3×4﹣2），
故数列的一个通项公式可以为（﹣1）n（3×n﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
2．已知等比数列{an}中，a3＝1，a7＝4，则a5＝（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．4
【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解．
解：∵等比数列{an}中，a3＝1，a7＝4，
所以＝a3•a7＝4，解得a5＝±2．
又a5＝a3•q2，可得a5与a3同号，
故a5＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
3．已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2B．4C．D．6
【分析】利用双曲线方程求出a，b，然后求出c 即可得到结果．
解：双曲线的方程为：，
可得a＝，b＝2，所以c＝＝3，
所以双曲线的焦距长为：2c＝6．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属基础题．
4．已知椭圆经过（﹣2，0）和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【分析】根据已知条件求得a，b，c以及椭圆方程，进而求解结论．
解：∵椭圆经过（﹣2，0）和两点，
∴a＝2，b＝，
∴c＝＝1，椭圆方程为：+＝1．
∴C上的点到右焦点距离的最小值为：a﹣c＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题．
5．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知从抛物线y2＝4x的焦点F发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（ ）
A．y＝﹣1B．y＝2C．y＝3D．y＝4
【分析】求解抛物线的焦点坐标，求解从抛物线y2＝4x的焦点F发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，即可得到反射光线所在直线方程．
解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），从抛物线y2＝4x的焦点F发出的入射光线过点的直线方程：y＝（x﹣1）＝，
联立，可得y2﹣3y﹣4＝0，可得y＝4或y﹣1，
结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：y＝4．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
6．三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示．记三角形数构成的数列为{an}，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】由题意可得，则，然后累加求和即可．
解：由题意可得，
则，
则＝，
又，
则3n＞19，
则，
则使数列的前n项和的最小正整数n为7．
故选：C．
【点评】本题考查了裂项求和法，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
7．已知数列{an}的各项均为正整数，，若a6＝2，则a1的所有可能取值组成的集合为（ ）
A．{1，2，4，8}B．{1，8，10，64}C．{2，4，5，32}D．{2，8，32，64}
【分析】采用“倒推”的方式，推导过程中注意分类讨论思想的应用．
解：∵a6＝2，∴若a5为奇数，则3a5+1＝2，则a5＝舍；
若a5为偶数，则＝2，a5＝4．
当a5＝4时，若a4为奇数，则3a4+1＝4，则a4＝1；若a4为偶数，则＝4，a4＝8．
当a4＝1时，
若a3为奇数，则3a3+1＝1，无解；若a3为偶数，则＝1，则a3＝2．
若a2为奇数，则3a2+1＝2，无解；若a2为偶数，则＝2，则a2＝4．
若a1为奇数，则3a1+1＝4，则a1＝1；若a1为偶数，则＝4，则a1＝8．
当a4＝8时，
若a3为奇数，则3a3+1＝8，无解；若a3为偶数，则＝8，则a3＝16．
若a2为奇数，则3a2+1＝16，则a2＝5；若a2为偶数，则＝16，则a2＝32．
当a2＝5时，
若a1为奇数，则3a1+1＝5，无解；若a1为偶数，则＝5，则a1＝10．
当a2＝32时，
若a1为奇数，则3a1+1＝32，无解；若a1为偶数，则＝32，则a1＝64．
综上，a1所有可能的取值的集合M＝{1，8，10，64}．
故选：B．
【点评】本题考查简单的归纳推理、数列的递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段AB的垂直平分线过点F2，点F2到直线l的距离为2a，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，由双曲线的定义可得|AB|＝4a，再由勾股定理列出方程即可得到a，c的关系，进而求解结论．
解：设双曲线的半焦距为c，c＞0，
|BF2|＝|AF2|，根据题意得到|BF1|﹣|BF2|＝2a，
又|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|AF1|＝2a，
故|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，设AB的中点为C，
在ACF2中，|CF2|＝2a，|AC|＝2a，
故|AF2|＝＝4a，
则|AF1|＝2a，|CF1|＝4a，
根据|CF1|2+|CF2|2＝|F1F2|2，
可知（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
故28a2＝4c2，可得e＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a2＝S8，则下列结论正确的有（ ）
A．a6＞0B．S10＝0C．S4＝S6D．S5最小
【分析】根据题意，由等差数列的性质分析可得a3+a8＝a4+a7＝a5+a6＝0，由此分析选项可得答案．
解：根据题意，等差数列{an}中，若a1+a2＝S8，即S2＝S8，则有a3+a4+a5+a6+a7+a8＝0，
变形可得a3+a8＝a4+a7＝a5+a6＝0，
依次分析选项：
对于A，a5+a6＝0，但不确定a1的符号，不能确定是a5＞0还是a6＞0，A错误；
对于B，S10＝＝＝0，B正确；
对于C，S6﹣S4＝a5+a6＝0，C正确；
对于D，不确定a1的符号，故不能确定S5最小还是S5最大，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
（多选）10．已知曲线Γ：＝1（m∈R），则（ ）
A．Γ可能是等轴双曲线
B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则﹣1＜m＜1
C．Γ可能是半径为的圆
D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则m＜﹣3
【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可．
解：对于A，若Γ是等轴双曲线，则1﹣m+3+m＝0，显然不成立，故A错误；
对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，
则3+m＞1﹣m＞0，解得﹣1＜m＜1，故B正确；
对于C，Γ是圆，则3+m＝1﹣m＞0，解得m＝﹣1，故C正确；
对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则，
解得m＜﹣3，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查曲线的方程，属基础题．
（多选）11．已知F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），△PF1F2的内切圆与PF1切于点M，过点Q（1，1）的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A．|PF1|+|PQ|的最大值为5
B．△PF1F2的内切圆面积最大值为π
C．|PM|为定值1
D．若Q为AB中点，则l的方程为3x+4y﹣7＝0
【分析】根据椭圆的几何性质，△PF1F2的等面积算法，点差法，即可分别求解．
解：根据题意可得a＝2，b＝，c＝1，F1（﹣1，0），F2（1，0），Q（1，1），
对A选项，∵|PF1|+|PQ|＝2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+|QF2|＝4+1＝5，
当且仅当P，F2，Q三点共线时，等号成立，
∴|PF1|+|PQ|的最大值为5，∴A选项正确；
对B选项，设△PF1F2的内切圆的半径为r，
则根据△PF1F2的等面积算法可得：
，
∴≤＝，
当且仅当P为短轴顶点时，等号成立，
∴△PF1F2的内切圆面积最大值为＝，∴B选项错误；
对C选项，根据△PF1F2的内切圆的性质易得：
|PF1|+|PF2|﹣|F1F2|＝2|PM|，
∴2a﹣2c＝2|PM|，∴|PM|＝a﹣c＝1，∴C选项正确；
对D选项，若Q（1，1）为AB中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，两式相减可得：
，
∴，
∴，∴，
∴l的方程为y﹣1＝（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0，∴D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆的焦点三角形问题，点差法的应用，属中档题．
（多选）12．若正整数数列：a1，a2，…，an（n≥3）满足：若对任意的正整数k（2≤k≤n﹣1），都有ak+1+ak﹣1＞2ak，则称该数列为“数列”．下列关于“数列”的说法中正确的有（ ）
A．若数列8，x，4，y，8为“数列”，则有序数组（x，y）有3个
B．若数列1，m，n，8为“数列”，则m+n的最大值为6
C．若数列a1，a2，⋯，an（n≥3）为“数列”，则使an＝100的n的最大值为16
D．若数列a1，a2，⋯，an（n≥3）为“数列”，且a1＝6，则满足a1+a2+⋯+an＜100的n的最大值为10
【分析】根据“数列”的定义，逐项验证即可．
解：对于A，因为数列8，x，4，y，8为“数列”，
所以，所以．或，或，故A正确；
对于B，因为数列1，m，n，8为“数列”，
所以，
2m＜1+n＜1+，解得m＜，m∈N*，
当m＝1时，n＝2，3，4，
当m＝2时，n＝3，4，
所以m+n的最大值为6，故B正确；
对于C，数列a1，a2，⋯，an（n≥3）为“数列”，
因为ak+1+ak﹣1＞2ak，所以ak+1﹣ak＞ak﹣ak﹣1，
所以{an﹣an﹣1}是递增数列，所以a2最小是1，an﹣an﹣1的最小值为n﹣3，
该数列可以是：a1，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，46，56，67，79，82，100，
此时n＝17，故C错误；
对于D，数列a1，a2，⋯，an（n≥3）为“数列”，且a1＝6，
所以该数列每一项的最小取值为：6，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，
a1+a2+⋯+an＝6+1+1+2+4+7+11+16+22+29＝89＜100，此时n＝10，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查对新定义的理解和应用，数列的综合应用，属难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且a1＝3，＝a4，则S4的值为 120 ．
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由＝a4，求出q的值，进而计算可得答案．
解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若＝a4，则有（a1q）2＝a1q3，即9q2＝3q3，解可得q＝3或0（舍），
则S4＝＝120，
故120．
【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
14．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F1关于C的一条渐近线的对称点为M，且|MF1|＝2|MF2|，则C的渐近线方程为 y＝±2x．
【分析】根据双曲线的性质可知|MF1|＝2b，|OA|＝a，由条件得|MF2|＝b，根据三角形中位线，可得b＝2a，即可求出渐近线方程．
解：设MF1与渐近线的交点为A，
因为F1关于C的一条渐近线的对称点为M，
所以|MF1|＝2b，|OA|＝a，
因为|MF1|＝2|MF2|，所以|MF2|＝b＝2a，
所以＝2，
所以C的渐近线方程为y＝±2x．
故y＝±2x．
【点评】本题考查双曲线的性质，属中档题．
15．已知F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，O为坐标原点，则|OP|的值为 ．
【分析】根据椭圆的性质以及余弦定理即可求解结论．
解：椭圆C：＝1，可得a＝2，b＝，故c＝＝3，
∵F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，
∴|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs60°＝（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|﹣2|PF1||PF2|cs60°，
∴62＝48﹣3|PF1||PF2|，可得|PF1||PF2|＝4．
2＝（）2＝（2+2+2•）2＝[（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|+|PF1||PF2|cs60°]2＝11．
故|OP|＝．
故．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查余弦定理以及向量知识的应用，属于中档题．
16．已知数列{an}满足：a1：a2：a3＝2：3：5；a4＝9；∀n≥2，αan﹣βan﹣1＝﹣1，其中α，β∈R．数列{an}的通项公式an＝ 1+2n﹣1，令，则数列{bn}的前n项和Sn＝﹣．（本小题第一空2分，第二空3分．）
【分析】由n＝2，n＝3，n＝4，解方程可得an＝2an﹣1﹣1，由等比数列的定义和通项公式，求得an；再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
解：设a1＝2t，a2＝3t，a5＝5t（t≠0），又a4＝9，
由∀n≥2，αan﹣βan﹣1＝﹣1，可得3tα﹣2tβ＝5tα﹣3tβ＝9α﹣5tβ＝﹣1，
解得t＝1，α＝1，β＝2，则an＝2an﹣1﹣1，即有an﹣1＝2（an﹣1﹣1），
可得an﹣1＝（a1﹣1）•2n﹣1＝2n﹣1，即有an＝1+2n﹣1；
＝＝﹣，
则数列{bn}的前n项和Sn＝﹣+﹣+﹣＝﹣．
故1+2n﹣1；﹣．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，2Sn＝（n+1）an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝|an﹣9|，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解；
（2）分n≤9，n＞9两种情况，利用等差数列的求和公式求解．
解：（1）由2Sn＝（n+1）an，
得2Sn﹣1＝nan﹣1（n≥2），
两式相减得2an＝（n+1）an﹣nan﹣1．
即，
所以当n≥2时，＝，
经检验a1＝1也适合上式，
故．
（2）由题意bn＝|n﹣9|，数列{n﹣9}的前n项和，
所以，当n≤9时，，
当n＞9时，，
综上，．
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的求和公式，属中档题．
18．（12分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线y＝x+m与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值．
【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程．
（2）联立方程组，得x2+4mx+2m2+2＝0，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果．
解：（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，
设双曲线的方程，
由已知得，，
所以，b＝1．
所以双曲线方程为．
（2）直线y＝x+m与双曲线C交于A，B两点，且，
联立方程组，得x2+4mx+2m2+2＝0，x1+x1＝﹣4m，．
所以＝＝
令，解得．
经检验Δ＞0符合题意，所以．
【点评】本题考查双曲线、椭圆、焦点、渐近线、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，O为坐标原点．
（1）证明：Q，O，M三点共线；
（2）若，求直线l的方程．
【分析】（1）设直线l的方程为x＝my+1，利用已知条件证明kOM＝kON即可；
（2）利用（1）及，求出m的值即可．
（1）证明：抛物线的焦点坐标为F（1，0），
设直线l的方程为x＝my+1，点P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，则Δ＝16m2+16＞0
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
因为M（﹣1，y1），所以，
又，，，
所以，即kOM＝kON，
所以O，Q，M三点共线；
（2）解：因为，所以y1＝﹣3y2，
于是，即，
所以，
所以直线l的方程为．
【点评】本题考查了抛物线的性质和直线与抛物线的综合运用，属于中档题．
20．（12分）网上创业成为越来越多大学生的就业选择．李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品．据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%．设an，bn分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）．
（1）试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小；
（2）问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差cn＝an﹣bn最大？
参考数据：1.085≈1.469，1.086≈1.587，1.087≈1.714，1.0810≈2.159，1.0811≈2.332．
【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等比数列的前n项和公式，即可求解；
（2）先求出cn，再结合作差法，即可求解．
解：（1）A品牌化妆品年销售利润构成首项为3.8、公差为0.5的等差数列．
B品牌化妆品年销售利润构成首项为4、公比为1.08的等比数列．
设销售A、B品牌化妆品前n年总利润分别为Sn，Tn，
则（万元），
（万元），故S10＞T10，
所以A品牌化妆品的前10年总利润更大．
（2）an＝0.5n+3.3，，
所以，
则，，
由参考数据1.085≈1.469，1.086≈1.587，1.087≈1.714，
令cn≥cn﹣1，得到1.08n﹣2≤1.5625．
令cn≥cn+1，得到1.08n﹣1≥1.5625，
知n﹣1＞5，n﹣2＜6，所以n＝7．
故第7年时两种化妆品在同一年的利润差额cn＝an﹣bn最大．
【点评】本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题．
21．（12分）设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝﹣2，b1＝1，且4Sn+1＝3Sn﹣8，．
（1）求{an}的通项公式，并证明：是等差数列；
（2）若不等式对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）利用等差数列及等比数列的定义和通项公式，即可求解；
（2）利用错位相减法得，，由得，，求出的最小值即可．
解：（1）∵4Sn+1＝3Sn﹣8，4Sn＝3Sn﹣1﹣8，
∴两式相减得，4an+1＝3an⇒．
又4S2＝3S1﹣8⇒4（a1+a2）＝3a1﹣8，且a1＝﹣2，
则，．
∴数列{an}为等比数列，．
又，b1＝1，
∴⇒，
∴数列是以为首项、1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，⇒，
∴，
，
两式相减得，，
∴．
又，
∴，
又，当且仅当n＝3时等号成立，
∴λ≤3．
故实数λ的取值范围为（﹣∞，3]．
【点评】本题考查了数列的递推式，等差数列及等比数列的定义和通项公式，数列与不等式的综合，属于中档题．
22．（12分）已知点P在圆x2+y2＝4上，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，Q为线段PD的中点，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为Γ．
（1）求Γ的方程；
（2）设A（0，1），B（0，﹣1），过点T（0，2）作直线与Γ交于不同的两点M，N（异于A，B），直线BM，AN的交点为G．
（i）证明：点G在一条平行于x轴的直线上；
（ii）设直线AM，BN交点为H，试问：△GAB与△HAB的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【分析】（1）设Q（x，y），利用中点可得P（x，2y）．进而可求Γ的方程；
（2）（i）设过点T（0，2）的直线方程为y＝kx+2，联立方程可得，进而求得直线BM，AN的方程可得，计算可得定直线方程；
（ii）求得点G，H的坐标，可得S△GAB，S△HAB的表达式，计算可得结论．
解：（1）设Q（x，y）所求轨迹上的任意意一点，因为点P为PD的中点，所以P（x，2y）．
因为点P在圆x2+y2＝4上，所以x2+（2y）2＝4，
整理可得，
所以点Q的轨迹Γ的方程为．
（2）（i）设过点T（0，2）的直线方程为y＝kx+2，
代入轨迹Γ的方程可得：（1+4k2）x2+16kx+12＝0，
设点M（x1，y1），N（x2，y2），则，．可得，
过B（0，﹣1）的直线，过A（0，1）的直线，
两式相除可得
＝，
所以，解得，所以点G在直线上，
（ii）因为点G在上，令，可得．
同理，点H直线上，且，．
因为，，
所以，
将，，代入得：．
所以S△GAB•S△HAB的面积之积为定值3．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合，考查方程思想，考查运算求解能力，属难题．