上海市吴淞中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知全集，集合，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用集合的补集运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
2. 不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化为整式不等式，即可求解.
【详解】不等式可化为，解得.
故答案为：.
3. 已知，是第四象限角，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解.
【详解】因为，是第四象限角，
则，可得.
故答案为：.
4. 若函数，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式求函数值.
【详解】因为，，故.
故答案为：
5. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________．
【答案】
【解析】
【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，
依题意可得，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值.
故答案为：.
6. 已知幂函数在区间上是严格增函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得.
故答案为：
7. 已知，则_________．
【答案】0
【解析】
【分析】将齐次正余弦的分式，利用同角三角函数商的关系化弦为切，代值计算即得.
【详解】由.
故答案为：0.
8. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是______.
【答案】,
【解析】
【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围．
【详解】方程可变形为，由于方程在上有解，
而当,时，，所以，解得，
即实数的取值范围是,．
故答案为：,．
9. 设，则函数的所有零点之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解.
【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示，
根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称，
所以零点之和为，
故答案为：
10. 已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得.
【详解】因为为偶函数，故即，
即为，
由为偶函数，则，
又在上严格增函数，且为偶函数，
故在上为严格减函数，
故，解得或.
则实数的取值范围是.
故答案为：.
11. 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得，孤立参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围.
【详解】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为，
则甲工程整体报价为，
若乙队要确保竞标成功则，
所以，则，
因为，所以函数，
当且仅当时，即时，函数有最小值，
所以函数在上单调递增，故，
故，则，所以实数取值范围是.
故答案为：.
12. 设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】
由题设且上有，所以，使得成立，只需即可，进而求得正整数的最大值.
【详解】由题意知：，使成立，
而当且仅当时等号成立，
∴，而，即，
∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要即可求最值.
二､选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 已知，则“”是“”的（ ）条件．
A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
【答案】C
【解析】
【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而结合充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】由题意，，
由，即，则或，
由，则，
所以“”是“”的必要非充分条件．
故选：C.
14. 设，则下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质即可判断选项AB；根据对数的运算性质即可判断选项CD.
【详解】由题中条件，根据指数幂的运算性质可知，，故选项A，B错误；
根据对数的运算法则，可得，，，即选项C正确，选项D错误.
故选：C.
15. 存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可.
【详解】存在,不等式成立，变形即成立，
由于，
因此有，
两边平方，
解得或.
故选：A.
16. 已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：
①若，则；
②若，则．
其中正确的是（ ）
A. ①与②均正确B. ①正确，②不正确
C. ①不正确，②正确D. ①与②均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设，结合，利用直线的方程得到，进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点，利用直线的方程得到，进而得到，可判定②正确.
【详解】令函数，
可得函数为单调递增函数，
又由，即，
所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示，
①中，因为，且，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，所以①正确；
②中，若，不妨设，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，
所以②正确.
故选：A.
【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答的关键.
三､解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 化简：.
【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式化简即可.
【详解】原式.
18. 已知函数.
（1）求；
（2）求函数的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角公式与辅助角公式，化简函数，再求函数值.
（2）结合函数的单调性，利用换元思想求三角函数的单调区间.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
由，
,
解得：，
所以函数的单调增区间为.
19. 已知函数的表达式为.
（1）当时，求证：在上是严格减函数；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，由此可证得结论成立；
（2）由已知得出，令，，则，利用二次函数的基本性质求出，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
任取、且，即，
，
，则，，所以，，，
因此，函数在上是严格减函数；
（2）对任意的，，可得，
令，则，令，其中，
所以，，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值作差变形定号下结论.
20. 浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），为正常数，且第天的打卡人数为万人．
（1）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天近似地满足下表：
现给出以下三种函数模型：①，②，③．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天的关系，并求出该函数的解析式；
（2）确定的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入（，为正整数）的最小值（单位：万元）．
（注：日营业收入日打卡人数人均消费）．
【答案】（1）函数模型②满足要求，
（2），该商场在第天日营业收入最小为万元
【解析】
【分析】（1）根据表格可知的值先增大，后减小，从而可得到函数模型②满足要求；然后根据表格中的数据代入函数的关系式即可求出答案；
（2）直接根据即可求出值，分且为正整数和且为正整数两种情况分段讨论去掉绝对值符号，从而可求函数的最小值.
【小问1详解】
解：由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求，
又由表格可知，
代入，得，解得，
所以
【小问2详解】
解：因为第天的打卡人数为万人，所有，解得.
易知，
当且为正整数时，，
因为为减函数，所以；
当且为正整数时，，
所以，当且仅当时等号成立.
综上知，该商场在第天时日营业收入最小，最小为万元.
21. 已知，定义函数表示不小于的最小整数.例如：.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求函数值域，并求满足的实数的取值范围；
（3）设，若对于任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的定义求出范围.
（2）利用单调性，结合不等式性质求出值域，利用定义建立不等式并求出，进而解不等式即可.
（3）求出函数的值域，再把问题转化为恒成立，分离参数并分段讨论求解.
【小问1详解】
由表示不小于的最小整数，，得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
函数定义域为，而函数在上单调递增，值域为，
因此，即，
则函数的值域为，，由，
得，则有，而时，不等式不成立，则，
必有，即，因此，解得，
所以实数的取值范围.
【小问3详解】
当时，，函数在上单调递减，在是单调递增，
因此函数在上单调递增，在是单调递减，，而，
于是在上的值域为，
依题意，，即，
当时，，当时，，则，
当时，，而恒成立，则，
所以实数的取值范围.
（天）
10
14
18
22
26
30
（元）
131
135
139
143
139
135