初中数学冀教版（2024）八年级下册第二十二章 四边形22.5 菱形优秀ppt课件

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想一想：1.菱形、矩形的定义？2.它们分别比平行四边形多了哪些性质？3.怎样判定一个四边形是矩形？
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
互相垂直且平分每一组对角
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
由对角线的位置关系判定菱形
1. 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小 钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡 皮筋，做成一个四边形.2. 任意转动木条，这个四边形 总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转 动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱 形？你能证明你的猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 这个命题的前提是什么？结论是什么？用几何语言表示命题如下：已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，求证：□ABCD是菱形.分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO，得△AOB≌△AOD，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示：此方法包括两个条件——(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，连接BE，DF. 求证：四边形BEDF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB.∴△OED≌△OFB. ∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形.∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵O为AC的中点，EF⊥AC，∴AE＝EC，AF＝FC，在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠OCF，在△AEO与△CFO中，∴△AEO≌△CFO，∴AE＝CF.∴AE＝EC＝CF＝FA.∴四边形AFCE是菱形．
【中考·海南】如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥ BC；③四边形 ABCD 是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正确的是____________(只填写序号).
【中考·泰安】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB； ④PF＝PC，其中正确结论的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
如图，画两条等长的线段AB，AD.分别以点B， D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C连接BC，CD.得到四边形ABCD.四边形ABCD是菱形吗？
事实上，我们有：四条边相等的四边形是菱形.现在，我们来证明这个结论.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形是菱形.证明：∵AB=CD.且BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD. ∴四边形ABCD是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形.
解：∵ DE∥AC， DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形.∴∠1=∠3.又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3.∴AE=DE.∴四边形AEDF是菱形.
能证明四边形是平行四边形时，可以先证明四边形是平行四边形，然后证明有一组邻边相等来证明四边形是菱形 .
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，画出点A关于BC的对称点A'.请用两种不同的方法证明四边形ABA'C是菱形.
如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥ BD于点H，交BC延长线于点F，交DC于点G.求证：DC与EF互相平分.
证明：连接AC，则AC⊥BD，又因为EF⊥BD，∴AC∥EF.∵E是AD的中点，∴G是DC中点．易得△DEG≌△CFG，∴EG＝FG，∴DC与EF互相平分．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD， 点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中 点．试说明：四边形EFGH是菱形．
解：∵点E，H分别为AD，AC的中点，∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝ CD.同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四边形EFGH是菱形．
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．
1.如图在▱ABCD中，∠D=60°，以顶点A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点E，交AD于点F.请你指出图中的等腰三角形、平行四边形和菱形.
解：△ABE，△AEF是等腰三角形．四边形ABCD、四边形ABEF、四边形CDFE是平行四边形，四边形ABEF是菱形．
2. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，M为AB中点，P为对角线AC上的一个动点，PM+PB的最小值是3. 求AB的长.
解：作点M关于AC对称的点M′，则M′在边AD上．且M′为AD的中点，连接BM′，易得BM′的长为PM＋PB的最小值，∴BM′＝3. 连接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴∠ABM′＝30°，∠AM′B＝90°，∴AM′＝ AB，AB2－AM′2＝BM′2＝9，∴AB＝2 .
5.【中考·河南】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有(　　)A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
1. [2024沧州期中] 依据所标的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( )
A. B. C. D.