2025年中考数学一轮复习第22讲 圆（讲义）【3大考点22大题型】（举一反三）（原卷版）

这是一份2025年中考数学一轮复习第22讲 圆（讲义）【3大考点22大题型】（举一反三）（原卷版），共44页。试卷主要包含了 圆的定义，1m）；，直线与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。

考点一
圆的相关概念及性质
1. 圆的定义
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
圆的相关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。
圆的对称性
圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：平分弦（不就是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就是直径，否则结论不成立。
弦、弧、圆心角的关系
弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角就是直角，90°的圆周角所对弦就是直径。
圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
【题型1 利用垂径定理求解】
【例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
(1)如图1，若BE=1，CE=5，求⊙O的半径；
(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
【变式1-1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．42C．5D．52
【变式1-2】（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=40 cm,CD=10 cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50 cmB．35 cmC．25 cmD．20 cm
【变式1-3】（2024·浙江绍兴·中考真题）如图是6×7的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆ACB上的点A，B，C，O均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧BC的中点D．
(2)连结AC，作出∠BAC的角平分线．
(3)在AB上作出点P，使得AP=AC．
【题型2 利用弧、弦、圆心角关系求解】
【例2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AM=AN，DM=DN．求证：∠AMD=∠AND．
【模型应用】
（2）如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：
①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，AC为⊙O的直径，AB=BC，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证：AE=2CD．
【变式2-1】（2024·湖南怀化·中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
【变式2-2】（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．70°
【变式2-3】（2024·河北·中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A．abD．a，b大小无法比较
【题型3 利用圆周角定理及其推论求解】
【例3】（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF．
(1)求证：BC⋅DF=BF⋅CE；
(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF的长和⊙O的直径．
【变式3-1】（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（ ）
A．2B．22C．23D．4
【变式3-2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D．则AB+ACAD的值为（ ）
A．2B．3C．22D．23
【变式3-3】（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD=1，则AE的最大值为 ，最小值为 .
【题型4 利用圆内接四边形求角度】
【例4】（2024·湖南·中考真题）如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD=45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G．且满足∠CFE=45°．

(1)求证：直线l⊥直线CE；
(2)若AB=DG；
①求证：△ABC≌△GDE；
②若R=1，CE=32，求四边形ABCD的周长．
【变式4-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E=54°41′，∠F=43°19′，则∠A的度数为（ ）
A．42°B．41°20′C．41°D．40°20′
【变式4-2】（2024·江苏南京·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1:2:4，则∠D= ．
【变式4-3】（2024·贵州六盘水·中考真题）牂牁江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
(2)若∠COD=162°，点M在CD上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶CD上巡视时总能看清洞口CD的情况．
【题型5 利用圆的有关性质解决最值问题】
【例5】（2024·广西南宁·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-2】（2024·广西玉林·中考真题）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-3】（2024·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．

【题型6 利用圆的有关性质解决翻折问题】
【例6】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB=4，则BC的长是（ ）
A．23B．32C．532D．652
【变式6-1】（2024·云南曲靖·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将BC沿直线BC翻折，使BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
(1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PC=3，求四边形OCDB的面积．
【变式6-2】（2024·浙江舟山·中考真题）如图，在扇形AOB中，点C，D在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB=120°，OA=6，则EF的度数为 ；折痕CD的长为 ．
【变式6-3】（2024·四川资阳·中考真题）⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．
【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】
【例7】（2024·广西玉林·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是αzβ.
(1)用含的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
(2)连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值.
【变式7-1】（2024·青海西宁·中考真题）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（AB和CD）相交，那么实数a的取值范围是 ．
【变式7-2】（2024·河北·中考真题）推理证明：如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD=3，∠ACB=30°.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)分别求AB，OE的长；
(3)填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为 .
【变式7-3】（2024·四川内江·中考真题）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB=5，OB与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB=BC；
（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；
（3）若在⊙O上存在点G，使ΔGBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
考点二
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外,则 d＞r；点P在圆上则d=r；点P在圆内则d＜r,反之也成立。
三角形的外接圆与外心
经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
3.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交则d ＜ r；
直线l与⊙O相切则 d = r；
直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。
切线的判定与性质
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的其她性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线长定理
切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。
三角形的内切圆与内心
三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。
【题型8 点和圆的位置关系】
【例8】（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
【变式8-1】（2024·广东深圳·中考真题）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法错误的是（ ）
A．当a