2022-2023学年河北省保定市十三中九年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省保定市十三中九年级（上）期末数学试卷解析版，共30页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn＝pq，则下列比例式中，错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
D．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
4．（3分）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52D．8（1+x2）＝11.52
5．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+1B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1D．y＝3（x﹣2）2﹣1
7．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
8．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
9．（3分）如图，已知点P是△ABC中边AC上的一点，联结BP，以下条件不能识别△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABC
C．BC：BP＝AC：ABD．AC：AB＝AB：AP
10．（3分）在一个不透明的袋子中装有黄球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出一个小球后不放回，则两次摸到的球都是白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2B．（2，2），C．（2，2），2D．（1，1），
12．（3分）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A．B．1C．D．
13．（3分）在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ＝（ ）
A．B．3﹣C．﹣2D．
14．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3或x＞3B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3D．﹣3＜x＜0或x＞3
15．（3分）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1，S2，那么S1，S2的比值是（ ）
A．1：1B．8：9C．9：8D．
16．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：
①abc＞0；
②a﹣b+c＝0：
③2a+b＝﹣1；
④方程ax2+bx+c+1＝0，
有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①④D．②④
二、填空题．（本大题共5个小题，每题3分，共15分）
17．（3分）若，则＝ ．
18．（3分）抛物线y＝2x2﹣8x﹣5的顶点坐标是 ．
19．（3分）若关于x的方程2x2+3x+a＝0有一个根为，则另一个根为 ．
20．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为9，D为AB上一点，BD＝5，BF＝2，则CE＝ ．
21．（3分）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数的图象交于点P1、P2、P3…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为 （n为正整数）．
三、解答题．（本大题共5个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22．（10分）文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ；
（2）如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率；
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
23．（10分）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．
24．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，m）．
（1）求m、k的值；
（2）点P（xp，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记y＝（x＞0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，MN围成的区域（不含边界）为W．
①当xp＝5时，直接写出区域W内的整点的坐标为；
②若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出xp的取值范围．
25．（12分）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为0.9m．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）
（1）求BT的长（不考虑其他因素）；
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．
26．（14分）抛物线y＝ax2+bx+5经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线y＝2x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
2022-2023学年河北省保定十三中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（本大题有16个小题，每题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】根据三视图的形状可判断几何体的形状．
【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．
2．（3分）已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn＝pq，则下列比例式中，错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【考点】比例线段．
【答案】D
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、根据比例的基本性质可得mn＝pq，正确；
B、根据比例的基本性质可得mn＝pq，正确；
C、根据比例的基本性质可得mn＝pq，正确；
D、根据比例的基本性质可得mq＝pn，错误；
故选：D．
【点评】此题考查比例线段问题，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．
3．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
D．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理．
【答案】D
【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定及平行四边形的判定定理分别进行判定后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线的相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
C、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误，是假命题；
D、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，是真命题，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的特殊四边形的判定定理，难度不大．
4．（3分）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52D．8（1+x2）＝11.52
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出方程即可．
【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，
第一个月的销售额为8万元，
第二个月的销售额为8（1+x）万元，
第三个月的销售额为8（1+x）2万元，
∴8（1+x）2＝11.52，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额是解题的关键．
5．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到结论．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，，，，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．
6．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+1B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1D．y＝3（x﹣2）2﹣1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝3（x﹣2）2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，求出不等式的解集，再得出答案即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，
∴m只能为，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
8．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）中，k＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，且﹣3＜﹣2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
9．（3分）如图，已知点P是△ABC中边AC上的一点，联结BP，以下条件不能识别△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABC
C．BC：BP＝AC：ABD．AC：AB＝AB：AP
【考点】相似三角形的判定．
【专题】三角形．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠A是公共角，∠ABP＝∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项正确；
B、∵∠A是公共角，∠APB＝∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项正确；
C、不符合判定相似三角形的任何条件，故本选项错误；
D、∵∠A是夹角，AB：AP＝AC：AB，∴△ABP∽△ACB，故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定的三边法及两角法是解答此题的关键．
10．（3分）在一个不透明的袋子中装有黄球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出一个小球后不放回，则两次摸到的球都是白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】常规题型；概率及其应用．
【答案】D
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况数为6种，其中两次都是白球的情况数有2种，
所以两次摸到的球都是白球的概率是＝，
故选：D．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2B．（2，2），C．（2，2），2D．（1，1），
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比．
【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），
k的值为：＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
12．（3分）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A．B．1C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；解直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC＝，AC＝，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
13．（3分）在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ＝（ ）
A．B．3﹣C．﹣2D．
【考点】黄金分割．
【答案】C
【分析】先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP＝BQ＝AB，再根据PQ＝AP+BQ﹣AB，即可得出结果．
【解答】解：根据黄金分割点的概念，可知AP＝BQ＝×1＝，
则PQ＝AP+BQ﹣AB＝×2﹣1＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要是考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解．
14．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3或x＞3B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3D．﹣3＜x＜0或x＞3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由正、反比例的对称性结合点A的横坐标即可得出点B的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式y1＜y2的解集．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为3，
∴点B的横坐标为﹣3．
观察函数图象，发现：
当0＜x＜3或x＜﹣3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出点B的横坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的横坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
15．（3分）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1，S2，那么S1，S2的比值是（ ）
A．1：1B．8：9C．9：8D．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【答案】C
【分析】由四边形ABCD、BEFG、MNQP是正方形，易证得△AEF，△CFG，△APM，△CNQ是等腰直角三角形，即可得AP＝PM＝PQ＝NQ＝CQ＝AC，AE＝EF＝FG＝CG＝AF•cs45°＝AC×＝AC，继而求得S1与S2的比值．
【解答】解：∵如图，四边形ABCD、BEFG、MNQP是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝45°，∠APM＝∠CQN＝∠AEF＝∠CGF＝90°，
∴△AEF，△CFG，△APM，△CNQ是等腰直角三角形，
∴AP＝PM＝PQ＝NQ＝CQ＝AC，AE＝EF＝FG＝CG＝AF•cs45°＝AC×＝AC，
∴S1＝EF2＝AC2，S2＝PQ2＝AC2，
∴S1：S2＝9：8．
故选：C．
【点评】此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
16．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：
①abc＞0；
②a﹣b+c＝0：
③2a+b＝﹣1；
④方程ax2+bx+c+1＝0，
有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①④D．②④
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】解：由图象得：a＜0，c＞0，对称轴为：x＝﹣＝1，即b＝﹣2a＞0，
根据抛物线的对称性，交点为（3，0）和（﹣1，0），
∴abc＜0，a﹣b+c＝0，2a+b＝0，方程ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故正确的有：②④，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，数形结合思想是解题的关键．
二、填空题．（本大题共5个小题，每题3分，共15分）
17．（3分）若，则＝ ．
【考点】比例的性质．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】直接利用已知将原式变形得出2x＝5y，进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴3x＝5x﹣5y，
故2x＝5y，
则＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
18．（3分）抛物线y＝2x2﹣8x﹣5的顶点坐标是 （2，﹣13） ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（2，﹣13）．
【分析】把二次函数化为顶点式，可求得顶点坐标．
【解答】解：∵y＝2x2﹣8x﹣5＝2（x﹣2）2﹣13，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣13），
故答案为：（2，﹣13）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k）．
19．（3分）若关于x的方程2x2+3x+a＝0有一个根为，则另一个根为 ﹣1 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】设关于x的方程2x2+3x+a＝0的两根分别为m、n，由根与系数的关系可得出m+n＝﹣，结合m＝﹣，即可得出结论．
【解答】解：设关于x的方程2x2+3x+a＝0的两根分别为m、n，
由已知得：m+n＝﹣，m＝﹣，
解得：n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，解题的关键是得出方程两根之和为﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
20．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为9，D为AB上一点，BD＝5，BF＝2，则CE＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】．
【分析】根据翻转变换的性质得到∠DFE＝∠A，证明△BDF∽△CFE，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠DFE＝∠A＝60°，
∵∠EFC＝180°﹣∠DFB﹣∠DFE，∠FDB＝180°﹣∠DFB﹣∠B，
∴∠EFC＝∠FDB，又∠B＝∠C＝60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴＝，即，
解得，CE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
21．（3分）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数的图象交于点P1、P2、P3…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为 （n为正整数）．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】．
【分析】根据反比例函数y＝中k的几何意义再结合图象即可解答．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝|k|＝3．
又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5
所以S1＝3，S2＝S1＝，S3＝S1＝1，S4＝S1＝，S5＝S1＝．
依此类推：Sn的值为．
故答案是：．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
三、解答题．（本大题共5个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22．（10分）文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ；
（2）如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率；
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】常规题型；统计的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；
（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；
∴建议小明在第一题使用“求助”．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
23．（10分）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；
（2）求证：EO＝DC．
【考点】菱形的判定与性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；
（2）依据矩形的性质可得到EO＝BA，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD．
【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．
证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）∵四边形AEBO是矩形
∴EO＝AB，
在菱形ABCD中，AB＝DC．
∴EO＝DC．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
24．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，m）．
（1）求m、k的值；
（2）点P（xp，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记y＝（x＞0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，MN围成的区域（不含边界）为W．
①当xp＝5时，直接写出区域W内的整点的坐标为；
②若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出xp的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将点A坐标代入解析式，可求m，k的值；
（2）①根据题意先求M，N两点，根据A、M、N点的坐标即求出整点个数．②分两种情况讨论，结合函数图象可求解．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，m）．
∴m＝3﹣1＝2，
∴点A（3，2），
∵反比例函数y＝过点A，
∴k＝3×2＝6；
（2）①当xp＝5时，M、N两点的坐标为M（5，4）、N（5，）．
∵A（3，2）．
∴区域W内的整点的坐标为（4，2）．
②当点P在点A左边时，如图1，
结合函数图象可知，当0＜xp＜1时，区域W内有6个整点；
当点P在点A右时，如图2，
结合函数图象可知，当6＜xP≤7时，区域W内有6个整点；
综上所述：当 0＜xp＜1或6＜xP≤7时，区域W内有6个整点．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
25．（12分）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为0.9m．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）
（1）求BT的长（不考虑其他因素）；
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）2.7m；（2）该车大灯的设计能满足最小安全距离的要求．
【分析】（1）在直角△ACT中，根据三角函数的定义，若AT＝3x，则CT＝5x，在直角△ABT中利用三角函数即可列方程求解；
（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可．
【解答】解：（1）根据题意及图知：∠ACT＝31°，∠ABT＝22°，
∵AT⊥MN，
∴∠ATC＝90°，
在Rt△ACT中，∠ACT＝31°，
∴tan31°＝，
可设AT＝3x米，则CT＝5x米，
在Rt△ABT中，∠ABT＝22°，
∴tan22°＝，
即：，
解得：x＝0.36，
∴CT＝5×0.36＝1.8（m），
∴BT＝BC+CT＝0.9+1.8＝2.7（m）；
（2），
，
＜2.7，
∴该车大灯的设计能满足最小安全距离的要求．
【点评】本题考查了解直角三角形，正确利用三角函数列出方程进行求解，正确理解方程思想是关键．
26．（14分）抛物线y＝ax2+bx+5经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线y＝2x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；模型思想．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；
（2）①存在，64；②存在，（，﹣）或（3，﹣4）．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①联立抛物线与直线CD的解析式成方程组，通过解方程组可求出点C、D的坐标，设点P的坐标为（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则点N的坐标为（x，2x+5），PN＝﹣x2+8x，根据三角形面积公式可得出S△PCD＝﹣4x2+36x，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
②利用相似三角形的性质可得出：若△CNQ与△PBM相似，则有＝或＝，设点P的坐标为（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则点N的坐标为（x，2x+5），点M的坐标为（x，0），点Q的坐标为（x，5），进而可得出CQ＝x，NQ＝2x，PM＝﹣x2+6x﹣5，BM＝5﹣x，将其代入＝或＝中即可求出x的值，结合1＜x＜5即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴，
解得，
∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2））①存在，理由如下：
联立抛物线与直线CD的解析式成方程组，
得：，
解得：，，
∴点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（8，21）．
设点P的坐标为（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则点N的坐标为（x，2x+5），
∴PN＝2x+5﹣（x2﹣6x+5）＝﹣x2+8x，
∴S△PCD＝PN•（xD﹣xC）＝×8×（﹣x2+8x）＝﹣4x2+32x＝﹣4（x﹣4）2+64．
∵a＝﹣4＜0，
∴当x＝4时，S△PCD取最大值，最大值为64，
∴在点P运动过程中，△PCD的面积存在最大值，最大值为64．
②存在，理由如下：
∵∠CQN＝∠PMB＝90°，
∴若△CNQ与△PBM相似，则有＝或＝，
设点P的坐标为（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则点N的坐标为（x，2x+5），点M的坐标为（x，0），点Q的坐标为（x，5），
∴CQ＝x，NQ＝2x，PM＝﹣x2+6x﹣5，BM＝5﹣x．
当＝或时，有＝，
解得：x1＝，x2＝5（舍去），
∴点P的坐标为（，﹣）；
当＝时，有＝，
解得：x3＝3，x4＝5（舍去），
∴点P的坐标为（3，﹣4）．
综上所述：存在点P，使得△CNQ与△PBM相似，点P的坐标为（，﹣）或（3，﹣4）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标表示出△PCD的面积是解题的关键，在（2）②中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制白
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