2024年中考数学真题分类汇编：知识点30 平行四边形（含多边形及其内角和）2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点30 平行四边形（含多边形及其内角和）2024（解析版），共12页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。
10．【2024·河北10题】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1＝∠3，AASB．∠1＝∠3，ASAC．∠2＝∠3，AASD．∠2＝∠3，ASA
【答案】D【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3.∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.
∵点M是AC的中点，∴MA＝MC.在△MAD和△MCB中，∠2=∠3MA=MC∠4=∠5，∴△MAD≌△MCB（ASA），∴MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形．∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA，故选D．
11．【2024·河北11题】直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（ ）
A．115°B．120°C．135°D．144°
【答案】B【解析】正六边形每个内角为(6−2)×180°6=120°，而六边形MBCDEN的内角和也为（6−2）×180°＝720°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°，∴∠ENM+∠NMB＝720°−4×120°＝240°.∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°，∴α+β＝360°−240°＝120°，故选B．
河南省
6．【2024·河南】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（ ）
A．12B．1C．43D．2
【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=12AC，∵点E为OC的中点，∴CE=12OC=14AC，
∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB=CEAC，即EF4=14，∴EF＝1，故选B．
吉林省
3．【2024·长春】在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（ ）
A．54°B．60°C．70°D．72°
【答案】D
山东省
9．【2024·威海】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（ ）
A．若CECF=ADAB，则EF∥BD
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD
C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC
D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD
【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD.A．若CECF=ADAB，即CECF=BCCD，又∵∠ECF＝∠BCD，∴△CEF∽△CBD，∴∠CEF＝∠CBD，∴EF∥BD.故A选项正确；B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，∴CA是∠BCD的角平分线，∴∠ACB＝∠ACD.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在Rt△ACE和Rt△AFC中，AE=AFAC=AC，∴Rt△ACE≌Rt△AFC（HL），∴CE＝CF.又∵AE＝AF，∴AC⊥EF∴EF∥BD.故B选项正确；C．∵CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF.∵EF∥BD，∴∠CBD＝∠CEF，∠CDB＝∠CFE，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.又∵EF∥BD，
∴AC⊥EF.∵CE＝CF，∴AC垂直平分EF，∴AE＝AF，∴∠EAC＝∠FAC.故C选项正确；D．若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，当AE＝AF，且BE＝DF时，可得AC垂直平分EF.∵AC⊥BD，∴EF∥BD，故D选项不正确.故选D．
1．【2024·枣庄】如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】A【解析】∵四边形BCMN是正方形，∴∠NBC＝90°，∵∠ABN＝120°，∴∠ABC＝360°−90°−120°＝150°，∴正n边形的一个外角为180°−150°＝30°，∴n的值为360°30°=12．故选A．
2．【2024·枣庄】如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（ ）
A．52B．3C．72D．4
【答案】B【解析】方法一：延长DF和AB，交于G点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB即DC∥AG，∴△DEC∽△GAE，∴CEAE=DEGE=DCAG.∵AC＝5，CE＝1，∴AE＝AC−CE＝5−1＝4，∴CEAE=DEGE=DCAG=14.又∵EF＝DE，DEGE=DEEF+FG=14，∴EFFG=13.∵DCAG=DCAB+BG=14，DC＝AB，∴DCBG=13，∴EFFG=DCBG=13，
∴BGAG=FGEG=34，∴AE∥BF，∴△BGF∽△AGE，∴BFAE=FGEG=34.∵AE＝4，∴BF＝3．
方法二：如图，连接BD交AC 于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB.∵EF＝DE，∴OE是△BFD的中位线，∴OEBF=ODBD=12，∴12AC−1BF=1，∴12AC−CEBF=12，∴BF＝2.故选B．
四川省
7．【2024·资阳】已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
6．【2024·乐山】如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BC
【答案】D【解析】A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；C、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；故选D．
4．【2024·乐山】下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】三角形的内角和为180°，四边形的内角和为：（4−2）×180°＝360°，五边形的内角和为：（5−2）×180°＝540°，六边形的内角和为：（6−2）×180°＝720°，∵180＜360＜540＜720，∴在三角形、四边形、五边形和六边形中，内角和最小的是三角形，故选A．
5．【2024·眉山】如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∠A＝∠C.故①③正确；∴S△ABD＝S△CDB=
12S平行四边形ABCD，∠ODE＝∠OBF.∵点O是BD的中点，∴OD＝OB.又∵∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴S△ODE＝S△OBF，EO＝FO≠ED.故②不正确；∵S△ABD＝S△CDB，S△ODE＝S△OBF，∴S△ABD−S△ODE＝S△CDB−S△OBF，
即S四边形ABOE＝S四边形CDOF.故④正确.综上所述，正确结论的个数为3个，故选C．
6．【2024·遂宁】佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A．36°B．40°C．45°D．60°
【答案】C【解析】设这个正多边形的边数为n，由题意得：（n−2）•180°＝1080°，解得n＝8，则360°÷8＝45°，
即这个正多边形的每个外角为45°，故选C．
1．【2024·德阳】已知，正六边形ABCDEF的面积为63，则正六边形的边长为（ ）
A．1B．3C．2D．4
【答案】C【解析】如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°6=60°.∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∴OA＝OB＝AB.设AB＝x，则OA＝OB＝x，∴S正六边形＝6S△AOB＝63，∴6×12×x×32x＝63，解得x＝2或x＝−2＜0舍去，即正六边形的边长为2．故选C．
浙江省
10．【2024·浙江A卷10题（回忆版）】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD=23．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+yB．x−yC．xyD．x2+y2
【答案】C【解析】过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，∴AE＝DH，∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），∴CH＝BE＝x，∵BC＝y，∴EC＝BC−BE＝y−x，BH＝BC+CH＝y+x，∵AE2＝AC2−EC2，DH2＝BD2−BH2，∴22−（y−x）2=(23)2−（y+x）2，∴xy＝2．
故选C．
贵州省
8．【2024·贵州8题】如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝BCB．AD＝BCC．OA＝OBD．AC⊥BD
【答案】B
云南省
1．【2024·云南】一个七边形的内角和等于（ ）
A．540°B．900°C．980°D．1080°
【答案】B
辽宁省
9．【2024·辽宁】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．16
【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=12AC=32，OD=12BD=52.∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED的周长＝2（OC+OD）＝2×（32+52）＝8.故选C．
内蒙古
7．【2024·赤峰7题】如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】B【解析】如图，直线l、m相交于点A，则∠A＝60°，∵正多边形的每个内角相等，∴正多边形的每个外角也相等，∠1＝∠2=180°−60°2=60°，∴n=360°60°=6．故选B．
二、填空题
上海
15．【2024·上海】如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设AC→=a→，BE→=b→，若AE＝2EC，则DC→= （结果用含a→，b→的式子表示）．
【答案】23a→−b→【解析】∵AC→=a→，AE＝2CE，∴AE→=23AC→=23a→，又∵BE→=b→，∴AB→=EB→−EA→=−b→+23a→=23a→−b→，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC→=AB→=23a→−b→，故答案为：23a→−b→．
重庆
13．【2024·重庆B卷】若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ．
【答案】8【解析】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°＝8，即该正多边形的边数为8．
12．【2024·重庆A卷】如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】9【解析】∵360°40°=9，∴这个多边形的边数为9，故答案为9．
山西省
15．【2024·山西】如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF＝∠CAF，线段AB，CF的延长线交于点G．若AB=5，AD＝4，tan∠ABC＝2，则BG的长为 ．
【答案】20519【解析】过点F作FH⊥AC于H，延长AD与GC的延长线交于K，如下图所示，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD=5，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD，又∵AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=2，
∴AE＝2BE，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即（2BE）2+BE2＝（5）2，∴BE＝1，∴AE＝2BE＝2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD=5，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD，∴CE＝BC−BE＝3，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC=AE2+CE2=13，∵∠ACF＝∠CAF，∴FA＝FC，∵FH⊥AC，∴AH＝CH=12AC=132，
∵S△FAC=12AC•FH=12AF•CE，∴FH=AF⋅CEAC=3AF13，在Rt△AFH中，由勾股定理得：AF2−FH2＝AH2，即AF2−(3AF13)2=(132)2，∴AF=134，∴EF＝AF−AE=134−2=54，∵BC∥AD，∴△FCE∽△FKA，∴EF：AF＝CE：AK，即54：134=3：AK，∴AK=395，∴DK＝AK−AD=395−4=195，∵AB∥CD，∴△KDC∽△KAG，∴DK：AK＝CD：AG，即195：395=5：AG，∴AG=39519，∴BG＝AG−AB=39519−5=20519．故答案为：20519．
吉林省
11．【2024·吉林】正六边形的一个内角的度数是 °．
【答案】120
山东省
13．【2024·威海】如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝ .
【答案】50°【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE＝∠BAF=(6−2)×180°6=120°.∵∠EFG＝20°，∴∠AFG＝120°−20°＝100°.∵AH∥FG，∴∠FAH＝180°−100°＝80°，∴∠BAI＝120°−80°＝40°，
∵BI⊥AH，∴∠ABI＝90°−40°＝50°.故答案为50°．
四川省
13．【2024·广元】点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．
【答案】18°【解析】由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，∴∠DFG＝90°，∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角，∴∠FDG=360°5=72°，∴∠BGC＝90°−72°＝18°，故答案为18°．
15．【2024·自贡】凸七边形的内角和是 度．
【答案】900【解析】∵n＝7，∴内角和为：180°（7−2）＝900°，故答案为900．
15．【2024·宜宾】如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．
【答案】25+2【解析】连接BE交AC于O，如图，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CBA＝∠BAC＝（5−2）×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE，∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝（180°−108°）÷2＝36°，
∴∠CBO＝∠ABC−∠ABE＝108°−36°＝72°，∴∠BOC＝180°−∠CBO−∠BCA＝180°−72°−36°＝72°，
∴∠CBO＝∠BOC＝72°，∴CO＝BC＝4，∵∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝36°＝∠BCA，∴△ABO∽△ACB，
∴ABAC=AOAB，即4AC=AC−44，解得AC＝25+2或AC＝25−2（小于4，舍去），经检验，AC＝25+2符合题意；故答案为：AC＝25+2．
广东省
13．【2024·广州】如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ ．
【答案】5【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，∴∠EAB＝∠CBA，∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA＝∠CBA，∴∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE＝3，∴DE＝AD+AE＝2+3＝5，故答案为5．
甘肃省
12．【2024·临夏州】“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 ．
【答案】120°【解析】∵正六边形的内角和为（6−2）×180°＝720°，∴该正六边形的每个内角为720÷6＝120°.故答案为120°．
青海省
12．【2024·青海】正十边形一个外角的度数是 ．
【答案】36°
内蒙古
12．【2024·包头】若一个n边形的内角和是900°，则n＝ ．
【答案】7
三、解答题
北京
20．【2024·北京20题】如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
解：（1）证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE，
∵DF＝BF，∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，∴CF∥AD，
∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形.
（2）由（1）知，EF是△ABD的中位线，
∴AD＝2EF＝2，
∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，∴BF＝3EF＝3，
∵DF＝FB，∴DF＝BF＝3，
∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°，
∴AF=AD2+DF2=13，
∵四边形AFCD为平行四边形，∴CD＝AF=13.
∵DF＝BF，CE⊥BD，∴BC＝CD=13．
吉林省
17．【2024·吉林】如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC．
证明：∵点O是AB的中点，∴AO＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠E＝∠BCO.
又∠AOE＝∠BOC，
∴△AOE≌△BOC（AAS），∴AE＝BC．
湖北省
18．【2024·武汉】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．
∵AF＝CE，
∴AD−AF＝BC−CE，∴DF＝BE.
在△ABE与△CDF中，AB=CD∠B=∠DBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
（2）添加BE＝CE，理由如下：
∵AF＝CE，BE＝CE，∴AF＝BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．
17．【2024·湖北】如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
内蒙古
22．【2024·包头】如图，在▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE，CE，且S△ABE＝S△DCE．
（1）如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE，EF相交于点G，H．
①求证：H是AC的中点；
②求AG：GH：HC；
（2）如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM，CE的延长线与AM相交于点N．试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
解：（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD和BC之间是等距的，且∠EAH＝∠FCH，
∵S△ABE＝S△CDE，∴AE＝DE=12AD.
∵F是BC中点，
∴CF＝BF=12BC，∴CF＝AE.
在△AEH和△CFH中，∠EHA=∠FHC∠EAH=∠FCHAE=CF，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴AH＝CH，
∴H是AC中点．
②∵∠EAH＝∠FCH，∠AGE＝∠CGB，
∴△AGE∽△CGB，∴AGCG=AECB=12，
设AG＝2a，则CG＝4a，
∴AC＝6a，∴AH＝CH＝3a，
∴GH＝AH−AG＝a，
∴AG：GH：HC＝2a：a：3a＝2：1：3．
（2）AM＝3AN．
证明：如图，过M作MQ∥BC交CN延长线于点Q，
∵ED∥BC，
∴EMBM=EDBC=12，∴EM=12BM＝BE.
∵MQ∥BC，∴∠MQE＝∠BCE.
∵∠MEQ＝∠BEC，EM＝BE，
∴△MQE≌△BCE（AAS），∴MQ＝BC，
∵MQ∥AD，∴∠MQE＝∠AEN.
∵∠MNQ＝∠ANE，
∴△MQN∽△AEN，∴MNAN=MQAE=2，
∴MN＝2AN，∴AM＝MN+AN＝3AN．
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．
∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，
∴①______．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB（②______）．
∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．