2024年中考数学真题分类汇编：知识点31 矩形、菱形与正方形2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点31 矩形、菱形与正方形2024（解析版），共26页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。
8．【2024·北京8题】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B【解析】延长BD和DB，连接OH，∵菱形ABCD，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转 90° 得到菱形 A'B'C'D'，∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且 OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'，∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°，∵∠D′HA＝∠DHC′，∴△AD'H≌△C'DH（AAS），∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可证 D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG，
∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°，∴△A'BE≌△C'DH（ASA），∴DH＝BE，∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；根据题意，得∠ED'H＝120°，∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°，∴∠D'HD＝150°，∴该八边形各内角不相等，故②错误；∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，
∴△D'OH≌△DOH（SSS），∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°，∴OD≠OH，∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；故选B．
上海
5．【2024·上海】四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
【答案】A【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，S△ABC＝S△BCD＝S△ADC＝S△BAD，∵AE⊥BD，BF⊥AC，CG⊥BD，DH⊥AC，∴AE＝BF＝CG＝DH，∴四个垂线可以拼成一个菱形，故选A．
重庆
9．【2024·重庆B卷】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2B．5C．6D．125
【答案】D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，∴在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），∴AE＝AF；∵AM平分∠EAF，∴∠EAM＝∠FAM，∴在△AEM和△AFM中，AE=AF∠EAM=FAMAM=AM，∴△AEM≌△AFM（SAS），∴EM＝FM；∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，设DM＝x，则MC＝CD−DM＝4−x，CE＝BC−BE＝4−1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4−x）2+32，解得x=125．故选D．
山西省
10．【2024·山西】在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等D．互相垂直平分且相等
【答案】A【解析】如图所示，连接BD，AC，∵点H和点E分别是AD和AB的中点，∴HE是△ABD的中位线，∴HE=12BD，HE∥BD．同理可得，GF=12BD，GF∥BD，∴HE＝GF，HE∥GF，∴四边形HEFG是平行四边形．∵HE=12BD，HG=12AC，且AC＝BD，∴HE＝HG，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG与HF互相垂直平分．故选A．
陕西省
7．【2024·陕西】如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（ ）
A．2B．3C．52D．83
【答案】B【解析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得AD∥GF，得△ADH∽△FGH，得DH：HG＝AD：GF＝6：2＝3：1，由DG＝6−2＝4，得DH＝4÷（1+3）×3＝3．故选B．
山东省
4. 【2024·济宁】如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ）

A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A【解析】∵四边形是菱形，，∵E是的中点，，∴。故选A．
1．【2024·烟台】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
A．45°−α2B．90°−α2C．45°+α2D．α2
【答案】B【解析】设AC与BD的交点为O，∵正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，
∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，DE＝CF，∴OE＝OF，∵∠EOF＝∠DOC，OEOD=OFOC，∴△EOF∽△DOC，
∴∠OFE＝∠OCD＝45°，∵点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，∴DEBE=12，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△ABE∽△GDE，∴DGAB=DEBE=12，∴DG=12AB=12CD=CG，∴△DEG≌△CFG（SAS），
∴GE＝GF，∴∠GEF=12(180°−∠AGF)=90°−12α，∴∠FAG=∠GEF−∠AFE=90°−12α−45°=45°−12α=90°−α2，故选B．
湖南省
10．【2024·长沙10题】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A．y=9xB．y=12xC．y=18xD．y=36x
【答案】C【解析】如图，过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∴∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，∴DH=12CD=3.∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠EHD＝90°，
∴△ADF∽△DEH，∴ADDE=AFDH，∴6x=y3，∴y=18x.故选C．
江苏省
1．【2024·连云港】如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（ ）
A．440cmB．320cmC．280cmD．160cm
【答案】A
四川省
1．【2024·泸州】已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝90°B．∠B＝∠CC．AC＝BDD．AC⊥BD
【答案】D
2．【2024·成都】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠ACB＝∠ACD
【答案】C
甘肃省
5．【2024·甘肃5题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C【解析】∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵∠ABD＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴OC＝OA＝2，∴AC＝OA+OC＝4，故选C．
黑龙江省
10．【2024·龙东地区】如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A，D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：
①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC=1010；④BN=2BM；⑤若AH=12HD，则S△BND=112S△AHM．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】A【解析】连接DG，如图.∵四边形ABCD是正方形，∠BDC＝∠BAC＝∠ADB＝45°，BDAB=2，∠BAD＝∠ADC＝90°，AC垂直平分BD，∴∠CDP＝90°.∵DF平分∠CDP，∴∠CDF=12∠CDP=45°=∠CDB，∴∠BDF＝∠CDF+∠CDB＝90°，∠BHF＝90°＝∠BDF，∴点B、H、D、F四点共圆，∴∠HFB＝∠HDB＝45°，∠DHF＝∠DBF，∴∠HBF＝180°−∠HFB−∠FHB＝45°.故①正确；∵AC垂直平分BD，∴BG＝DG，∴∠BDG＝∠DBG.
∵∠BDF＝90°，∴∠BDG+∠GDF＝90°＝∠DBG+∠DFG，∴∠GDF＝∠DFG，∴DG＝FG，∴DG＝FG＝BG，
∴点G是BF的中点.故②正确；∵∠BHF＝90°＝∠BAH，∴∠AHB+∠DHF＝90°＝∠AHB+∠ABH，∴∠DHF＝∠ABH.∵∠DHF＝∠DBF，∴∠ABH＝∠DBF.又∵∠BAC＝∠DBC＝45°，∴△ABM∽△DBN，∴BNBM=BDAB=2，
∴BN=2BM.故④正确；∴S△ABMS△DBN=(ABBD)2=12，若AH=12HD，则AH=12HD=12(AD−AH)，∴3AH＝AD，
∴AHAD=13，即AHBC=AHAD=13.∵AD∥DC，∴△AHM∽△CBM，∴HMBM=AHBC=13.∵S△AHMS△ABM=HMBM=13，∴S△ABM＝3S△AHM，∴S△ABMS△DBN=12，∴S△BND＝2S△ABM＝6S△AHM.故⑤错误；如图，③若点H是AD的中点，设AD＝2，即AB＝BC＝AD＝2，∴AH=12AD=1，∴BH=AH2+AB2=5.同理可证明△AHM∽△CBM，∴HMBM=AHBC=12，HM+BMBM=32=BHBM BM=23BH=235.∵BN=2BM，∴BN=2BM=2310.∵BC＝2，在Rt△BNC 中，NC=BN2−BC2=23 sin∠NBC=NCBN=1010，故③正确.则正确的有①②③④，故选A．
9．【2024·龙东地区】如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（ ）
A．5B．455C．355D．255
【答案】C【解析】连接AC，如图.∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，又∵点O是BD的中点，∴A、O、C三点在同一直线上，∴OA＝OC.∵OM＝2，AM⊥BC，∴OA＝OC＝OM＝2.∵BD＝8，∴OB＝OD=12BD＝4，
∴BC=OB2+OC2=42+22=25，tan∠OBC=OCOB=24=12.∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°，
∴∠MAC＝∠OBC∴sin∠MAC＝sin∠OBC=OCBC=225=55，∴MC＝ACsin∠MAC=455，∴BM＝BC−MC＝25−455=655，∴MN＝BMtan∠OBC=655×12=355.故选C．
11．【2024·绥化】如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．245B．6C．485D．12
【答案】A【解析】∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC=BC2−BO2=52−42=3，∴AC＝2OC＝6，
∵菱形ABCD的面积＝AE•BC=12BD×AC＝OB•AC，∴AE=OB⋅ACBC=4×65=245，故选A．
辽宁省
10．【2024·辽宁】如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（ ）
A．（−1，6）B．（−2，6）C．（−3，6）D．（−4，6）
【答案】B【解析】当x＝8时，y=34×8＝6，∴点B的坐标为（8，6），∴OB=(8−0)2+(6−0)2=10．∵四边形AOBC是菱形，且AO在x轴上，∴BC＝OB＝10，且BC∥x轴，∴点C的坐标为（8−10，6），即（−2，6）．故选B．
广西
12．【2024·广西12题】如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．10
【答案】C【解析】正方形的边长为5，则CD＝5，CF＝2.5，由勾股定理得，DF=552，由题意得△DQG∽△DFC，
∴DQ：QG＝CD：CF＝2：1，得DQ＝2QG=5.∵E，F，G，H分别为各边中点．∴DQ＝PQ=5，∴四边形MNPQ的面积=(5)2=5.故选C．
内蒙古
11．【2024·兴安盟、呼伦贝尔市】如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（ ）
A．22B．2+2C．4−22D．2
【答案】A【解析】∵正方形ABCD的边长是2，∴BD=CD2+CB2=22.∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DC＝DF＝2，EC＝EF，∴BF＝22−2，△BEF的周长＝BF+BE+EF＝BF+BE+EC＝BF+BC＝22−2+2＝22．
故选A．
9．【2024·通辽9题】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC＝∠BCAB．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2
【答案】D【解析】A项，∵∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B项，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C项，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OA2+OB2＝AD2，∴OA2+OD2＝AD2，∴∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意，D项，∵AD2+OA2＝OD2，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意.故选D．
10．【2024·包头】如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（ ）
A．1010B．31010C．13D．23
【答案】A【解析】过G作GH⊥BC于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD∥BC.∵BC＝6，BE＝EF＝FC，∴BE＝EF＝CF＝2，∴BF＝CE＝4，∴AB＝BF＝CE＝DC＝4，∴△ABF和△DCE是等腰直角三角形，∴∠AFE＝∠DEC＝45°，∴△EGF是等腰直角三角形，∴GH＝EH=12EF=1，∴BH＝3，∴BG=BH2+HG2=10，
∴sin∠GBF=HGBG=110=1010.故选A．
二、填空题
北京
15．【2024·北京15题】如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为 ．
【答案】278【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD＝∠CGD＝90°，∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF，∴∠CDG＝∠DAF，∴△CDG≌△DAF（AAS），∴AF＝DG=CD2−CG2=3，DF＝CG＝4，同理可得∠EAF＝∠ADF，又∠AFE＝∠AFD，∴△AFE∽△DFA，∴AFDF=EFAF，即34=EF3，∴EF=94，∴S△AEF=12AE•EF=278．故答案为：278．
天津
17．【2024·天津17题】如图，正方形ABCD的边长为32，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE．
（Ⅰ）线段AE的长为 ；
（Ⅱ）若F为DE的中点，则线段AF的长为 ．
【答案】（Ⅰ）2 （Ⅱ）102【解析】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC＝OD＝OB，∠DOC＝90°，∴在Rt△DOC中，OD2+OC2＝DC2，∵DC＝32，∴OA＝OD＝OC＝OB＝3，∵OE＝5，∴AE＝OE−OA＝2.故答案为2．
（Ⅱ）延长DA到点G，使AG＝AD，连接EG，过E作EH⊥AG于H，∵F为DE中点，A为DG中点，∴AF为△DGE中位线，∴AF=12EG，在Rt△EAH中，∠EAH＝∠DAC＝45°，∴AH＝EH，∵AH2+EH2＝AE2，∴AH＝EH=2，∴GH＝AG−AH＝32−2=22，在Rt△EGH中，EG2＝EH2+GH2＝10，∴EG=10，∴AF=12EG=102．故答案为：102．
上海
12．【2024·上海】在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝ °．
【答案】57【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠ABC＝66°，∴∠BAC=12（180°−66°）＝57°．故答案为：57．
吉林省
12．【2024·吉林】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则EFBC的值为 ．
【答案】12【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AD＝BC.∵∠FEO＝45°，∴∠FEO＝∠DAC，
∴EF∥AD.∵点E是OA的中点，∴点F是OD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF=12AD，∴EF=12BC，
即EFBC=12.故答案为12．
四川省
12．【2024·甘孜州】如图，在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形ABCD的周长为 ．
【答案】8
16．【2024·眉山】如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为 ．
【答案】475【解析】∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，∴AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°.在Rt△DCE中，∵∠CDE＝90°−∠DCE＝30°，∴CE=12CD＝3，∴DE=3CE＝33，∴BE＝BC+CE＝9.∵AD∥BE，∴∠ADE＝180°−∠DEC＝90°.在Rt△ADE中，AE=DE2+AD2=(33)2+62=37，∵AD∥BE，∴△AFD∽△EFB，∴AFFE=ADBE=69=23，∴AF=25AE=
25×37=675.∵AD∥CE，∴△AGD∽△EGC，∴AGEG=ADCE=63=2，∴AG=23AE=23×37=27，∴FG＝AG−AF＝27−675=475．故答案为475．
福建省
14．【2024·福建14题】如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 ．
【答案】2【解析】连接HF、EG，∵正方形ABCD的面积为4，∴BC∥AD，BC＝AD.∵H、F分别为边BC、DA的中点，∴四边形BFHA是平行四边形，∴AB＝HF，AB∥HF.同理BC＝EG，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四边形EFGH的面积是12EG×HF=12×2×2＝2．故答案为：2．
广东省
15．【2024·广东】如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】10【解析】连接BD，∵E是AB的中点，∴S△AED=12S△ABD=14S菱形ABCD＝6，连接EC，同理可得S△BEC＝S△AED＝6，∵S△BEF＝4，∴S△BEF=23S△BEC，∴FC=13BC，∴S△DFC=13S△BCD=16S菱形ABCD＝4，∴S阴影＝S菱形ABCD−S△AED−S△BEF−S△DFC＝24−6−4−4＝10．故答案为10．
浙江省
16．【2024·浙江A卷16题（回忆版）】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ACBD=53．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为 ．
【答案】13【解析】如图连接OE、A'D，∵AB关于过O的直线对称，∴A'在BD延长线上，∵ACBD=53，∴设AC＝10k，BD＝6k，在菱形ABCD中，OA＝OC＝5k，CB＝OD＝3k，∵AB与A'B'关于过O的直线对称，∴OA＝OA'＝5k，OB＝OB'＝3k，∠A'＝∠DAC＝∠DCA，∴A'D＝B'C＝2k，∵∠A'ED＝∠B'CE，∴△A'ED≌△CEB'（AAS），
∴DE＝B'E，∵OE＝OE，OD＝OB'，∴△DOE≌△B'OE（SSS），∴S△DOE＝S△B′OE，∵S△B′CES△B′OE=B′CB′O=23，∴S△B′CES四边形OB′ED=26=13．故答案为13．
贵州省
16．【2024·贵州16题】如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若sin∠EAF=45，AE＝5，则AB的长为 ．
解：如图，过点E作EG⊥AF于点G，延长AF、BC交于点H，则∠EGA＝∠EGH＝90°，∵sin∠EAF=45=EGAE，AE＝5，∴EG＝4，∴AG=AE2−EG2=52−42=3.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B.∵点E，F分别是BC，CD的中点，∴BE＝CE=12BC，DF＝CF=12CD，∴BE＝DF，
∴△ADF≌△ABE（SAS），∴AF＝AE＝5，∴GF＝AF−AG＝2.∵AD∥BC，∴∠D＝∠FCH.又∵∠AFD＝∠HFC，
∴△ADF≌△HCF（ASA），∴AF＝HF＝5，AD＝CH，∴AB＝BC＝CH，GH＝GF+HF＝2+5＝7，∴EH=EG2+GH2=42+72=65，∴AB＝BC=23EH=2653.故答案为2653．
黑龙江省
18．【2024·牡丹江】如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN=2DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝210；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE=2BC．其中正确的结论是 ①②③⑤ ．
【答案】①②③⑤【解析】∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°，
如图，作PG⊥AD于G，则四边形ABPG是矩形，
∴PG＝AB＝AD.
∵∠GPN+∠GNP＝90°＝∠GNP+∠DAM，
∴∠GPN＝∠DAM.
又∵PG＝AD，∠PGN＝90°＝∠ADM，
∴△PGN≌△ADM（ASA），
∴AM＝PN，①正确.故符合要求；
如图，作HF⊥DF交AD于H，连接CF，
∴∠DHF＝45°＝∠ADB，
∴DF＝HF.
∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF.
∵∠BPF+∠BAF＝360°−∠ABP−∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，
∴∠BAF＝∠FPC，
∴∠BCF＝∠FPC，∴PF＝CF＝AF，
∴PN−PF＝AM−AF，即FN＝FM.
∵∠HFN+∠NFD＝90°＝∠DFM+∠NFD，
∴∠HFN＝∠DFM.
∵HF＝DF，∠HFN＝∠DFM，FN＝FM，
∴△HFN≌△DFM（SAS），∴HN＝DM.
由勾股定理得，DH=DF2+HF2=2DF.
∵DH＝HN+DN＝DM+DN，
∴DM+DN=2DF，②正确.故符合要求；
∵P是BC中点，AB＝3，∴BP=CP=32.
如图，连接AP，
由勾股定理得，AP=AB2+BP2=352，AP=PF2+AF2=2PF=352，
解得PF=3104，
设CE＝x，则PE=32+x，BE＝3+x，
由勾股定理得，AE=AB2+BE2=32+(3+x)2，
∵sin∠E=PFPE=ABAE，
∴310432+x=332+(3+x)2，整理得x2−2x−24＝0，
解得x＝6或x＝−4（舍去），∴AE=310，BE＝9.
∵cs∠E=CEEM=BEAE，
∴6EM=9310，解得EM=210，③正确.故符合要求；
由题意知，∠BPF＞90°，
∴△BPF、△NFA不相似，BF•NF≠AF•BP，④错误，故不符合要求；
∵PM∥BD，∴∠CPM＝∠CBD＝45°，∠CMP＝∠CDB＝45°.
设PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，则DM＝b−a，BE＝b+c，PE＝a+c，PM=PCcs45°=2a，
∵AF＝PF，∠AFN＝90°＝∠PFM，FN＝FM，
∴△AFN≌△PFM（SAS），∴AN=PM=2a.
∵∠ADM＝90°＝∠ECM，∠AMD＝∠EDC，
∴△AMD∽△EDC，
∴ADCE=DMCM，即bc=b−aa，解得a=bcb+c，
同理，△ANF∽△EPF，∴ANPE=FNPF，即2aa+c=FNPF，
同理，△DMF∽△BAF，
∴DMAB=FMAF=FNPF，即b−ab=FNPF，∴b−ab=2aa+c.
将a=bcb+c代入b−ab=2aa+c得，b−bcb+cb=2bcb+cbcb+c+c，整理得2b+2c=2b+c，
解得cb=2，
∴CE=2BC，⑤正确，故符合要求.
故答案为①②③⑤．
广西
17．【2024·广西17题】如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.∵两张纸条宽度均为3cm，∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝3cm，∴∠ADF＝∠ABE＝60°，∴△ADF≌△ABE（AAS），
∴AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形.在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm，∴AD=AFsin60°=23，四边形ABCD的周长为：23×4=83cm．故答案为83．
内蒙古
16．【2024·包头】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为 ．
【答案】27 【解析】如图，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∴∠CAB＝60°.∵EF⊥AF，∴∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，∴AE＝2AF.∵CE＝AF，∴AE＝3EC，∴AE＝4，EC＝2，∴OA＝OC＝3，OD=3AO＝33，∴OE＝AE−OA＝4−3＝1，∴DE=OD2+OE2=(33)2+12=27．故答案为27．
新疆
13．【2024·新疆生产建设兵团】如图，在正方形ABCD中，若面积S矩形AEOH＝12，周长C矩形OFCG＝16，则S正方形EBFO+S正方形HOGD＝ ．
【答案】40【解析】设正方形EBFO的边长为x，正方形HOGD的边长为y，则S正方形EBFO＝x2，S正方形HOGD＝y2，由题意得：xy=12①2(x+y)=16②，由②得x+y＝8③，③2−2×②得（x+y）2−2xy＝82−2×12＝40，整理得x2+y2＝40，即S正方形EBFO+S正方形HOGD＝40，故答案为40．
三、解答题
上海
23．【2024·上海】如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．
（1）求证：AD2＝DE•DC；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足EF=CF=12BD，求证：CE＝AD．
解：（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD，
∴ADBA=DEAD，∴AD2＝DE•BA，
∵AB＝DC，∴AD2＝DE•DC.
（2）连接AC，交BD于点O，
∵矩形ABCD，∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AED.
∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADO＝∠FEC.
∵矩形ABCD，∴OA=OD=12BD，
∴EF=CF=12BD，∴OA＝OD＝EF＝CF，
∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE.
∵∠ADO＝∠FEC，∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE.
在△ODA和△FEC中，∠ODA=∠FEC∠OAD=∠FCEOD=FE，
∴△ODA≌△FEC（AAS），∴CE＝AD．
安徽省
22．【2024·安徽22题】如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求ACBD的值．
解：（1）证明：∵▱ABCD，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴AM∥CN.
∵AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，∴∠OAE＝∠OCF.
在△AOE与△COF中，∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF.
（2）（i）证明：∵HE∥AB，∴OHOA=OEOB，
∵OB＝OD，OE＝OF，∴OHOA=OFOD.
∵∠HOF＝∠AOD，
∴△HOF∽△AOD，
∴∠OHF＝∠OAD，∴HF∥AD.
（ii）∵▱ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
∵OE＝OF，∠EHF＝60°，
∴∠EHO＝∠FHO＝30°，∴OH=3OE.
∵AM∥BC，MD＝2AM，
∴AHHC=AMBC=13，即HC＝3AH，
∴OA+OH＝3（OA−OH），∴OA＝2OH.
∵BN∥AD，MD＝2AM，AM＝CN，
∴BEED=BNAD=23，即3BE＝2ED，
∴3（OB−OE）＝2（OB+OE），
∴OB＝5OE，
∴ACBD=OAOB=2OH5OE=235，
∴ACBD的值是235．
陕西省
18．【2024·陕西】如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，AB=CD∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AF＝DE．
吉林省
18．【2024·长春】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
解：由题可知，
∵O是边AB的中点，∴OA＝OB.
在△AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOCOA=OB∠A=∠B，
∴△AOD≌△BOC（ASA），∴DA＝CB.
∵∠A＝∠B＝90°，
∴DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
湖南省
23．【2024·长沙23题】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）点E在BC边上，满足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的长及tan∠CEO的值．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．
（2）如图，作OH⊥BC于点H，则∠OHE＝∠OHC＝90°.
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，
∴OC＝OA=12AC＝5.
∵∠CEO＝∠COE，∴CE＝OC＝5.
∵OC＝OA=12AC，OB＝OD=12BD，且AC＝BD，
∴OC＝OB，∴HC＝HB=12BC＝4，
∴EH＝CE−HC＝5−4＝1.
∵OHHC=ABBC=tan∠ACB，
∴OH=ABBC•HC=68×4＝3，
∴tan∠CEO=OHEH=31=3，
∴CE的长为5，tan∠CEO的值为3．
江苏省
1．【2024·扬州】如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：如图作CH⊥AB，垂足为H，CG⊥AD，垂足为G，
∵两个纸条为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S▱ABCD＝AB•CH＝AD•CG，且CH＝CG，
∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
（2）如图，作AM⊥CD，垂足为M，
∵S菱形ABCD＝CD•AM＝8cm2，且AM＝2cm，
∴CD＝4cm，∴AD＝CD＝4cm，
在Rt△ADM中，sin∠1=AMAD=12，
∴∠1＝30°．
四川省
20．【2024·雅安】如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△ODE≌△OBF；
（2）当EF⊥BD时，DE＝15cm，分别连接BE，DF．求此时四边形BEDF的周长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，∴∠OED＝∠OFB.
∵点O是▱ABCD对角线的交点，
∴OD＝OB.
在△ODE和△OBF中，∠OED=∠OFB∠DOE=∠BOFOD=OB，
∴△ODE≌△OBF（AAS）．
（2）连接BE，DF，
由（1）得△ODE≌△OBF，∴DE＝BF，
∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形.
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形，
∴DF＝BF＝BE＝DE＝15 cm，
∴DF+BF+BE+DE＝4DE＝4×15＝60（cm），
∴四边形BEDF的周长为60 cm．
18．【2024·遂宁】康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD．
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该则定定理是： ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
解：（1）∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴在△BAD和△ABC中，AB=BAAD=BCAC=BD，
∴△BAD≌△ABC（SSS），∴∠BAD＝∠ABC，
∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
19．【2024·广安】如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，
∵BE＝BF，∴AE＝CF，
在△DAE和△DCF 中，DA=DC∠A=∠CAE=CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DCF．
1．【2024·德阳】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G．
（1）证明：△BEF∽△BCO；
（2）证明：△BEG≌△AEG．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，
∵点F为BC的中点，
∴AF⊥BC，∴∠BOC＝∠BFE＝90°.
又∵∠EBF＝∠CBO，∴△BEF∽△BCO．
（2）∵BO⊥AC，AF⊥BC，
∴CG⊥AB，∴∠BGE＝∠AGE．
又∵AC＝BC，∴BG＝AG．
在△BEG和△AEG中，BG=AG∠BGE=∠AGEGE=GE，
∴△BEG≌△AEG（SAS）．
福建省
18．【2024·福建18题】如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
在△ABE和△ADF 中，∠B=∠D，∠AEB=∠AFD，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF．
贵州省
20．【2024·贵州20题】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：
①AB∥CD，②AD＝BC．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积．
解：（1）选择①，证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
选择②，证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°.
∵AB＝3，AC＝5，
∴BC=AC2−AB2=4，
∴四边形ABCD的面积＝AB•BC＝3×4＝12．
云南省
1．【2024·云南】如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
解：（1）证明：连接AC，BD交于点O，交FG于点N，交HG于点M，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵四边形EFGH是矩形，∴∠HGF＝90°.
∵H、G分别是AD、DC的中点，
∴HG∥AC，HG=12AC，
∴∠HGF＝∠GNC，∴∠GNC＝90°.
∵G，F分别是DC、BC的中点，
∴GF∥BD，GF=12BD，
∴∠GNC＝∠MOC＝90°，∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）∵矩形EFGH的周长为22，
∴HG+FG＝11，∴AC+BD＝22.
∵12×AC×BD=10，∴AC×BD＝20.
∵（AC+BD）2＝AC2+2×AC×BD+BD2，
∴AC2+BD2＝444，
∴14AC2+14BD2=111，
∴AO2+BO2＝111，
∴AB2＝AO2+BO2＝111，
∴AB=111．
甘肃省
21. 【2024·兰州】如图，在中，，D是的中点，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
解：（1）证明：∵， D是BC的中点，
∴，∴.
∵，∴.
又∵，∴，∴四边形是矩形．
（2）由（1）可知四边形是矩形．
∴，，.
∵D是的中点，，∴.
在中，，
∴，
∵，
∴即，
∴．
内蒙古
22．【2024·兴安盟、呼伦贝尔市】如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠EBO.
∵O是BF的中点，∴OB＝OF.
在△AOF和△EOB中，∠AFO=∠EBO∠AOF=∠BOEOF=OB，
∴△AOF≌△EOB（AAS），∴OA＝OC.
∵OB＝OF，
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形.
（2）∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°.
∵∠BAD＝120°，∴∠ABE＝60°.
∵AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB.
∵AD＝BC，AF＝BE，∴EC＝DF＝1.
∵DF∥EC，
∴四边形EFDC是平行四边形，∴CD＝EF.
∵AB+BC+CD+AD＝22，
∴AB+BE+1+CD+AF+1＝22，
∴4AB＝20，∴AB＝AE＝5．
新疆
19．【2024·新疆生产建设兵团】如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD＝CE时，求证：▱DEFG是矩形．
证明：（1）∵BD和CE是△ABC的中线，
∴点E和点D分别为AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC．
同理可得，FG∥BC，FG=12BC，
∴DE∥FG，DE＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）∵△ABC的中线BD，CE交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴BO＝2OD，CO＝2OE．
又∵点F，G分别是OB，OC的中点，
∴OF＝FB，OF＝GC，∴DF=23BD，EG=23CE．
∵BD＝CE，∴DF＝EG．
又∵四边形DEFG是平行四边形，
∴平行四边形DEFG是矩形．