2024年中考数学真题分类汇编：知识点24 图形的平移+旋转2024（解析版）

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A．∠ACB＝∠ACDB．AC∥DEC．AB＝EFD．BF⊥CE
【答案】D【解析】设BF与CE相交于点H，如图所示，∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，∵∠B＝30°，∴在△BHC中，∠BHC＝180°−∠BCE−∠B＝90°，∴BF⊥CE，故D选项正确；设∠ACH＝x°，∴∠ACB＝60°−x°，∵∠B＝30°，∴∠EDC＝∠BAC＝180°−30°−（60°−x°）＝90°+x°，
∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°，∵x°不一定等于30°，∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°，∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确；∵∠ACB＝60°−x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°，∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确；∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AB＝ED＝EF+FD，∴BA＞EF，故C选项不正确；故选D．
重庆
9．【2024·重庆A卷】如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则FGCE的值为（ ）
A．2B．3C．322D．332
【答案】A【解析】过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，∴∠H＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，AD＝DC，∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，∴AE＝FE，∠AEF＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠HEF，在△ADE和△EHF中，∠D=∠H∠DAE=∠HEFAE=EF，∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴AD＝EH，DE＝HF，∴EH＝DC，∴DE＝CH＝HF，∴∠HCF＝45°，∴∠G＝45°，设CH＝HF＝DE＝x，正方形边长为y，则CE＝y−x，CF=2x，CG=2y，∴FG＝CG−CF=2y−2x，∴FGCE=2，故选A．
吉林省
5．【2024·吉林】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（−4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（ ）
A．（−4，−2）B．（−4，2）C．（2，4）D．（4，2）
【答案】C【解析】∵点A的坐标为（−4，0），点C的坐标为（0，2），∴OA＝4，OC＝2.∵四边形ABCO是矩形，
∴BC＝OA＝4.∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，∴OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4，∴点B′的坐标为（2，4）．故选C．
湖北省
9．【2024·湖北】如图，点A的坐标是（−4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（ ）
A．（4，6）B．（6，4）C．（−6，−4）D．（−4，−6）
【答案】B【解析】如图所示，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N.由旋转可知，OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠BON＝∠A+∠AOM＝90°，∴∠A＝∠BON．在△AOM和△OBN中，∠A=∠BON∠AMO=∠ONBOA=OB，∴△AOM≌△OBN（AAS），∴BN＝MO，ON＝AM．∵点A的坐标为（−4，6），∴BN＝MO＝4，ON＝AM＝6，
∴点B的坐标为（6，4）．故选B．
四川省
7．【2024·广元】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（ ）
A．5B．10C．2D．22
【答案】A【解析】如图，连接BD，∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，又CD＝3，BC＝1，∴BD=CD2+BC2=32+12=10，∴AD=22BD=22×10=5，故选A．
6．【2024·自贡】如图，在平面直角坐标系中，D（4，−2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（−4，−2）D．（−2，4）
【答案】A【解析】∵D（4，−2），∴OC＝4，CD＝2，∵旋转，∴OA＝OC＝4，AB＝CD＝2，∴B（2，4），故选A．
内蒙古
12．【2024·赤峰12题】如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是15π；②B′A∥BC；③BD＝CD；④ABAC=B′BBD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④
【答案】A【解析】∵AB＝BC，∠C＝72°，∴∠BAC＝∠C＝72°，∠ABC＝180°−2∠C＝36°，由旋转的性质得∠AB′C＝∠ABC＝36°，∠B'AC'＝∠BAC＝72°，∠AC′B′＝∠C＝72°，∠AC′B′＝∠ADC＝72°，AC′＝AC，∴∠AC′C＝∠C＝72°，∴∠CAC'＝36°，∴∠CAC′＝∠BAC′＝36°，∴∠B′AB＝72°−36°＝36°，由旋转的性质得AB′＝AB，∴∠ABB′=∠AB′B=12(180°−36°)=72°，①点B在旋转过程中经过的路径长是36π×1180=15π，①说法正确；②∵∠B′AB＝∠ABC＝36°，∴B′A∥BC，②说法正确；③∵∠DC′B＝180°−2×72°＝36°，∴∠DC′B＝∠ABC＝36°，∴BD＝C′D，③说法正确；④∵∠BB′D＝∠ABC＝36°，∠B′BD＝∠BAC＝72°，∴△B′BD∽△BAC，∴ABAC=BB′BD，④说法正确；综上，①②③④都是正确的，
故选A．
二、填空题
江苏省
1．【2024·盐城16题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，CF＝ ．
【答案】2+6或6−2 【解析】作BG⊥CF于点G，如图所示，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，点D是AC的中点，∴CD=2，∠ABC＝45°，∴BD=BC2+CD2=(22)2+(2)2=10.由旋转的性质可知：△DCB≌△FEB，∴BD＝BF=10.∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠BCG＝45°，∴CG＝BC•sin∠BCG＝22×22=2，
∴BG=BC2−CG2=2，∴GF=BF2−BG2=(10)2−22=6，∴CF＝CG+GF＝2+6.当点D运动点F′时，此时CF′∥AB，同理可得，GF′=6，CG＝2，∴CF′=6−2.故答案为2+6或6−2．
四川省
14．【2024·广安】如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为 ．
【答案】（−3，1）【解析】当x＝0时，y＝2×0+2＝2，∴点B的坐标为（0，2），∴OB＝2；当y＝0时，2x+2＝0，
解得x＝−1，∴点A的坐标为（−1，0），∴OA＝1．根据旋转的性质，可得CD＝OB＝2，AC＝AO＝1，AC⊥x轴，CD∥x轴，∴点D的坐标为（−1−2，1），即（−3，1）．故答案为（−3，1）．
甘肃省
16．【2024·临夏州】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′满足AA′=13AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
【答案】439【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．又∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC．
在Rt△ABD中，sinB=ADAB，∴AD=12×2=1，∴BD=22−12=3．∴AA′=13AD=13，∴A′D=1−13=23．
令A′B′与BD的交点为M，A′C′与CD的交点为N，由平移可知，∠A′MD＝∠B＝30°，在Rt△A′DM中，tan∠A′MD=A′DMD，
∴MD=2333=233．∵A′M＝A′N，∴MN＝2MD=433，∴S重叠部分=12×433×23=439．故答案为439．
辽宁省
12．【2024·辽宁】在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，−1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（2，1），则点B的对应点B′的坐标为 ．
【答案】（1，2）
内蒙古
14．【2024·兴安盟、呼伦贝尔市】如图，点A（0，−2），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是 ．
【答案】（4，−4）【解析】过点D作DE⊥y轴于点E，如图.∵点A（0，−2）、B（1，0），∴OA＝2，OB＝1．∵线段AB平移得到线段DC，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，BC＝AD.∵BC＝2AB，∴AD＝2AB.∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠EAD．∵∠AOB＝∠AED＝90°，∴△ABO∽△DAE，∴OADE=OBAE=ABAD=12，∴DE＝2OA＝4，AE＝2OB＝2，∴OE＝OA+AE＝4，∴D（4，−4）．故答案为（4，−4）．
三、解答题
北京
27．【2024·北京27题】已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°−2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E．
（1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；
（2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明．
解：（1）证明：连接CD，
由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°−2α，∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，
∴∠BDC=180°−(180°−2α)2=α，
∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD，
∵DN⊥AN，∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°，
∴∠1＝∠2，∴CD＝CE，
∴CA＝CE，∴点C是AE的中点.
（2）EF＝2AC，
在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG，
∵BH＝BA，∴∠BAH＝∠BHA＝α，
∴∠ABH＝180°−2α＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠HBD，
∵BC＝BD，∴△ABC≌△HBD（SAS），
∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α，
∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α，
∵DF∥AN，∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°，
∵G是AE的中点，∴GF＝GD，EF＝2GD，
∴∠GFD＝∠GDF＝α，∴∠HGD＝2α，
∴∠HGD＝∠FHD，∴DG＝DH，
∵AC＝DH，∴DG＝AC，∴EF＝2AC．
山东省
1．【2024·烟台】在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．
解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM.
∵AC＝BC，∴BM＝DM−BD＝AC−BD＝BC−BD＝CD，
∴BM＝EM.
∵EM⊥CB，∴BE=2EM=2CD，
故答案为：BE=2CD.
（2）补全图形如图，BE=2CD，理由如下：
过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴BM＝DM+BD＝AC+BD＝BC+BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，∴BE=2EM=2CD.
（3）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，
∴CM＝CD+DM＝3，∴CE=CM2+EM2=13，
∴sin∠ECD=EMCE=213=21313．
2．【2024·枣庄】一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．
（1）求证：BM＝EN；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．
①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
解：（1）证明：设AC＝DE＝a，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝BC.
∵BM⊥AC，∴BM=AM=CM=12AC=12a.
∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，∴EN=12DE=12a，∴BM＝EN.
（2）①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°−30°＝60°.
∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°.
∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四边形PMCN为矩形.
∵BM＝EN，即BM＝CN，
∵BM＝CM，∴CM＝CN，
∴四边形PMCN是正方形.
②当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为DP+MPCD=32；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为MP−DPCD=32．理由如下：
如图1，当30°＜α＜60°时，连接CP，
由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，∴Rt△PMC≌△RtPNC（HL），
∴PM＝PN，∴MP+DP＝PN+DP＝DN.
∵∠D＝30°，
∴csD=DNCD=DP+MPCD=cs30°=32，∴DP+MPCD=32.

如图2，当60°＜α＜120°时，连接CP，
由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL），
∴PM＝PN，∴DN＝PN−DP＝MP−DP.
∵∠CDF＝30°，
∴cs∠CDF=DNCD=MP−DPCD=cs30°=32，
∴MP−DPCD=32.
综上，当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为DP+MPCD=32；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为MP−DPCD=32．
辽宁省
22．【2024·辽宁】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．
解：（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，∴∠D+∠DCE＝90°.
∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠DEC.
∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，
∴∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC≌△CED（AAS）.
（2）PC＝PD，理由如下：
∵CF是∠ACD的平分线，∴∠ACF＝∠DCF.
由（1）知，AC＝CD，△ABC≌△CED，
∴∠A＝∠DCE.
∵CF＝CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠PDC，
∴∠PDC＝∠DCE，∴PC＝PD.
（3）①∵△BFP沿AF折叠，点P落在点E，
∴PF＝EF，∠P＝∠PEF，
∵DE⊥BC，∴∠PED＝90°，
∴∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，
∴∠PEF+∠PDE＝90°，
∴∠PDE＝∠DEF，∴EF＝DF，∴PF＝DF，
∴点F是PD的中点.
②设CE＝a，BC＝DE＝b，∴BE＝BC−CE＝b−a，
由①知，点F是PD的中点，∴PF=12PD.
∵∠ABC＝∠PED＝90°，
∴BF∥DE，∴△PBF∽△PED，
∴PBPE=BFDE=PFPD=12，
∴PE＝2BE＝2（b−a），BF=12DE=12b，
∴S△CEF=12CE⋅BF=14ab.
∵∠PED＝90°，DE＝b，PE＝2（b−a），PD＝PC＝PE+CE＝2（b−a）+a＝2b−a，
∴b2+[2（b−a）]2＝（2b−a）2，
化简得，3a2−4ab+b2＝0，∴b＝a或b＝3a.
∵0°＜α＜45°，
∴a＝b舍去，∴b＝3a，∴S△CEF=14abab=34a2，
∵∠DEC＝90°，
∴a2+b2＝202，
∴a2+（3a）2＝400，∴a2＝40，
∴S△CEF=34a2=34×40=30，
∴△CEF的面积是30．
广西
26．【2024·广西26题】如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB．
（1）求证：△ABC∽△CBO；
（2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α（0°＜α＜360°）．连接A′M，C′M．
①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由；
②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数．
解：（1）证明：∵OM垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠A＝∠ACO，
∵CO平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠BCO＝∠A，
∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBO．
（2）①∵∠ACO＝∠BCO＝∠A，∠B＝90°，
∴：∠ACO＝∠BCO＝∠A＝30°，
在Rt△ABC中，AB＝6，
∴AC=ABcs30°=43，∴AM＝23，
∴OM＝AM•tan30°＝2，
如图3，作MH⊥A'C'于点H，ON⊥A'C'于点N，连接MN，
在△AOC旋转的过程中，对应边AC＝A'C'＝43，对应高OM＝ON＝2，
在Rt△MHN中，MH＜MN，
在△OMN中，MN＜OM+ON，
∴MH＜MN＜OM+ON，
如图4，当N、H重合时MH取最大值，此时最大值为OM+ON＝4，
∴S△A'MC'=12A'C'•MH＝83，即△A'MC'面积最大值是83，
此时M、O、N三点共线，α＝∠MON＝180°．
②在旋转得过程中，等腰三角形AOC的形状、大小不变，∠AOC＝∠A'OC'＝120°，
∵MC′≤MO+OC'＝MO+OC＝6＜43=A'C'，同理MA'≤6＜A'C'，
∴△A'MC'中只有可能∠A'MC'＝90°，
∵OM垂直平分AC，
∴MA＝MC，∠AMO＝90°.
（Ⅰ）如图5，当点C'与A重合时，A'恰好在MO的延长线上，满足∠A'MC'＝90°，此时α＝120°；
（Ⅱ）如图6，当A'与C重合时，点C'恰好在MO的延长线上，满足∠A'MC'＝90°，此时α＝240°．
综上，当△A'MC'是直角三角形时，α为120°或240°．