湖南省岳阳县第一中学2024-2025学年高三下学期入学考试数学试题（Word版附解析）

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考试时量：120 分钟
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求两个集合，再求交集.
【详解】 ， ，
．
故选：C
2. 下列双曲线，焦点在 轴上且渐近线方程为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据各项双曲线方程确定焦点位置并写出渐近线方程，即可得答案.
【详解】由 、 的焦点在 轴上，A、B 错；
由 的焦点在 轴上且渐近线方程为 ，C 对；
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由 的焦点在 轴上且渐近线方程为 ，D 错.
故选：C
3. 在以下 4 幅散点图中，对于图中的 y 和 x 之间的关系判断不正确的是（ ）
A. 图（2）（3）（4）中的 y 和 x 之间存在相关关系
B. 图（2）（4）中的 y 和 x 之间呈现正相关关系
C. 图（2）（3）中的 y 和 x 之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强
D. 图（4）中的 y 和 x 之间呈现非线性相关关系
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图中点集的分布变化趋势判断正负相关性、是否为线性关系，但从点的分布密度无法判
断（2）（3）的相关性强弱，即可得答案.
【详解】由题图，（1）中点没有明显的变化趋势，
（2）中点有从左下向右上的线性变化趋势，y 和 x 之间呈现正相关且为线性关系，
（3）中点有从左上向右下的线性变化趋势，y 和 x 之间呈现负相关且为线性关系，
（4）中点有从左下向右上的非线性变化趋势，y 和 x 之间呈现正相关且为非线性关系，
但（2）（3）相关性强弱不能从图中点的分布密度直接分析得出，故（2）的相关性不一定比（3）强，
综上，A、B、D 对，C 错.
故选：C
4. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为
，其中 为起始光功率（单位：W）， 为衰减系数， 为接收信号处与发射器间的距离（单
位：km）.已知距离发射器 处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由 km 变到 km 时，光
功率由 变到 ，则（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案.
【详解】依题意， ，则 ，
由 、 ，得 ，
所以 .
故选：A
5. 已知实数 ，函数 的图象经过点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件可知 ，将 代入 ，化为 二次函数利用配方法求最小值即可.
【详解】因为函数 的图象经过点 ，所以 ，则 ,
所以 ，
所以当 时， 的最小值为 .
故选：D
6. 的展开式中所有二次项（即含 ， ， 的项）的系数和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式的通项分三种情况逐个求解，然后将系数加起来即可.
【详解】由题知， 的展开式的通项为 ，
又 的展开式的通项为 ， ，
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所以 的展开式的通项为 ，
令 ，则 ，
所以含 的项的系数为 ，
令 ，则 ，
所以含 的项的系数为 ，
令 ，则 ，
所以含 的项的系数为 ，
综上， 的展开式中所有二次项的系数和为 .
故选：A.
7. 已知 ，则 的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 ，结合两角和的正弦公式可得结果.
【详解】∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
故选：C.
8. 在直四棱柱 中，底面 为菱形且 ， ， ，
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．平面 过点 、 且与 平行，点 在平面 上且满足 ，则点 的轨
迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线一部分 D. 抛物线一部分
【答案】B
【解析】
【分析】根据 得点 在 为旋转轴， 为半径的圆锥的侧面上，再由平面
过点 、 且与 平行，点 在平面 上得点 的轨迹为平面 与圆锥的侧面的交线上可得答案.
【详解】在直四棱柱 中，因为底面 为菱形， ，
且 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
因为 ，又因为 ，
点 在 为旋转轴， 为半径的圆锥的侧面上，
因为平面 过点 、 且与 平行，点 在平面 上，
所以点 的轨迹为平面 与圆锥的侧面的交线上，
由于 ，所以平面 不与圆锥垂直，
所以点 的轨迹为椭圆.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解题关键点是根据 得点 在 为旋转轴， 为半径
的圆锥的侧面上.
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二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知圆台的上，下底面半径分别为 1，3，母线长为 4，则下列正确的有（ ）
A. 圆台的侧面积为 B. 圆台的体积为
C. 母线与底面所成角为 D. 存在相互垂直的母线
【答案】AC
【解析】
【分析】利用圆台的侧面积公式即可得到选项 A 正确；利用圆台的体积公式得到选项 B 错误；用轴截面的
即可得到选项 C 正确和选项 D 错误.
【详解】设上下半径和母线长分别为： ，
对于选项 A：利用圆台的侧面积公式 ，故选项 A 正确；
对于选项 B：圆台的高 ，
再由圆台的体积公式 ，故 B 错误.
对于选项 C：设母线与底面所成角为 ，则 ，所以 ，
故 C 正确.
对于选项 D：由选项 C 可知，母线与底面所成角为 ，因为圆台是绕着轴截面等腰梯形的对称轴旋转
得到的，所以任意两条母线与底面所成角都相等，若两条母线垂直，则母线与底面所成角为 ，与前面所
求的 矛盾，所以不存在互相垂直的母线，
故 D 错误
故选：AC
10. 已知某人掷骰子 5 次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为： ，若 成等差数列，
则由下列说法可以判断出一定没有出现点数 6 的是（ ）
A. 该组数据的中位数为 4，众数是 4
B. 该组数据的平均数为 3， 分位数是 5
C. 该组数据的平均数为 3，方差小于 3
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D. 该组数据的极差为 5，方差大于 3
【答案】AC
【解析】
【分析】根据选项条件和 成等差数列，判断 的数值，进而可得.
【详解】选项 A：因数据的众数是 4，故 至少有两个 4，又 成等差数列，
故 ，满足中位数为 4，数据中没有点数 6，故 A 正确；
选项 B： 因 成等差数列，不妨设 ，
因数据的平均数为 3，故 ，得 ，故 ，
因 ，故 ，故将 5 个数从小到大排列为 ，
，故 分位数是第 4 个数和第 5 个数的平均数，故 ，
故 ，故数据中有点数 6，故 B 正确；
选项 C：当数据的平均数为 3，由 B 可知 ， ，
数据的方差为 ，
由题意可知 可能取值为 ，
当 时，方差为 ；当 时，方差为 ；当 时，方差为 ；
故当方差小于 3 时，数据中没有点数 6，故 C 正确；
选项 D：因数据的极差为 5，数据最小值为 ，故数据中有点数 6，D 错误，
故选：AC
11. 已知 ，函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 为奇数，则 是 的极小值点
B. 若 为奇数，则 是 的极大值点
C. 若 为偶数，则 是 的极小值点
D. 若 为偶数，则 是 的极大值点
【答案】BC
【解析】
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【分析】先求导函数再分奇数偶数判断导函数正负得出函数的单调性进而得出极值点即可.
【详解】由题可得
.
当 为奇数时， ，令 ，
且当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 是 的极大值点，B 正确；
当 为偶数时，
，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 是 的极小值点，C 正确.
故选：BC.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】为使函数在 R 上单调递增，则函数分别在 ， 上递增，且满足在 函数值的大小
比较即可求解；
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【详解】由函数 在 上单调递增，
可得： ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：
13. 在 中， 为 上一点， ，则 的面积为
_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等面积法可得 ，结合余弦定理解三角形求得 ，再利用三角形的面积公式求解
即可.
【详解】在 中， 为 上一点， ，
则
记 的内角 的对边分别为， ，
因为 ，所以 .
由余弦定理可知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 的面积为 .
故答案为： .
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14. 已知函数 ，若 ，则 最大值为______
【答案】
【解析】
【 分 析 】 由 题 意 函 数 ， 根 据 得 ， 即 ， 令
，通过导数求 的最大值即可.
【详解】由题意， ，
注意到 ， ，
当 时，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，不满足 , ，
当 时，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，不满足 ， ，
当 时，函数 成立，符合条件，
所以 ，即 .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数判断函数的单调性并求最值，本题解题的关键是由 得
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，然后结合导数求解待求表达式最大值即可.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， 、 分别为 、 的中点，
.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，证明出四边形 为平行四边形，可得出
，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）推导出 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角
坐标系，利用空间向量法可求得二面角 的大小.
【小问 1 详解】
如图，取 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
因为 且 ， 为 的中点，则 且 ，
所以， 且 ，则四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 .
【小问 2 详解】
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因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ， 、 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
所以， ，
由图可知，二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的大小为 .
16. 已知函数 ，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知
条件，使得函数 存在且唯一，并完成下列两问.
（1）求函数 的解析式；
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（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 最大值.
条件①： ；
条件②：函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为 ；
条件③：函数 的一个零点为 .
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分析求解可知，要使得函数 存在且唯一，需选择条件①②,或选择条件②③,
选择其中一组解答即可，由正弦函数的图象和性质求出 ，可得函数 的解析式；
（2）求出函数 的单调递减区间，由 是其子集，即可求得实数 的最大值.
【小问 1 详解】
若选择条件①③,
由 ,得 ，即 ， ，则 ，
又函数 的一个零点为 ，则 ，
则 不能确定，所以函数 不唯一，所以不能选择条件①③.
选择条件①②,
由 ,得 ，即 ， ，则 ，
因为函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为 ，所以函数的最小正周期 ，
因为 ，则 ，
所以 .
选择条件②③,
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因为函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为 ，所以函数的最小正周期 ，
因为 ，则 ，
因为函数 的一个零点为 ，即 ，
所以 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为函数 的单调递减区间为 ，
所以 ，
则 ，
所以 是 的一个单调递减区间，
若函数 在区间 上单调递减，
则 ，
所以实数 的最大值为 .
17. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等
于 76 为合格品，小于 76 为次品，现抽取这种元件 100 件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 2 18 36 40 4
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（1）现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 具有数学期望 ，
方差 ，则对任意正数 ，均有 成立.
（i）若 ，证明： ；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声
称本厂元件合格率为 95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格
率是否可信？（注：当随机事件 发生的概率小于 0.05 时，可称事件 为小概率事件）
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）不可信.
【解析】
【分析】（1）记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到另一件为不合格品，然后求出 ， ，
由条件概率求得 ；
（2）（i）由二项分布期望和方差公式求得 ， ，由二项分布随机变量的概率的性质得到
，然后由切比雪夫不等式得到结果；
（ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取 100 件产品中合格品的件数为 ，则
，再由期望和方差公式求得 ， ，由由切比雪夫不等式求出 ，
然后由小概率原理做出判断.
【小问 1 详解】
记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到另一件为不合格品，
，
，
.
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小问 2 详解】
（i）由题：若 ，则 ，
又 ，
所以 .
由切比雪夫不等式可知，
所以
（ii）设随机抽取 100 件产品中合格品的件数为 ，假设厂家关于产品合格率为 95%的说法成立，则
，所以 ，
由切比雪夫不等式知，
即在假设下 100 个元件中合格品为 80 个的概率不超过 0.021，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说
在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
18. 已知抛物线 的焦点 在直线 上， 是 上的三个点.
（1）求 的方程；
（2）已知 ，且直线 经过点 ， ，求直线 的方程；
（3）已知 在 轴的两侧，过点 分别作抛物线 的切线 ，且 与 交于点 ，直线 与 和
分别交于点 ，求 面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据焦点在直线 上求解即可；
（2）求出点 的坐标，设 ，直线 的方程为 ，将直线方程与抛物线方程
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联立，利用韦达定理结合 求解即可；
（3）设出直线 的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和判别式得到 ，利用导数
分 别 求 出 点 和 点 处 的 切 线 方 程 ， 求 出 点 ， ， 的 坐 标 ， 得 到 面 积 的 表 达 式
，令 ，则 ，利用导数判断
函数 的单调性，进而求出最小值.
【小问 1 详解】
由题可知 ，所以 ，解得 ，
所以 的方程为 ；
【小问 2 详解】
设 ，由题可知 ，
依题意知直线 的斜率必存在，设直线 的方程为 .
由 整理得 ，
则 ， ，
， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
解得 ，所以直线 的方程为 ；
【小问 3 详解】
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设 ，
因为 在 轴的两侧，所以直线 的斜率一定存在，
不妨设 ，直线 的方程为 ，
由 整理得 ，
则 ， ，
由 得 .
设切线 的斜率分别为 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
所以 的方程为 ，即 ，
同理可得 的方程为 .
由 解得 即 .
令 ，可得 ， ，
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.
点 到直线 的距离为 ，
故 的面积为 ，（当
时，等号成立）
令 ，记 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增；
令 ，则 ，在 上单调递减，
所以 ，
故 面积的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点之一在于利用导数求出抛物线在点 ， 处的切线，进而得
到面积的表达式，关键点之二在于利用 得到 ，再
利用换元法转化为求函数的最小值，利用导数求解即可.
19. 记数列 的前 项的最小值为 ，称数列 为 的“ 数列”.
（1）若 ，求由数列 的“ 数列” 的所有项组成的集合；
（2）若数列 都只有 4 项， 是 的“ 数列”，满足 ，且存在
，使得 ，求符合条件的数列 的个数；
（3）若 的“ 数列”为 ，记 ，从 ，
中任取 3 个，记其中能被 2 整除且不能被 4 整除的个数为 ，求 .
【答案】（1） ；
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（2）20 个. （3）
【解析】
【分析】（1）判断出数列 的单调性，结合新定义可得答案；
（2）分 、 且 、 且 讨论可得答案；
（3）求出 、 ，及 、 、 ， ，可得 中能被 2 整除，但不能被 4 整除的
有 个，再求 ，可得 .
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
所以 ，当 时， ，
所以数列 的“ 数列” 所有项组成的集合为 ；
【小问 2 详解】
①若 ，则 有 1 个，
②若 且 ，则 有 种可能， 有 3 个，
③若 且 ，则 两者相同有 种，
两者不同，则 共有 种，所以共有 种可能， 有 6 个.
④若 均不为 1，则 三者全相同，
共有 种， 三者有 2 个相同，因为顺序确定，
共有 种， 三者全不相同，因为顺序确定，
有 种，共有 种可能， 有 10 个，
综上，符合条件的 共有 ，综上得符合条件的 有 20 个；
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【小问 3 详解】
由题意得 ，
所以 ，
所以， ，
所以 ，能被 4 整除，
，为奇数，不能被 2 整除，
，
能被 2 整除，不能被 4 整除，
，不能被 2 整除，
所以 中能被 2 整除，但不能被 4 整除的有 个，
，
.
【点睛】方法点睛：数列新定义问题，应该根据定义得到新数列的形成过程，将该过程与数列常见性质（如
单调性等）结合在一起，另外数列的最值或诸项之间的大小关系往往和数列的单调性相关.
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