湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合中元素范围，再求交集即可.
【详解】，
，
则.
故选：C.
2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的定义可求得结果.
【详解】依题意，，
故选：D.
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指对数函数性质及解析式判断单调性，应用零点存在性定理判断零点所在区间.
【详解】由解析式知，在上是增函数，
且，，
所以的零点所在区间为．
故选：C
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用单调性、最值结合图象可得答案.
【详解】当时，，为减函数，排除AD；
当时，，
当且仅当时，取得最小值2，故排除C.
B选项的图象符合题意.
故选：B.
5. “函数是偶函数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由函数为偶函数求出，再根据必要不充分条件判断可得答案.
【详解】若函数为偶函数，则，则，故“函数是偶函数”是“”的必要不充分条件，
故选：C.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使函数是减函数，须满足 求不等式组的解即可.
【详解】若函数在上单调递减，则
得，
故选：C.
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦的和差角公式展开可计算出，把转化成齐次式再运用弦化切的思想即可求解.
【详解】因为，所以，得，
显然，所以，而，
故选：B
8. 已知函数若有3个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为与函数的图象有3个交点，作出函数的大致图象，观察得到结果.
【详解】令，解得，作出函数的大致图象如图所示：

若有3个零点，
则与函数的图象有3个交点，
观察可知，，解得，
故选:C.
二、多选题（共20分）
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项.
【详解】对于A选项，，所以A正确；
对于B选项，，所以B不正确；
对于C选项，，所以C不正确；
对于D选项，，所以D正确；
故选：AD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象关于直线对称B. 函数的图象关于点中心对称
C. 函数在上单调递增D. 函数的值域为
【答案】CD
【解析】
【分析】由逐项判断可得答案.
【详解】依题意，，
故函数的图象关于点中心对称，故A错误，B错误；
因为函数在上单调递增，故C正确；
因为，故函数的值域为，故D正确；
故选：CD.
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为或
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案.
【详解】由题意可得1和5是方程的两根，且，
由韦达定理可得，得，
对于A，因为，故A错误；
对于B，不等式，即，即，得，
所以不等式的解集是，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由不等式，得，即，
则，得或，即解集为或，故D正确.
故选：BD.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的一个周期为B. 函数图象不关于y轴对称
C. 函数在上单调递减D. 函数的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由，，然后画出的草图可判断CD.
【详解】因为，故A错误；
因为，故函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B正确；
当时，，则，
当时，，则，
而，故函数的最小正周期为；作出函数的大致图象如下图所示，
观察可知，C，D均正确；
故选：BCD
三、填空题（共20分）
13. 已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为___________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，阴影部分所表示的集合为且，即可得解.
【详解】由图可知，阴影部分所表示的集合为且.
故答案为：.
14. 已知，且，则的最小值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】构造基本不等式“1”的代换，求出最小值.
【详解】因为，，
所以
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为 .
故答案为：
15. 已知函数其中．若，在区间上单调递增，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先由得，再由正弦函数性质得不等式，解该不等式即可得解.
【详解】若，则，
因为在区间上单调递增，
所以，解得，
由，又，故或，
所以当时，得；当时，得.
所以满足题意的的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知函数其中且.
①当时，则函数的零点为___________；
②若函数的值域为，则实数a的取值范围为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①当时，分两段，令=0解出的值即可；
②先求出第一段的值域，函数的值域为，列出不等式组即可求出答案.
【详解】①若，则可知，当时，；
当时，令，解得，故函数的零点为.
综上所述，当时，则函数的零点为；
②当时，；故显然有解得，
故实数a的取值范围为.
故答案为：；
四、解答题（共70分）
17. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换化简的解析式，再利用单调性质求解；
（2）由图象变换得解析式，再利用整体法求值域.
【小问1详解】
因为，
令，得
所以的单调递增区间为．
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位，得到，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，
当，故，
所以的值域为．
18. 已知，其中，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦的倍角公式及条件得，，再利用余弦的差角公式即可求出结果；
（2）先根据条件求出，构角，再利用正弦的差角公式即可求解出结果.
【小问1详解】
依题意，，得到，
又，所以，，
故
【小问2详解】
因为，所以，又，
所以，则，
故
.
19. 已知函数．
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值．
【答案】（1）1，，
（2）时，有最大值；时，有最小值.
【解析】
【分析】（1）将化简为，解不等式，，即可得函数的单调递增区间；
（2）由，得，从而根据正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最值．
【小问1详解】
解：因为，
，
令，，得，，
所以的单调递增区间为，；
【小问2详解】
解：因为，所以，
所以，
所以，
当，即时，有最大值，
当，即时，有最小值．
20. 已知函数.
（1）在下列坐标系中，作出函数在上的大致图象；
（2）将函数图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域.
【答案】（1）作图见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，按照列表、描点、连线可作出函数在上的大致图象；
（2）利用三角函数图象变换可求得函数的解析式为，由可求得的取值范围，再利用余弦函数的基本性质可求得函数的解析式.
【小问1详解】
解：依题意，，
列表如下：
作出函数在上的大致图象如下所示：
【小问2详解】
解：将函数图象的横坐标伸长为原来的3倍后，得到，
再向左平移个单位，得到
，
当时，，
而，
，
则，
故函数在上的值域为.
21. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数取值范围；
（3）已知函数在区间单调递减.试判断是否恒成立，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）恒成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为，由此得解；
（2）将问题转化为和在上的值域的交集不为空集；分类讨论和两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；
（3）将问题转化为判断，再利用的单调性即可得解.
【小问1详解】
因为，
由，可得，即的定义域为；
又，所以为奇函数，
当时，易得单调递减，
所以在上单调递减，且的值域为，
不等式，可化为，
所以，即，
即，即，解得，
则原不等式的解为；
【小问2详解】
函数，
若存在，使得成立，
则和在上的值域的交集不为空集；
由（1）可知：时，单调递减，
所以的值域为；
若，则在上单调递减，
所以的值域为，
此时只需，即，所以；
若，则在上单调递增，
可得值域为，
此时与的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数的范围是；
【小问3详解】
恒成立，理由如下：
因为，
所以
，
因为在区间单调递减，
所以当时，，所以，
即，即，
所以，即.
【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
22. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若关于x的方程在上有两个实数根，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据被开方数非负列出一个关于对数函数的不等式，然后解不等式即可求出其定义域；
（2）构造一个新函数，转化成求新函数在上的值域，最后解不等式即可.
【小问1详解】
依题意，，故，
则，则，
则，故，
即函数的定义域为；
【小问2详解】
依题意，，故；
令；
令，因为，故，故，
因为，当且仅当，即时等号成立；
而，故，即，即，
即实数m的取值范围为.