(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第05讲 椭圆 (高频考点，精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·四川·眉山中学高二期中（文））椭圆与双曲线有相同的焦点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【详解】由题知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，且焦点相同，
所以，
解得（经检验，都符合题意），
故选：C.
2．（2022·江苏·无锡市第一中学高二期中）椭圆的一个焦点是，则的值是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】椭圆的一个焦点是，焦点在轴上，
，，，
．
故选：B
3．（2022·湖南师大附中高二期中）曲线与曲线（且）的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等
【答案】C
【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为的椭圆．
曲线（且）表示焦点在轴上，长轴长为，
短轴长为，焦距为，离心率为的椭圆．
故选：C.
4．（2022·天津河北·高二期中）若椭圆上一点P到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为（ ）
A．31B．15C．7D．1
【答案】C
【详解】椭圆中，，
记椭圆的左焦点为，右焦点为，则，
由椭圆的定义可知：，
所以，
故选：C.
5．（2022·山东青岛·高二期中）在平面上，动点与两个定点，的距离之和为，若，则点的轨迹为（ ）
A．线段B．两条射线C．椭圆D．不存在
【答案】D
【详解】由题意可知，,
所以点的轨迹为不存在.
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【详解】法一：由题意，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
法二：设，，
由焦半径公式可得：，
故，
因为，所以，
当，即时，取得最大值，最大值为9.
故选：C．
7．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高二阶段练习）已知、是椭圆：的焦点，P为C上一点，且，则的内切圆半径（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】椭圆中，，，
则，、∴，，∴．
∵，，∴，
∵，
∴，
解得．
故选：C．
8．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；当平面不垂直于圆锥轴时得到的截面可能是椭圆．若用周长为的矩形截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形的四边恰好相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【点睛】∵用周长为28的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且与矩形ABCD的四边相切，
∴4（a＋b）＝28，即a＋b＝7，
对于A，a＝6，b＝8，不满足a＞b＞0，故A错误，
对于B，a＝8，b＝6，a＋b＝14≠7，故B错误，
对于C，a＝4，b＝3，满足a＋b＝7，故C正确，
对于D，a＝3，b＝4，不满足a＞b＞0，故D错误．
故选：C．
二、多选题
9．（2022·江苏· 高二期中）若椭圆上的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的长轴长为
C．的长轴长为4D．的离心率为
【答案】AB
【详解】因为焦点坐标为，所以，解得或（舍），
所以椭圆的方程为，长轴长为，离心率.
故选：AB.
10．（2022·云南·昆明一中高二期中）已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆离心率为B．的最大值为3
C．D．
【答案】ABCD
【详解】A：由知，则，所以，故A正确；
B：当点为椭圆的右顶点时，最大，且最大值为，故B正确；
C：当点为椭圆的左、右顶点时，最小，且最小值为0，
当点为椭圆的上、下顶点时，最大，此时，
为等边三角形，，所以，故C正确；
D：由椭圆的定义知，，故D正确.
故选：ABCD.
11．（2022·广西·桂平市浔州高级中学高二期中）已知椭圆的离心率为，则的值可能为（ ）
A．B．C．5D．25
【答案】BC
【详解】可化为.
当时，，椭圆的离心率为，解得；
当时，，椭圆的离心率为，解得.
故选：BC.
12．（2022·广东潮州·高二期末）方程表示的曲线为C，下列正确的命题是（ ）
A．曲线C可以是圆B．若，则曲线C为椭圆
C．若曲线C为双曲线，则或D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则
【答案】ACD
【详解】A. 若曲线C是圆，则，解得，故正确；
B.若曲线C为椭圆，则 ，解得且 ，故错误；
C. 若曲线C为双曲线，则，解得或，故正确；
D.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故正确；
故选：ACD
三、填空题
13．（2022·四川省绵阳江油中学高二期中（文））若点为椭圆上的一点，，为左右焦点，若，则点到轴的距离为__________.
【答案】
【详解】由已知，，因此，，
当为短轴端点时，，是等边三角形，，
此时到轴距离等于．
故答案为：．
14．（2022·上海·复旦附中高二期中）椭圆的焦距为，则实数的值为___________.
【答案】或##或
【详解】当椭圆的焦点在轴上时，则，，此时，
，解得；
当椭圆的焦点在轴上时，则，，此时，
，解得.
综上所述，或.
故答案为：或.
15．（2022·江苏省响水中学高二期中）设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.
【答案】4
【详解】∵，；∴，因为，所以，
设，，
则①，②，
由①2﹣②得，
∴．
故答案为：4．
16．（2022·山西·高二期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为______．
【答案】
【详解】由两边平方并化简得，所以.
设，
则，
所以，，
.
故答案为：
四、解答题
17．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点，；
(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）①当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为；
②当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，不符合要求；
所以椭圆方程为.
（2）①当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为；
②当焦点在轴时，设椭圆方程为，则，解得，所以此时椭圆方程为，
所以椭圆方程为或.
18．（2022·山东青岛·高二期中）已知椭圆C：，，分别为其左､右焦点，短轴长为2，离心率，过作倾斜角为60°的直线 l ，直线 l 与椭圆交于A，B两点.
(1)求线段AB的长；
(2)求的周长和面积.
【答案】(1)；
(2)的周长为，面积为.
【详解】（1）∵椭圆的短轴长为2，
∴，又∵，
∴，
∴椭圆C的方程为：，，，
设，，直线 l 的方程为：，
由，可得，
所以，，
所以
；
（2）由于，分别为椭圆的左､右焦点，
所以的周长为，
因为到直线l：的距离为，
所以的面积.
B能力提升
19．（2022·安徽·马鞍山二中高二期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
(1)求椭圆的方程.
(2)若过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆离心率为，焦距，则解得，所以椭圆方程为.
（2）已知椭圆方程，左焦点为，若倾斜角为，则斜率为，过左焦点且倾斜角为的直线方程为：
设点的坐标分别为，则
联立方程组得，，
所以，
所以.
所以的面积为.
20．（2022·天津一中高二期中）已知椭圆：的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程..
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）由椭圆的离心率为可得：；
对双曲线，其实轴长为，故可得，
又，解得，
则椭圆的标准方程为：;
（2）根据题意，，因为为等边三角形，
由，可得.
当直线的斜率不存在时，此时不满足题意，
故直线的斜率存在，设其为，则直线方程为，
联立椭圆方程可得：，
根据题意，显然有，设坐标分别为，
则，
，
解得，
故直线的方程为：或.