(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第04讲 第九章 统计与成对数据的统计分析（基础卷）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·广东·高二学业考试）某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（ ）
A．24B．22C．20D．18
【答案】C
【详解】设高二应抽取的人数为人，则，解得人.
故选：C
2．（2022·四川省叙永第一中学校高二阶段练习（理））某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．623B．328C．253D．007
【答案】A
【详解】解：从第5行第6列开始向又读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，
下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623.
故选：A.
3．（2022·四川成都·高三期中（文））某校从400名教师中抽取20名调查其使用多媒体教学的情况，这20名教师使用多媒体教学的次数用茎叶图表示（如图），据此可估计该校400名教师中，使用多媒体教学次数在内的人数约为（ ）
A．100B．160C．200D．280
【答案】B
【详解】由茎叶图知，样本中多媒体教学次数在内的人数为8，频率为，
所以估计该校400名教师中，使用多媒体教学次数在内的人数约为.
故选：B
4．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））为评估某种新型水稻的种植效果，选择了n块面积相等的试验稻田.这n块稻田的亩产量（单位：kg）分别为a1，a2，…an，下列统计量中，能用来评估这种新型水稻亩产量稳定程度的是（ ）
A．样本a1，a2，…an的标准差B．样本a1，a2，…an的中位数
C．样本a1，a2，…an的众数D．样本a1，a2，…an的平均数
【答案】A
【详解】标准差刻画了数据的离散程度，故A正确.
故选：A.
5．（2022·全国·高三开学考试）“你指尖跃动的电光，是我此生不变的信仰，唯我超电磁炮永世长存．”御坂美琴在学园都市中仅有7名超能力者中排名第3位，其能力「超电磁炮」可将硬币以高速射出．发射速度v（单位：m/s）可与蓄力时间t（单位：s）拟合线性回归方程．已知平均蓄力时间为7.5s，平均发射速度为1030m/s，当蓄力时间为12s时，发射速度约为（ ）
A．1280m/sB．1460m/sC．1450m/sD．1480m/s
【答案】D
【详解】解：由题意，，
所以，
所以当蓄力时间为12s时，发射速度约为280+100×12=1480m/s．
故选：D．
6．（2022·内蒙古·呼和浩特市赛罕区英华学校高一期中）如果在一次试验中，测得的四组值分别是、、、，则与的回归直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，，
这组数据的样本中心点是，
把样本中心点代入四个选项中，只有成立，
故选：B．
7．（2022·全国·高二课时练习）设A，B为两个变量，每个变量都可以取两个值，变量A：，；变量B：，，在某次独立性检验中，得到如下列联表：
最后发现，没有90%的把握判断变量A与B有关，则a的值可能是（ ）
A．300B．400C．500D．600
【答案】D
【详解】当时，，所以有90%的把握判断A与B有关；
当时，，所以有90%的把握判断A与B有关；
当时，，所以有90%的把握判断A与B有关；
当时，，所以没有90%的把握判断A与B有关．
故选：D．
8．（2022·全国·高三专题练习）以模型去拟合一组数据，设将其变换后得到线性回归方程，则原模型中的值分别是（ ）
A．， B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】
两边取对数，可得，
令 可得
∵线性回归方程
∴， 解得.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·全国·高一单元测试）某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策.随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，佳户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图调查的所有市民中四居室共户，所占比例为，二居室住户占.如图是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意中，抽取的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为
B．样本中三居室住户共抽取了户
C．根据样本可估计对四居室满意的住户有户
D．样本中对三居室满意的有户
【答案】ABC
【详解】A选项，总体容量为，样本容量为，故选项A错误，
B选项，样本中三居室住户共抽取（户），故选项B错误，
C选项，对四居室满意的住户共有（户），故选项C错误，
D选项，样本中三居室住户有（户），
对三居室满意的住户有（户），故选项D正确，
故选：ABC.
10．（2022·福建师大附中高三阶段练习）炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择，为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100 名游客，得到如下列联表．零假设为：旅行方式与年龄没有关联，根据列联表中的数据，经计算得，则下列说法中，正确的有（ ）
附：．A．在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为
B．在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取6人， 再从中随机选取2人做进一步的访谈， 则2人中至少有1人不小于40岁的概率为
C．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误概率不超过0.01
D．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05
【答案】BD
【详解】选择自由行的游客人数为，其小于40岁的概率是，
故A错误；
选择自由行中小于40岁和不小于40岁的人数比为2：1，则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，有2人不小于40岁，
设事件A为“2人均小于40岁”，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为，
故B正确；
因为，所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，
故C错误；
因为，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05，
故D正确，
故选：BD．
11．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）北京时间2022年9月30日，女篮世界杯半决赛，中国队61：59澳大利亚队，时隔28年再次在半决赛中战胜澳大利亚队挺进决赛．中国队在10名上场球员中，3人得分上双．韩旭拿下全场最高的19分，10投8中，得到11个篮板和5次盖帽；队长杨力维得到18分，送出4次助攻；王思雨得到14分．根据以上信息判断，下列说法中正确的是（ ）
A．中国队上场的10名球员存在都有得分的可能
B．中国队上场的10名球员得分的极差不可能为17分
C．中国队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数
D．3不可能是中国队上场的10名球员得分的众数
【答案】ABC
【详解】61-（19+18+14）=10，中国队除3人外，剩余7人得到10分，存在10名球员存在都有得分的可能，A项正确；
中国队除3人外，剩余7人得到10分，若极差为17，则剩余7人最低得分为2分或最高得分为31分，这两种情况都不存在，即上场的10名球员得分的极差不可能为17分，B项正确；
中国队上场的10名球员得分的平均数为，按照分数从小到大排序，则8到10位分数一定是14、18、19，要使中位数大于或等于平均数，则5、6位两队员得分之和应不小于13分，这与7人得到10分不符，显然不可能，故C项正确；
根据已知条件，上场的10名球员得分情况可能为：0，0，1，1，2，3，3，14，18，19.即3可能是中国队上场的10名球员得分的众数.D项错误.
故选：ABC.
12．（2022·山东泰安·高二期末）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据则下列结论正确的是（ ）
A．若求得的经验回归方程为，则变量和之间具有正的线性相关关系
B．若这组样本数据分别是，则其经验回归方程必过点
C．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好
D．若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数，回归模型4的相关指数，则模型4的拟合效果更好
【答案】ACD
【详解】对于A：因为回归方程为，，所以变量和之间具有正的线性相关关系，故A正确；
对于B：样本数据的样本中心点为，且经验回归方程必过样本中心点，但不是样本中心点，故B错误；
对于C：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C正确；
对于D：相关指数越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D正确；
故选：ACD
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为___________.
【答案】
【详解】解：共有10个数据，
由，
所以第70百分位数为.
故答案为；14.
14．（2022·全国·高三专题练习）以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则______．
【答案】
【详解】，即，
∴，．
故答案为：
15．（2022·江苏·金沙中学高一期末）设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值是_________．
【答案】
【详解】数据的平均数为，方差为，所以，
，即，则，因为，所以，故当时，的最大值是．
故答案为：．
16．（2022·全国·高三专题练习）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.令，，经计算得如下数据：
请从相关系数的角度分析，模型拟合程度更好是___________；利用模型拟合程度更好的模型以及表中数据，建立关于的回归方程为___________；（系数精确到0.01）
附：①相关系数，回归直线中：，
【答案】 模型的拟合程度更好
【详解】设和的相关系数为，和的相关系数为，
由题意，，
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.
先建立关于的线性回归方程，由，得，即，
，
，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则.
故答案为：①模型的拟合程度更好；②
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·广东·惠来县第一中学高二期中）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．
(1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
【答案】(1)填表见解析；
(2)作图见解析；
(3)234人.
【详解】（1）补全频率分布表如下：
（2）频数分布直方图如下图所示：
（3）成绩在75.5～80.5分的学生占70.5～80.5分的学生的，
因为成绩在70.5～80.5分的学生频率为0.20，
所以成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10．
成绩在80.5～85.5分的学生占80.5～90.5分的学生的．
因为成绩在80.5～90.5分的学生频率为0.32，
所以成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，
所以成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26．
∵有900名学生参加了这次竞赛，
∴该校获得二等奖的学生有：0.26×900＝234，
∴该校获得二等奖的学生有234人.
18．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）城市道路由于通勤、施工等因素，容易出现早晚高峰．一般地，工作日早高峰时段通常在7：00－9：00，晚高峰时段通常在17：00－19：00．为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行驶速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度．路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行驶速度，可将拥堵程度分为1到5级．等级划分如表（单位：）：
某大桥是连接两地的快速路．今在某高峰时段监测大桥的汽车平均行驶速度，得到如下频率分布直方图．
(1)求车速在内的频率；
(2)根据统计学知识，估计该时段大桥拥堵程度的等级．
【答案】(1)0.05
(2)2级
【详解】（1），解得，
所以车速在内的频率为0.05．
（2）由频率分布直方图得，汽车平均行驶速度为
，
该时段大桥拥堵程度为2级．
19．（2022·全国·高三专题练习）近年来，新能源汽车产业大规模发展，某品牌汽车投人市场以来，受到多位消费者欢迎，汽车厂家为扩大销售，对旗下两种车型电池续航进行满意度调查，制作了如下2×2列联表.
已知从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为
附：，其中.
(1)完成上面的2×2列联表；
(2)根据（2）中的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为满意度与消费者的性别有关?
【答案】(1)详见解析
(2)没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关.
【详解】（1）根据题意，满意的总人数为，
∴完成2×2列联表如下：
（2）∵，
∴没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关.
20．（2022·宁夏·银川市第六中学高三阶段练习（文））某公司经营一种二手机械，对该型号机械的使用年数x与再销售价格y（单位：百万元/合）进行统计整理，得到如下关系：
附：参考公式：，.
(1)求y关于x的回归直线方程；
(2)该机械每台的收购价格为（百万元），根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，此公司销售一台该型号二手机械所获得的利润Q最大？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由表中数据，计算，，，
，，
则，，
所以回归直线的方程为.
（2）由题可知，
，
故预测当时，销售利润Q取得最大值.
21．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，收集数据如下：
(1)在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．
（ⅰ）证明：“对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数关于天数具有线性关系（即为常数）”；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)选择为回归方程较宜
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）作出散点图如图所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围，
故选择为回归方程较宜．
（2）
（i）证明：由已知：令，则，
则，，即．所以繁殖个数的对数关于天数具有线性关系．
（ii）由（i）知繁殖个数的对数关于天数可以用线性回归方程来拟合．由表中数据可得，
，
，
得到关于的线性回归方程为，又，
因此细菌的繁殖个数关于天数的非线性回归方程为．
22．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二期中）经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数（）的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表．
表中，．
(1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，试求y关于x的回归方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）适宜作为y与x之间的回归方程模型；
理由如下：
回归方程模型适用于散点图呈直线型；
回归方程模型适用于散点图上升，且上升趋势越来越慢；
回归方程模型适用于散点图上升，且上升趋势越来越快，呈指数型变化；
根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为y与x之间的回归方程模型．
（2）令，则，
由表中数据可得，；
，∴；
∴y关于x的回归方程为．BA
总计
200
800
1000
180
a
总计
380
小于40岁
不小于40岁
自由行
38
19
跟团游
20
23
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
26
215
65
2
680
5.36
11250
130
2.6
12
分组
频数
频率
4
0.08
0.16
0.20
16
合计
50
1.00
分组
频数
频率
4
0.08
8
0.16
10
0.20
16
0.32
12
0.24
合计
50
1.00
路段
等级
5
4
3
2
1
快速路
主干路
次干路
支路
不满意
满意
合计
男
18
女
40
合计
100
0.15
0.10
0.05
0.10
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
不满意
满意
合计
男
18
30
48
女
12
40
52
合计
30
70
100
使用年数
2
4
6
8
10
再销售价格
16
13
9.5
7
5
天数
1
2
3
4
5
6
繁殖个数
6
12
25
49
95
190
3.50
62.83
3.53
17.50
596.57
12.09
275
731．1
21．7
150
2368．36
30