新高考数学一轮复习讲与练8.9 幂函数（精练）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】D
【解析】设幂函数，幂函数的图象经过点，所以，
解得，所以，则．
故选：D.
3．（2022福建）下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A，则需要满足，即，所以函数的定义域为，故A不符合题意；
B，则需要满足，所以函数的定义域为，故B不符合题意；
C，则需要满足，所以函数的定义域为，故C不符合题意；
D，故函数的定义域为，故D正确；故选：D.
4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是幂函数，则的值为_____．
【答案】8
【解析】依题意得，，，则，故答案为：8
5．（2022·上海）函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】函数解析式为，则，解得.
因此，函数的定义域为.故答案为：.
题组二 幂函数的性质
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a
【答案】C
【解析】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．和
【答案】D
【解析】因为，，
所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；
所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
【答案】C
【解析】幂函数为偶函数，
，且为偶数，则实数，故选：C
4．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）下列函数中，不是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A、D：由幂函数定义域为R，当α为奇数，是奇函数.故A、D为奇函数；
对于B：为奇函数；
对于C：为偶函数.
故选：C
5．（2021·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
故选：C.
6．（2022·黑龙江）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
7．（2022·河北·青龙满族自治县实验中学高三开学考试）“当时，幂函数为减函数”是“或2”的（ ）条件
A．既不充分也不必要B．必要不充分
C．充分不必要D．充要
【答案】C
【解析】当时，幂函数为减函数，
所以有，
所以幂函数为减函数”是“或2”的充分不必要条件，
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数单调递减可得及；
函数单调递减可得，解得，
若函数与均单调递减，可得，
由题可得所求区间真包含于，
结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C.
故选：C.
9．（2022·全国·模拟预测）已知，，，e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递增，且，所以，即.
令，
则，当时，，单调递减.因为，所以，即，得，故，所以，
综上，，
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，即为奇函数，同时也为增函数，
∵，即，
∴，即恒成立，，
若不等式恒成立，只需，
令，
∴，∴．
故选：C
11．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
∵，在R上单调递减，在单调递增，
∵，∴．
故选：D．
12．（2022·辽宁·黑山县黑山中学高三阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【解析】对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
13．（2022·全国· 课时练习）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．幂函数的图像都经过点，
B．幂函数的图像不经过第四象限
C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数
D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数
【答案】BC
【解析】A选项，当指数时，幂函数的图像不经过原点，故A错误；
B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图像不可能经过第四象限，故B正确；
C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确；
D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误.
故选：BC
14．（2022·广东）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．当时，D．当时，
【答案】ACD
【解析】设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
15．（2022·辽宁营口 ）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为非奇非偶函数B．函数的定义域为
C．的单调递增区间为D．若，则
【答案】AC
【解析】设幂函数，为实数，
其图像经过点，所以，则，
所以，定义域为，为非奇非偶函数，故A正确，B错误.
且在上为增函数，故C正确.
因为函数是凸函数，所以对定义域内任意，
都有成立，故D错误.
故选:AC.
16．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的值域为B．的图象与直线有两个交点
C．是单调函数D．是偶函数
【答案】ACD
【解析】函数的图象如图所示，由图可知的值域为，结论A错误，结论C，D显然错误，的图象与直线有两个交点，结论B正确．
故选：ACD
17．（2022·广西北海 ）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为函数是幂函数，则，，
在上单调递减，则，可得，
，在上的值域为，
在上的值域为，
根据题意有，的范围为.
故答案为：.
18．（2022·福建·泉州科技中学）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______．
【答案】
【解析】因为幂函数为奇函数，
所以或1或3，
又因为幂函数在上单调递减，
所以，
故答案为：.
19．（2021·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______．
①为奇函数；
②在上单调递减；
③当时，．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，则，易知函数为奇函数，满足①；
由在上单调递减，可知在上单调递减，满足②；
对于③，
，
当时，，即，满足③．
故答案为：（答案不唯一）.
20．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______
【答案】
【解析】由题意，不妨设，
因为幂函数过点，则，解得，
故为定义在上的奇函数，且为增函数，
因为，则，
故，解得，
从而实数的取值范围是.
故答案为：.
题组三 二次函数根的分布
1．（2022·全国·高一专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【解析】方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.
【答案】1
【解析】方程化为，
由，解得，
所以最大整数值是.
故答案为：1.
3．（2022·上海·高一专题练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】：的两个根都大于
，解得
可求得实数的取值范围为
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为函数在时恒大于0，
所以在时恒成立.
令，则.
因为，所以.
令.
因为在上为减函数，所以，即
因为恒成立,所以.
故答案为：