新高考数学一轮复习讲与练8.6 周期性与对称性（精练）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·吉林·梅河口市第五中学）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递减，
由，可得，
整理得，，
解得或.
故选：B.
2．（2022·云南楚雄 ）已知函数的图象与的图象关于轴对称，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】已知函数的图象与 的图象关于x轴对称，
所以，
又 是上的增函数，
所以，解得.
故选：B.
3．（2022·浙江衢州 ）已知函数，若、，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，则，，
因为
，
因为，则，
因此，.
故选：B.
4．（2022·云南昆明 ）（多选）已知函数对，都有，，且，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点（-2，0）中心对称
C．D．
【答案】BC
【解析】因为，所以为奇函数，
又因为，所以关于对称，
所以，令等价于，所以，
再令等价于，所以，所以的周期为4，
由，可得：，
所以的图象关于对称，故A不正确；
又因为的图象关于对称，的周期为4，所以的图象关于点中心对称，故B正确；
令中，可得，所以，故C正确；
，故D不正确.
故选：BC.
5．（2022广西）（多选）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】AC
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
又，即关于对称，故B不正确；
所以，即，
所以，
所以是以为周期的周期函数，
因为在区间上，有，
所以在上单调递增，
因为，即，
所以的图象关于点成中心对称，故A正确；
因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，故C正确；
因为，故D错误；
故选：AC
6．（2022·全国·高三）（多选）若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（ ）
A．f(0)＞f(3)B．∀x∈R，f(x)≤f(2)
C．D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3
【答案】AC
【解析】由，，可得图象关于对称，
由，，可得在上单调递增，在上单调递减，当时，最小，结合函数的单调性和对称性得：距离越近函数值越小，则显然A正确，B不正确；
对C，，C正确；
对D，时，距更远，则，解得或，D不正确．
故选：AC.
7．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，
若，则.
故，即.
故选：C.
8．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）函数是R上的奇函数，函数图像与函数关于对称，则（ ）
A．0B．-1C．2D．1
【答案】C
【解析】函数是R上的奇函数，则
设，则，则函数的图像关于点对称
函数图像与函数关于对称，
所以函数的图像关于对称，所以
故选：C
9．（2022·广东惠州·高三阶段练习）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数满足，
所以，所以，
又的图象关于直线对称，
所以，且，
则，
所以，
所以，
无法求出.
故选：A.
10．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数，其中a为常数，若存在，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【解析】因为，
所以关于直线对称，又，
所以.
故选：C．
11．（2022·河北·邢台市第二中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以的图象关于直线对称，
又在区间上单调递增，所以在上单调递减，
因为，，
即，平方后解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
12．（2022·全国·单元测试）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，所以函数的图象关于直线对称，
又在上单调递减，所以在上单调递增，
结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式
等价于，两边同时平方后整理得，解得或.
故选：C．
13．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数，若，则___________.
【答案】2
【解析】因为，对称轴为，所以的对称中心为，即，
因为，所以在上单调递增，
所以方程的解均有且只有一个，
因为，所以关于对称中心对称，
所以，
故答案为：2
14．（2022·湖北·高三开学考试）函数的极大值为，极小值为，则______.
【答案】6
【解析】由题意，，故关于对称.故取得极大与极小值的点关于对称，所以.故答案为：6
15．（2022·湖北武汉 ）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________．
【答案】
【解析】，，即，
又为奇函数，，
，，.
故答案为：.
16．（2022·江苏盐城·高一期末）对，函数都有，则___________.（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】，图象关于点对称，则.
故答案为：（答案不唯一）.
17．（2022·广西·南宁三中二模（文））若函数的图象关于直线对称，则_______．
【答案】7
【解析】由题意，即，
所以，即，解得，
此时，
，满足题意．
所以，．
故答案为：7．
题组二 周期性
1．（2022·江苏南通·高三开学考试）定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为___________.
【答案】
【解析】由题意，函数满足，
化简可得，所以函数是以4为周期的周期函数，
因为为奇函数，
所以，
因为，即，
所以.
故答案为：
2．（2022·重庆八中高三开学考试）已知为上的奇函数，且，当时，，则_____.
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，所以，
所以，即，
所以函数是周期的函数，


因为，所以，
所以.
故答案为：
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【解析】因为在R上的函数满足，且，
令，有，
又，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以.
故答案为：．
4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.
【答案】1
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，
因为，所以的周期为4，
因为当时，，
所以，故答案为：1
5．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】图象关于点对称，，
又为上的偶函数，，，
，
是周期为的周期函数，
，又，，
.
故选：C.
6（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）设的定义域为，且满足，若，则（ ）
A．2023B．2024C．3033D．3034
【答案】A
【解析】因为，，所以，
由得，
所以，，
即，
所以，
所以.
故选：A
7．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．3B．0C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以的周期为4，
所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
所以，
又因为在中，令，得，
所以，又当时，，所以令，，
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
题组三 函数性质的综合运用
1．（2022·内蒙古赤峰）已知是定义在R上的可导函数，且满足，，，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】不等式可化为，令，由，
得，所以是减函数，
因为，所以的图象关于点对称，即，
又，
分别令，，，，，得，，，，，
结合对称性有，
，，
所以，从而，
因此不等式为，所以．
故选：C．
2．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）（多选）已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称.以下关于的结论正确的有（ ）
A．是周期函数
B．满足
C．在上单调递减
D．是满足条件的一个函数
【答案】ABD
【解析】对于A：，其图象关于点对称即
所以，
函数是周期函数且其周期为4，故A正确；
对于B：由A知，对于任意的，都有满足，
又函数是偶函数，即，故B正确；
对于C：反例：如图所示的函数，关于轴对称，
图象关于点对称，函数的周期为4，但是在上不是单调函数，故C不正确；
对于D：是定义域为在，
且，
，
所以是定义域为在上的偶函数，其图象关于点对称的一个函数，
故D正确．
故选：ABD．
3．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A．图象关于对称B．
C．的最小正周期为4D．对任意都有
【答案】BCD
【解析】为上的奇函数，则，. 为偶函数，即关于轴对称，则.
所以，则，故，则最小正周期为4；
对A，，故图象不关于对称，A错；
对B，，B对；
对C，最小正周期为4，，的最小正周期为4，C对；
对D，，D对；
故选：BCD
4．（2022·江苏省高邮中学高三开学考试）（多选）已知函数及其导数的定义域均为R，记．若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】为偶函数，可得，所以
关于直线对称，
设，，所以选项A错误；
为奇函数，，所以函数关于点对称.
令得.故选项B正确；
关于直线对称，所以
所以，即
所以，所以，故选项C正确；
所以，所以，故选项D正确.
故选：BCD
5．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）（多选）已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的周期为4
C．D．
【答案】AB
【解析】的图像关于直线对称，的图像关于对称，
又关于点中心对称，所以周期为4，所以正确而D错误；
又，其中换得，
再将换得，但无法得到 所以正确C错误.
故选：AB.
6．（2022·全国·课时练习）（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．在上是增函数
C．在上是减函数D．
【答案】AD
【解析】因为，是偶函数，
所以，即，
所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
由偶函数在对称区间上的单调性相反，得在上是减函数，故B错误；
因为函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，
所以在上是增函数，故C错误；
由，可得，故D正确.
故选：AD.
7．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））定义在R上的奇函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于直线对称；
③在上是减函数；
④．
其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)
【答案】①②③④
【解析】因为，所以，所以，所以的周期为，即为周期函数，故①正确；
因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，故②正确；
因为是定义在R上的奇函数，所以,因为在上为增函数，且为奇函数，所以在上为增函数，
因为关于直线对称，所以在上为减函数，故③正确；
由，令得，故④正确，
故答案为：①②③④
8．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设的定义域为，且满足，若，则___________.
【答案】2024
【解析】因为，所以，
由，得，有，
可得，有，
又由，可得，可知函数的周期为4，
可得，
有，
因为，所以
由得，
所以，
即，
所以
所以.
故.
故答案为：2024