新高考数学一轮复习讲与练4.2 等比数列（精讲）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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考点呈现
例题剖析
考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列满足，且，则数列的前项和等于（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．3D．4
1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
温馨提示
【一隅三反】
1．（2022·江西·新余四中）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A．B．
C．或1D．或1
2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知为等比数列的前n项和，且公比，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高三专题练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列的前项和为，，，则公比（ ）
A．B．C．D．
5（2022·四川·三模（理））已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．21B．81C．243D．729
考点二 等比中项
【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列中，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．6B．9C．27D．81
3．（2022·全国·高三专题练习）设，，，是非零实数，则“，，，成等比数列”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2022·广西柳州）在等比数列中，已知，，则公比（ ）
A．B．C．2D．
考点三 等比数列前n项和的性质
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（ ）
A．﹣51B．﹣20C．27D．40
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【一隅三反】
1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180B．108
C．75D．63
2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前n项和为，则r的值为
A．B．C．D．
4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A．B．C．D．
考点四 等比数列定义及其运用
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列
C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列
【一隅三反】
1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列的前n项和为，则下列数列一定是等比数列的有（ ）
A．，，，…B．，，，…
C．，，，…D．，，，…
2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{}满足：
(1)求证：数列{}是等比数列；
(2)，求数列{·}的前n项和.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列前项和．
考点五 等比数列的实际应用
【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( )
A．B．1C．D．
【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6B．7C．8D．9
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末B．7小时末C．8小时末D．9小时末
2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A．42B．56C．63D．70
3．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取，）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元