甘肃省武威市凉州区武威第十六中学2024年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各组数中，成比例的是（ ）．
A. 1，，，B. 1，4，2，
C. 5，6，2，3D. ，，1，
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例的定义，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了比例的定义，如果四个数 满足，则这四个数成比例．
2. 如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则csA的值是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【详解】如图：
，
由勾股定理，得
AC===2，
由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得csA===，
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦．
3. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出当时，当时，当时y的值即可得到答案．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
∴四个选项中，只有C选项中的点在反比例函数的图象上，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键．
4. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数解析式得到反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，再由，即可得到，据此可得答案．
【详解】解；∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，
∵点，，在反比例函数的图象上，且，
∴，
故选：C．
5. 下列两个图形一定是相似图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 矩形C. 等腰三角形D. 菱形
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．
【详解】解：A、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角相等，故两个等边三角形一定相似，此选项符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意；
C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此选项不符合题意；
D、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义．
6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．
【详解】解：由题意知，在中，，，，
A．三边各为：1，，与中的三边能对应成比例，故两三角形相似，符合题意；
B．三边各为：，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；
C．三边各为：1，，与中的三边对应成比例，故两三角形相似；
D．三边各为：2，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．
故选：A．
7. 如图：△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（ ）
A. （2，﹣4）B. （﹣2，4）C. （3，﹣6）D. （3，6）
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为（﹣1，2），
∴点B1的坐标为（﹣1×（﹣3），2×（﹣3）），即（3，﹣6）．
故选：C
【点睛】此题主要考查了位似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
8. 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
【详解】连接DC，
∵
∴∠DOC=90°，OD=1，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选B．
【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．
9. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）
A. BD＝10B. HG＝2C. D. GF⊥BC
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项
【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，
故A选项正确，
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
,
故B选项正确，
,
∴EG∥HF，
故C正确
设，则，
，
即
，同理可得
若
则
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正确．
故选D
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
10. 如图，在中，，．以为直径作，作直径，连接并延长至点E，使，连接交于点F，交于点G．若，则直径的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接BD，得到四边形ACBD为矩形，进而得到AD=BC，由和得到DG是△AEF的中位线，进而得到△AFE与△BFC的相似比为2:1，设EG=x，进而得到CE=3x，AC=2x，再在Rt△ACE中由勾股定理求出x，进而求出直径．
【详解】解：连接BD，如下图所示：
∵AB和CD均是圆O的直径，∴∠ACB=∠ADB=∠CAD=∠CBD=90°，
∴四边形ACBD为矩形，∴，
又DE=AD，且DG∥AB，∴DG是△EAF的中位线，
∴，设EG=FG=x，则EF=2x，
∵BC∥AE，∴△CBF∽△EAF，
∴，∴CF=x，
∴EC=EF+CF=3x，AC=2EG=2x，
在Rt△AEC中，由勾股定理有：AC²+AE²=CE²，
∴，解得(负值舍去)，
∴，
∴圆的直径，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理等，熟练掌握各定理及性质是解决本题的关键．
二、填空题(共24分)
11. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝_____．
【答案】-6.
【解析】
【详解】试题解析：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC．
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴，
∴，
设A（m，n），则B（-n，m），
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴mn=2，
∴-n•m=-3×2=-6，
∴k=-6．
12. 如图，已知矩形矩形，，，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，先根据矩形的性质得到，再求出，最后根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可．
【详解】解∵四边形和四边形都矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵矩形矩形，
∴，即，
∴（负值舍去），
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
13. 五边形五边形，相似比为，若，则_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可．
【详解】解：五边形五边形相似比为．
，
，
．
故答案为：6
14. 将含有角的直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据含的直角三角形的性质以及勾股定理求出、、的长度，画出三角板绕原点顺时针旋转，过点作轴于点，然后证明，即可得出答案．
【详解】解：如图，分别过点、作轴、轴于点、，

∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵轴、轴，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，，
∴点的对应点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
15. 如图，在中，，，点P是直角边上一动点（点P不与B，C重合），连接，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值是 ________．

【答案】2
【解析】
【分析】如图所示，延长到E使得，连接，先解得到，，，由旋转的性质可得，由此可证明得到，则点D在直线上运动，故由垂线段最短可知当时，最小，利用直角三角形的性质求出结果即可．
【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，

∵在中，，
∴，，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，即，
∴，
∴，
∴点D在直线上运动，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵，，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，解直角三角形，确定何时有最小值是解题关键．
16. 在中，，，如果，那么____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键．
17. 如图，A、B、C为上的点，，连接，交于点D，若，，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】过点作交于点，设，根据圆周角定理可得，根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角可得，，根据三角形的内角和定理即可求得，，根据直角三角形两个锐角互余可求得，根据等角对等边可得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理可得，即可求解．
【详解】解：过点作交于点，如图：

设，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质可，三角形的外角性质，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆和三角形的相关知识是解题的关键．
18. 如图，在矩形中，，点F、G分别在边上，沿将四边形翻折得到四边形，且点E落在边上，交于点H．若，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作，根据折叠的性质可得，进而可得，证明，求得，设，则，分别求得，勾股定理求得，进而求得的值，最后求得，代入的值即可求解．
【详解】如图，连接，过点作，
折叠，
，
，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知正弦求边长，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，设参数求解是解题的关键．
三、计算题(共8分)
19. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）5；（2），
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，特殊角三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幂和解一元二次方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能利用公式法解一元二次方程是解（2）的关键．
（1）先根据零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值和负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）利用公式法求解．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
，
∴，
∴，．
四、作图题(共4分)
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD=2，CD=6，，
∴，
即．
【点睛】此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．
五、解答题(共54分)
21. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【小问1详解】
由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个，
所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
22. 某片果园有果树100棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系为：．
（1）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实8250千克？
（2）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
【答案】（1）增种果树10棵时，果园可以收获果实8250千克．
（2）当增种果树30棵时果园的总产量w（千克）最大，最大产量是8450千克．
【解析】
【分析】（1）列出方程解方程，再根据实际意义确定x的值．
（2）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
【小问1详解】
根据题意，得：，
解得，
∵投入成本最低．
∴不满足题意，舍去．
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实8250千克．
【小问2详解】
根据题意，得：
∵，则抛物线开口向下，函数有最大值
∴当时，w最大值为8450千克．
∴当增种果树30棵时果园的最大产量是8450千克．
【点睛】本题考查二次函数应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
23. 已知反比例函数（为常数）．
（1）若函数图象经过点，求的值；
（2）若时，随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．
（1）将点A的坐标代入即可求得m的值；
（2）根据增减性确定的符号，从而确定m的取值范围．
【小问1详解】
∵函数图象经过点，
∴，
解得：，
∴m的值是2；
【小问2详解】
∵若时，y随x的增大而减小，
∴，
解得：，
∴m的取值范围是
24. 如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长．

【答案】的长为，的长为10
【解析】
【分析】由是的中线，可得，，设，，，可求得x的值，得到，再由等面积法求得斜边上的高即可．
【详解】.解：∵是的中线，
∴
∴
∴，
∵，
∴在Rt△ABC中，，
∴设，，
由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴的长为，的长为10．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线，证出是解题的关键．
25. 如图，矩形中，经过点A，且与边相切于M点，过边上的点N，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，，，根据等腰三角形的性质得出，，根据切线的性质可得，进而可证明，最后根据切线的判定即可证明；
（2）过点O作于G，连接，根据垂径定理求出，，然后证明四边形、是矩形，则可求，，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，，，
∵，，
∴，，
∵与相切于M，
∴，
∴，
∴，
∴，
又是的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：过点O作于G，连接，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形矩形，
∴，
∴．
26. 如图，是的外接圆，，平分交于E，过B作的延长线于D．

（1）若，求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．
（1）根据等边对等角，圆周角相等即可证明；
（2）先利用勾股定理得出，再根据角平分线以及圆周角定理证明是等腰直角三角形，问题随之得解．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵在中，，，，
∴，是的直径，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
27. 根据下列题目要求，解答下列问题：
（1）如图1，已知正方形和正方形，连接、．求证；
（2）如图2，在矩形中，，已知矩形矩形，相似比为，，连接、，延长交于M．探究线段与的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，直角三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
（1）根据正方形的性质，利用即可证得，据此即可证得结论；
（2）设，，根据，可求得，，据此即可证得，据此即可求得；
【小问1详解】
证明：四边形和都是正方形，
，，，
，
，
在与中，

，
；
【小问2详解】
，
设，，
矩形矩形，相似比为，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
．
28. 抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接．点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点C作于点H，，
①求点P的坐标；
②连接，在y轴上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①)②或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）①由题可得为矩形，根据，可得点P的横坐标，代入解析式即可求出坐标；②分和两种情况解题即可．
【小问1详解】
解：把点和代入得：
，
解得：，
∴
【小问2详解】
①解：∵，轴，
∴四边形为矩形，
∴
∵
∴
当时
∴点P的坐标)
②由题可知，显然不能为
如图，当时，
中，，
∴，
∵轴，
∴
∴，
即，
即：
解得：，
∴
∴点Q的坐标为；
如图，当时，
显然，为矩形，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上所述：点Q的坐标为或
【点睛】本题考查二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理和三角函数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．