中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题43二次函数中的相似三角形问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题43二次函数中的相似三角形问题(原卷版+解析)，共70页。
一、解答题
1．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；
(3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围．
2．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·山东德州·统考二模）如图，抛物线经过，，三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得，直接写出点D坐标．
4．（2022·山东聊城·统考三模）如图，抛物线y= x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与轴相交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m，
①用含有m的代数式表示点E的横坐标为________（直接填空）；
②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；
③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；
(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．
5．（2022·辽宁丹东·校考一模）已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式；
(3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．
7．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在坐标轴上是否存在点D，使得是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点P是线段上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作轴于点C，交于点N，若的面积满足，求出的值，并求出此时点M的坐标．
8．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
9．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．
(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
10．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）已知抛物线与轴有两个交点．
(1)求实数的取值范围；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在原点的左边，点在原点的右边)，与轴的负半轴交于点，连接，且满足，求抛物线的解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线，直线交抛物线于两点(点在点的左边)，直线交轴于点，直线交轴于点，设的纵坐标分别为、，试问是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．
11．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，抛物线经过三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标；
(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线：与轴交于点，过点与点的直线与交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，若点为直线下方的上一点，求点到直线的距离的最大值；
(3)如图，将直线绕点顺时针旋转后恰好经过的顶点，沿射线的方向平移抛物线得到抛物线，的顶点为，两抛物线相交于点设交点的横坐标为若，求的值．
13．（2022·河北唐山·统考二模）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．
(1)直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′ 三点的抛物线的解析式；
(2)点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022·内蒙古包头·包钢第三中学校考三模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，联结、．
(1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如果点在抛物线上，平分，求点的坐标：
(3)如果点在抛物线的对称轴上，与相似．求点的坐标．
15．（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点，交于点，于点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)如图，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2022·山西晋中·统考二模）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)连接，若的中点为点，请你求经过点和点的直线表达式；
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）在平面直角坐标系中， 抛物线 与 轴交于点 、点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ， 且过点 ．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图 1， 点 为直线 上方抛物线上 （不与 重合） 一动点， 过点 作 轴， 交 于 ，过点 作 轴， 交直线 于 ， 求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图 2， 将原抛物线沿 轴向左平移 1 个单位得到新抛物线 ， 点 为新抛物线 上一点， 点 为原抛物线对称轴上一点， 当以点 为顶点的四边形为平行四边形时， 求点 的坐标， 并写出求其中一个 点坐标的解答过程．
18．（2022·四川绵阳·统考三模）如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（－1，0）， B（3，0），C（0，3）．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求的值．
19．（2023·山西太原·山西大附中校考一模）已知抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线的解析式 ；
(2)如图1，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，点，在抛物线上，交抛物线于点．求点的坐标；
(3)已知点，在抛物线上，轴，点在点的左侧，过点的直线与抛物线只有一个公共点与轴不平行），直线与抛物线交于另一点．若线段，设点，的横坐标分别为，，直接写出和的数量关系（用含的式子表示为 ．
20．（2022·江苏镇江·统考一模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、 （点在点左侧），与轴交于点．
(1)连接，则 °；
(2)如图2，若经过、、三点，连接、，若与 的周长之比为，求该抛物线的函数表达式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，抛物线对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
专题43 二次函数中的相似三角形问题
【题型演练】
一、解答题
1．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；
(3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【详解】（1）解：将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
∴点B坐标为．
将代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴当时， ，
此时；
当时， ，
如图，当时，，
∴点B，N关于抛物线对称轴对称，
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点B坐标为，
∴点N坐标为，
∴点M坐标为；
如图，当时， ，作轴于点C，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得或0（舍去），
∴点M坐标为；
综上所述，点M坐标为或；
（3）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∴翻折后顶点坐标为，
当点A为最低点时，，解得，
令，
解得，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握相似三角形的性质，通过分类讨论求解．
2．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)函数的最大值为5，最小值为
(3)存在，或
【分析】（1）先求出点C的坐标，得到点B的坐标，再将点A、B的坐标代入解析式计算即可；
（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；
（3）存在点，设，根据相似三角形对应边成比例列得，代入数值求出m即可．
【详解】（1）二次函数的图象与轴交于点，．
，点在点的左边，．
又点A的坐标为，
由题意可得：，解得：．
二次函数的解析式为．
（2），二次函数顶点坐标为，
当时，，
当时，随着的增大而减小，
当时，，
当时，随着的增大而增大，
当时，．
当时，函数的最大值为5，最小值为．
（3）存在点，如图，设，
，且与是相似三角形的对应边，
，即：，
解得：或，
或．
【点睛】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
3．（2022·山东德州·统考二模）如图，抛物线经过，，三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得，直接写出点D坐标．
【答案】(1)
(2)存在，（2，1）
(3)点的坐标为（3，1）
【分析】（1）把A、B、C坐标代入解析式即可确定出解析式；
（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，首先根据点P的位置求得点m的取值范围，然后由相似三角形的两种情况进行分类讨论；
（3）过D作y轴的平行线交AC于E．利用待定系数法求得直线的解析式为．再利用三角形面积公式列式求解即可．
【详解】（1）解：∵该抛物线过点A（4，0），B（1，0），C（0，-2），
∴将A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入解析式，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：存在．
如图，设点的横坐标为，
∵是抛物线段上一动点，
∴，
则点的纵坐标为，
当时，，．
又∵，
∴①当时，，
即．
解得，（舍去），
∴P（2，1）；
②当时，，
即．
解得，（均不合题意，舍去）
∴当时，P（2，1）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）；
（3）解：如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC解析式为，
将A与C坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
∴点的坐标为．
∴，
∴，
∴
又
∵
∴
解得，，
当时，点与点重合，不符合题意，
当t=3时，y=1，
∴点的坐标为（3，1）．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
4．（2022·山东聊城·统考三模）如图，抛物线y= x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与轴相交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m，
①用含有m的代数式表示点E的横坐标为________（直接填空）；
②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；
③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；
(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②点坐标为；③点坐标为（，0）
(3)点坐标为（，）
【分析】（1）根据题意设顶点式即可抛物线解析式；
（2）①根据点F在抛物线上，设F（m，）（），则E（，），
②由矩形为正方形，可得，列方程即可求解；
③连接AD，当EG与AD垂直时，证明Rt△GEH∽Rt△DAM，得出，列方程即可求解；
（3）设AD交于，根据题意可得△DFQ为等腰三角形，则，求得直线的解析式为，继而求得（，），根据，列方程即可求解．
(1)
解：由题意得：抛物线解析式为，
即
(2)
①设F（m，）（），则E（，），
故答案为：；
②矩形为正方形，
，
即，
整理得（舍去），
点坐标为；
③且轴，
，
∴Rt△GEH∽Rt△DAM，
即，
，
即，
整理得，解得（舍去），
点坐标为（，0）；
(3)
F点坐标为（，）．
设AD交于，如图，
，
．
∵△DFP与相似，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
而，
∴△DFQ为等腰三角形，
．
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
则（，），
，
而，
，
而，
，
整理得，解得（舍去），
点坐标为（，）．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练运用已学知识是解题的关键．
5．（2022·辽宁丹东·校考一模）已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式；
(3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）令求抛物线与x轴的交点C的坐标，作和的高线，根据面积相等可得，证明，则，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式；
（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与有可能相似，即和，
①当与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角，可得，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；
②当与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．
【详解】（1）解：把点代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得：或4，
∴，
如图1，过O作于E，过C作于F，设交x轴于G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，过P作轴于M，
，
∴，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴，
∴，
设直线AP的解析式为，
∴，
∴
∴；
（3）解：以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有共4个，其中重合，不符合条件，不能构成三角形，
∴当与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：和，
①当与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴由待定系数法可求的解析式为：，
则，
（舍），，
∴；
②当与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，
∵，
∴当时，，
∴，
设，
中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∴或，
∵，或是钝角，此时与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，
∴；
由待定系数法可求的解析式为：，
，
或0（舍）
∴；
同理可得E在C的右边时，，
∴，
设，
中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∴（舍）或，
∵，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，
综上，点D的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，一元二次方程的解法，三角形面积以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键．
6．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点不在抛物线的对称轴上，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；
（2）抛物线的表达式为，可证明，继而可证，则将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上，延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，可证，可得点D横坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；
（3）先求出过点、的直线解析式，分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，再证明，进而用m表示出的值，根据二次函数的性质可以确定出的最大值，进而可确定出此时的P点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：点不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为，
∴点坐标为．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴将沿所在直线折叠，点一定落在直线上，
延长至，使，过点作轴交轴于点．
又∵，
∴，
∴，则点横坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点不在抛物线的对称轴上．
（3）解：设过点、的直线表达式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴过点、的直线解析式为．
过点作轴的垂线交的延长线于点，
∵当时，，
∴点坐标为，
∴．
过点作轴的垂线交于点，
设点坐标为，则点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴．
若分别以、为底计算和的面积（同高不等底），
则与的面积比为，即，
∴．
∵，
∴当时，的最大值为，此时点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示相关线段的长度．
7．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在坐标轴上是否存在点D，使得是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点P是线段上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作轴于点C，交于点N，若的面积满足，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，D点坐标为或或
(3)，M点坐标为
【分析】（1）利用待定系数法来求解；
（2）分两种情况来求解：点D在x轴上和点D在y轴上．当点D在x轴上时，过点A作轴于点D，易求D点的坐标；当点D在y轴上时，设，在中利用勾股定理可求得d的值，可的答案；
（3）过P作于点F，易证，从而得到，在中和在中利用三角函数得出，设，则，利用和之间的面积关系，进而表示出M的坐标，再根据M点在抛物线上求出a的值，进而得到答案．
【详解】（1）解：∵两点在抛物线的图像上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为；
（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵，∴D坐标为；
当点D在y轴上时，设，则，且，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，解得，或
∴D点坐标为或；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为或或；
（3）解：如图2，过P作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴M点坐标为，
又M点在抛物线上，代入可得，
解得或（舍去），
，，∴点M的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数图像综合问题，涉及三角函数的计算及相似三角形的判定及性质的运用，能够熟练运用数形结合思想是解题关键．
8．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
【答案】(1)
(2)①M点的坐标为或 ；②M点的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法去求抛物线解析式；
（2）①先求出抛物线的对称轴为，作直线于点D，作于E，根据相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时进行求解即可；
②先确定进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时，（3）当时进行求解即可．
【详解】（1）将点，分别代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①抛物线的对称轴为直线，
作直线于点D，作于E，
∵，
∴当，即，
∴，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
∴当，即，
∴，如图2，
同理可得，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或；
②∵，
∴，
当时，，此时点M的坐标为；
当时，点N与点P重合，则，
∴，此时M点的坐标为；
当时，在中，，
∵，
∴，即，
解得，此时点M的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计算；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
9．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．
(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或．
【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值；
②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】（1）解：令，得，
，
令得，
，
，
，，
，
，
，
，
（2）①设直线的解析式为：，代入，得
，
，
，
设，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
即的最大值为9；
②点是的中点，
在中，，
即为等腰三角形，
，
，
，
，
，
若以点为顶点的三角形与相似，
则①，
，
又，
，
，
，，
，
，，
或，
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又，
，
，
，
整理得，，
，，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）已知抛物线与轴有两个交点．
(1)求实数的取值范围；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在原点的左边，点在原点的右边)，与轴的负半轴交于点，连接，且满足，求抛物线的解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线，直线交抛物线于两点(点在点的左边)，直线交轴于点，直线交轴于点，设的纵坐标分别为、，试问是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，．
【分析】（1）根据抛物线与轴有两个交点可知，求解即可；
（2）根据题意可知，，得出，从而得出，求解根据得出的值，则解析式可得；
（3）先根据二次函数解析式求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，设直线的解析式，，，连立二次函数与一次函数可得，根据根与系数的关系可得，过点D作轴于点，过点作轴于点，则可证明，则，即，解出的值，同理得出的值，相加即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴有两个交点，
，解得，
实数的取值范围为；
（2），
，
，
，则，即，
，
，解得，
，
，
则抛物线的解析式为；
（3）是定值，理由如下：
当时，有，解得，
，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
，
设直线的解析式，，，
联立得，
则，
过点D作轴于点，过点作轴于点，
，
∴，则，
，
解得，
同理，
则，
．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
11．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，抛物线经过三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标；
(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)符合条件的点P为或．
【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为，再根据过两点，即可得出结果．
（2）先根据题意设出D点的横坐标和D点的纵坐标，再过D作y轴的平行线交于E，再由题意可求得直线的解析式为，即可求出E点的坐标，再利用面积公式列函数关系式，利用二次函数的性质得出结果即可．
（3）首先判断出存在，首先设出的坐标，，再分两种情况进行讨论，当时，当时 ，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵该抛物线过点，
∴可设该抛物线的解析式为． 将代入，
得
解得
∴此抛物线的解析式为
（2）如图，设D点的横坐标为，则D点的纵坐标为，
过D作y轴的平行线交于E，而
设直线为：
∴ 解得：
∴直线的解析式为．
∴E点的坐标为
∴
∴

∴当时，面积最大，此时
∴
（3）存在．如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为，
当时，，
又∵，
∴①当 ，
∵C在抛物线上，
∴
∴，
即
解得（舍去），
∴
②当 时，△APM∽△CAO，
即．
解得（均不合题意，舍去）
∴当时，，
如图，当时，，
① 或② ，
当 时，则，
解得： （都不符合题意，舍去）
当时，则，
解得：（不符合题意舍去）
此时 则，
综上所述，符合条件的点P为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
12．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线：与轴交于点，过点与点的直线与交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，若点为直线下方的上一点，求点到直线的距离的最大值；
(3)如图，将直线绕点顺时针旋转后恰好经过的顶点，沿射线的方向平移抛物线得到抛物线，的顶点为，两抛物线相交于点设交点的横坐标为若，求的值．
【答案】(1)y=x+2
(2)
(3)
【分析】（1）先根据抛物线的函数表达式求出点A的坐标，再将点A的坐标和（1，3）代入y=kx+b，即可求出直线AB的函数表达式；
（2）过点P作交直线AB于点Q，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，易证△MPQ为等腰直角三角形，分别表示出点P和点Q的坐标，求出PQ的最大值，当PQ取最大值时PM也取最大值，
（3）过点E作，交x轴于点P，过点D作DQ⊥PQ，垂足为Q，易证△APE～△DEQ，将点D的坐标用m表示出来，根据即可求出m的值．
（1）
解：当x=0时，，
∴A（0，2），
设直线AB的函数表达式为：y=kx+b，
把A（0，2）和（1，3）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直线AB得函数表达式为：y=x+2．
（2）
将抛物线的函数表达式整理为一般式为：，
如图，过点P作交直线AB于点Q，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，
设点P的坐标为（a，），
∵，
∴点Q的横坐标为a，
∵点Q在直线AB上，
∴点Q的坐标为（a，a+2），
∴，整理得：，
当a=时，PQ有最大值，最大值为，
∵直线AB与竖直方向得夹角为45°，
∴∠MQP=45°，
∴△MPQ为等腰直角三角形，
∴PM=，
当PQ取最大值时，PM也取最大值，
∴PM的最大值为：，
（3）
∵抛物线的函数表达式为：，
∴顶点C（1，1），
设直线AC的函数表达式为：y=kx+b，将点C和点A的坐标代入得：
，解得：，
∴直线AC的函数表达式为：y=-x+2，
设点D的横坐标为b，
∵点D在直线AC上，
∴点D的纵坐标为-b+2，即D（b，-b+2），
∴的函数表达式为：，
E的横坐标为m，
∵点E在抛物线上，
∴点E的纵坐标为：，
∵点E也在抛物线上，
∴点E的纵坐标为：，
∴=，
整理得：解得：b=2m或b=1（舍），
∴D（2m，-2m+2），
过点E作，交x轴于点P，过点D作DQ⊥PQ，垂足为Q，
∵∠AED=90°，∠EPA=90°，
∴∠AEP+∠DEQ=90°，∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠DEQ=∠EAP，
在△APE和△DEQ中，
∠DEQ=∠EAP，∠APE=∠DQE，
∴△APE～△DEQ，
∴，
∵A（0，2），E（m，），D（2m，-2m+2），
∴PE=m，EQ=m，
DQ=，
AP=，
∴，整理得：，
解得：或（舍）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质于判定，熟练掌握相关内容，根据函数的表达式将点的坐标用同一个参数表示以及构造相似三角形是解题的关键．
13．（2022·河北唐山·统考二模）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．
(1)直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′ 三点的抛物线的解析式；
(2)点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，M的坐标为：，，
【分析】（1）根据等边三角形的性质求出点的坐标，根据二次函数经过，，设出二次函数的交点式，将代入，求出二次函数解析式；
（2）过P作轴，交于Q，连接，求出的表达式，将P点的横坐标为m，则有：，，表示出△的面积，求出最大值即可；
（3）根据三角形相似的判定，找出点M的位置，求出坐标即可．
(1)
解：过点作⊥x轴，垂足为M，
∵由题意可知△OAB和△C′DE是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴，
∵，在抛物线上，故设抛物线的解析式，
∴将代入：3a=，即a=，
∴．
(2)
解：过P作轴，交于Q，连接，
∵设的表达式为：，且经过点，
∴，即
∴的表达式为：，
设P点的横坐标为m，则有：，，
∴，
∴
∴△的最大面积为．
(3)
解：存在．
∵BF与⊙G相切
∴∠ABF＝90°
∵∠BAF＝60°，AB=OA=2
∴AF=4，OF=2，
∵∠BOF＝180°－∠BOA=120°，
∴△BOF为顶角为120°的等腰三角形
①AO=AM=2时，点M与点重合，此时∠OAC’＝120°，满足相似
∴M
②OA=OM=2时，点M与点关于直线x=1对称，此时∠AOM＝120°，满足相似
∴M
③MO=MA时，点M为抛物线顶点（1，），此时tan∠AOM＝，
∴∠AOM＝30°，满足相似
∴M
综上∶M的坐标为：，，．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与面积的综合计算，二次函数与相似三角形的综合问题，掌握二次函数的计算与几何图形的性质是解答本题的关键．
14．（2022·内蒙古包头·包钢第三中学校考三模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，联结、．
(1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如果点在抛物线上，平分，求点的坐标：
(3)如果点在抛物线的对称轴上，与相似．求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)(2，−2)或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）作线段AB关于CB的对称线段EB，连接CE，则可证得△ABC≌△EBC，则可得CB是∠ACE的平分线；则易得点E的坐标，可求得直线CE的解析式，并与二次函数解析式联立即可求得点P的坐标；
（3）分两种情况考虑：∽；∽，利用相似三角形的性质即可求得点Q的坐标．
（1）
解：把、代入中，得：，
解得：，
所求抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点D的坐标为(2，1)；
（2）
解：作线段AB关于CB的对称线段EB，其中点E与点A是对称点，连接CE，如图．
则∠EBC=∠ABC，EB=AB．
在中，令x=0，则y=−3，即C(0，−3)，
∴OC=3，
∵，，
∴OB=OC=3，OA=1，
∴EB=AB=OB−OA=3−1=2．
∵∠BOC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠EBC=∠ABC=45°，
∵AB=EB，BC=BC，
∴△ABC≌△EBC，
∴∠ACB=∠ECB，
∴CB是∠ACE的平分线；
∵∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，
即EB⊥AB，且EB=2，
∴E的坐标为(3，−2)；
设直线CE的解析式为，把C、E两点坐标分别代入得：，
解得：，
即直线CE解析式为；
由消去y并整理得：，
解得：或x=0(舍去)，
当时，，
即点P的坐标为；
（3）
设抛物线对称轴交x轴于点F，如图，则F(2，0)．
∴BF=1，
由顶点D的坐标得DF=1，
即DF=BF
∴∠BDF=∠ABC=45°．
由勾股定理得DB=，．
设点Q的坐标为，则．
①当∽时，则，
即，
∴，
解得：，
即点Q坐标为(2，−2)；
②当∽时，则，
即，
∴，
解得：
即点Q坐标为；
综上满足条件的点Q的坐标为(2，−2)或．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定的运算量，熟练运用这些知识是解题的关键．
15．（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点，交于点，于点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)如图，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，坐标为或或或
【分析】（1）把和的坐标代入抛物线解析求出a和b即可求解；
（2）求出直线的解析式为，设，则，由三角形面积可得出或，则可得出答案；
（3）分两种情况，①若，②若，由相似三角形的性质可求出的长，求出点坐标，联立直线和抛物线的解析式可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线y=a+bx-3交x轴于，两点，
∴ ，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴时，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
设直线AC的解析式为，
∴ ，
∴，
∴直线AC的解析式为，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：∵，，，
∴，，，
若以A，O，N为顶点的三角形与相似，可分两种情况：
①若，
∴，
∴，
∴，
过点N作于点K，
∴，
∴，
∴，
∴直线ON的解析式为，
∴ ，
∴，
∴或（；
②若，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理ON的解析式为，
∴ ，
∴，
∴或．
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的性质等相关知识是解题关键．
16．（2022·山西晋中·统考二模）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)连接，若的中点为点，请你求经过点和点的直线表达式；
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，或或或或或
【分析】（1）直接根据解析式即可求出B，C的坐标；
（2）先根据中点坐标公式求出，再利用待定系数法，即可求解；
（3）根据点与点关于该抛物线的对称轴对称．，可得，，设，再根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P的坐标．
（1）
解：∵，
令，得，
∴，
令，得，
解得：，，
∴；
（2）
解∶ 由（1）得，
∵的中点为点，，
∴点坐标为，即，
设直线的表达式为，
由，得：
，解得，
∴直线的表达式为；
（3）
解：存在点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点与点关于该抛物线的对称轴对称．，
∴，，
∵，
∴，
根据题意得：，
设，
∴当时，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴或．
∴当时，，
∴，
∴，即：，
解得：，，，
∴或或或．
∴存在点坐标为或或或或或
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键．
17．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）在平面直角坐标系中， 抛物线 与 轴交于点 、点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ， 且过点 ．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图 1， 点 为直线 上方抛物线上 （不与 重合） 一动点， 过点 作 轴， 交 于 ，过点 作 轴， 交直线 于 ， 求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图 2， 将原抛物线沿 轴向左平移 1 个单位得到新抛物线 ， 点 为新抛物线 上一点， 点 为原抛物线对称轴上一点， 当以点 为顶点的四边形为平行四边形时， 求点 的坐标， 并写出求其中一个 点坐标的解答过程．
【答案】(1)
(2)最大值为，
(3)（1，3）或（1，-3）．
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据相似三角形的性质可表达PE+BD的值，再利用二次函数的性质求出最值；
（3）分两种情况：当AC为平行四边形ACNM的边时，当AC为平行四边形ACNM的对角线时，分别利用点的平移和中点坐标公式进行求解即可．
（1）
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）
对于
令则，
∴
令则
解得，
∴
∴
设直线的解析式为
把代入得，
解得，，
∴设直线的解析式为
延长PD交x轴相交于点F，设
∴
∴
∴，
∵轴，轴，
∴∠
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∴当时，的最大值为，此时
（3）
∵
∴该抛物线的对称轴为直线
将抛物线向左平移1个单位后的解析式为：
若以为顶点的四边形是平行四边形有两种情况；
①以AC为边，如图，
根据平行四边形的性质可知：
由图可知，点A向右平移3个单位，再向下平移若干个单位，即可得到点N，
∴将点C（0，3）向右平移3个单位，再向下平移若干个单位，可得到点M，
∴点M的横坐标为：0+3=3，
当时，
∴
设点，
∵,
∴,
解得，
∴点N的坐标为或；
②当AC为平行四边形的线时，
∵
∴AC的中点坐标为：，即
设，
由中点坐标公式得，
∴，
当时，，
∴
∴
∴
∴点N（1，3），
综上，点N的坐标为（1，3）或（1，-3）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法示函数解析式，二次函数最值问题，中点坐标公式，平行四边形存在性等知识，包括分类讨论思想等，（3）关键是进行正确的分类讨论．
18．（2022·四川绵阳·统考三模）如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（－1，0）， B（3，0），C（0，3）．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求的值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)的值为1
【分析】（1）设抛物线解析式为，代入A（－1，0），B（3，0），C（0，3）求解即可；
（2）作，交于点，分两种情况，在上方或下方，利用相似三角形的性质，求得的坐标，得到的解析式，联立抛物线，即可求解；
（3）作，则，得到，由题意可得：，同理可得，，即可求解．
（1）
解：设抛物线解析式为，代入A（－1，0），B（3，0），C（0，3），可得
，解得
故抛物线解析式为；
（2）
解：存在，理由如下：
作，交于点
当在上方时，作轴，连接并延长交抛物线于点，如下图：
由题意可得：，，，，则，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴
∴，即
解得
∴，故
设解析式为，则，解得
即，
联立抛物线可得，，即
解得，（舍去）
则，
当在下方时，作轴，连接交抛物线于点，如下图：
可得，
此时
设解析式为，则，解得
即，
联立抛物线可得，，即
解得，（舍去）
则
综上所述，
（3）
解：，理由如下：
作，如下图：
则，得到，
由题意可得：，
同理可得，，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握相关基础性质，学会利用数形结合的思想求解问题．
19．（2023·山西太原·山西大附中校考一模）已知抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线的解析式 ；
(2)如图1，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，点，在抛物线上，交抛物线于点．求点的坐标；
(3)已知点，在抛物线上，轴，点在点的左侧，过点的直线与抛物线只有一个公共点与轴不平行），直线与抛物线交于另一点．若线段，设点，的横坐标分别为，，直接写出和的数量关系（用含的式子表示为 ．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）逆向考虑，抛物线平移到抛物线，即可求抛物线的解析式；
（2）求出、、的点的坐标，设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，可以证明ΔBNQ∽ΔPMB，由相似可得，求出即可；
（3）求出、、点坐标，设的解析式为，将点代入解析式可得，再由直线与抛物线只有一个交点，联立方程，由判别式△可得，则直线为，在求出点坐标代入的解析式即可求解．
【详解】（1）由已知可知，抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线，
抛物线，
故答案为：；
（2），
令，，
解得或，
，，
点，在抛物线上，
，解得，
，，
设，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示，
，
，
，
，
，
，
或，
点在第二象限，
，
，；
（3）点与在上，
，
轴，
，
设的解析式为，
，
，
，
直线与抛物线只有一个交点，
，
△，
，
直线的解析式为，
，设点D的坐标为(x，y)
∴，
∴
，
∵点D在直线MD上
，
整理得，，
，
故答案为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的平移特点，通过构造直角三角形相似求点的坐标，并会求直线与抛物线交点坐标是解题的关键．
20．（2022·江苏镇江·统考一模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、 （点在点左侧），与轴交于点．
(1)连接，则 °；
(2)如图2，若经过、、三点，连接、，若与 的周长之比为，求该抛物线的函数表达式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，抛物线对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为
【分析】（1）根据函数表达式，分别求出、，继而得到、是等腰直角三角形，即可得解；
（2）根据三角形外接圆圆心和圆周角定理可得是等腰直角三角形，继而表示出的周长为：，再根据是等腰直角三角形表示出的周长为：，最后利用周长之比即可求出值，代入抛物线表达式即可得解；
（3）在（2）的条件下求出，，抛物线的对称轴为直线，以及点，继而得到，，，然后设，表示出，分情况讨论求出值即可解答．
【详解】（1）解：根据题意，在函数中，
当时，，
解得：，
∴，即，
当时， ，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
又∵点是的外接圆圆心，
∴, ,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴ ，
∴的周长为： ；
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴的周长为： ，
又∵与 的周长之比为，
∴ ，
解得，（舍去），
∴该抛物线的函数表达式为；
（3）解：存在；
在（2）的条件下，，，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点是的外接圆圆心，点为抛物线与轴的交点，
∴点也在直线上，
设直线与相交于点，如图所示，
则，，，
∴ ，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴点是抛物线对称轴上在点下方一动点，
∴设（），
∴，
∴当时，
∴ ，
解得：，（舍去）；
当时，
∴，
解得：，（舍去）；
综上所述，点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数几何综合，以及圆的有关性质定理，熟练掌握圆周角定理，外接圆圆心性质，两点间的距离公式、勾股定理及相似三角形的性质与判定进行分类是解题的关键．