中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题33旋转综合题中的线段问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题33旋转综合题中的线段问题(原卷版+解析)，共53页。
一、单选题
1．（2022·山西省运城市实验中学九年级阶段练习）如图，在中，，点D，E分别是，上的一点，将沿直线折叠，点A落在处，若四边形是菱形，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·广东佛山·九年级期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2022·安徽·怀远县刘圩初级中学九年级期中）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
5．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）如图，矩形ABCD沿EF折叠后，若∠DEF＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．70°B．55°C．40°D．35°
6．（2022·广西·平果市教研室九年级期末）如图，在中，，，，，点D在边上，连接，如果将沿翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线的距离为（ ）
A．B．4C．D．
7．（2022·重庆·忠县花桥镇初级中学校九年级阶段练习）如图，在中，，，点D是边上一点（点D不与点B，C重合），将沿翻折，点C的对应点为点E，交于点F，若，则点B到线段的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·重庆·西南大学附中九年级阶段练习）如图，在中，，，点D是AB的中点，将沿着CD翻折到的位置，若，则（ ）
A．B．10C．15D．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为．将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·河南洛阳·二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·吉林·长春力旺实验初级中学九年级阶段练习）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全国·九年级期中）如图，四边形是边长为的正方形纸片，为边上的点，，将纸片沿某条直线折叠，使点落在点处，点的对应点为，折痕分别与，边交于点、，则的长是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，点D在AC上运动，连接BD，把△BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
14．（2022·山东济南·九年级期中）如图，在矩形中，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，则的值为 _____．
15．（2022·重庆一中九年级开学考试）如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连接．将沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 __．
16．（2022·广东·丰顺县建桥中学九年级阶段练习）如图，已知在菱形中，，，点是上的一个动点，过点作交于点，交于点，将沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的长为____．
三、解答题
17．（2022·山西省运城市实验中学九年级阶段练习）综合与实践
问题情境：如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．
独立思考：
(1)在图1中，若，，则的长为______；
实践探究：
(2)在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)如图2，在中，，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由．
18．（2022·四川·成都西川中学九年级阶段练习）如图1，在正方形中，，分别为，的中点，连接，，交点为．
(1)求证：；
(2)将沿对折，得到（如图，延长交的延长线于点，求的值．
19．（2022·河南·郑州外国语中学九年级期中）如图，在四边形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，折痕交于点E，连接．
(1)请确定四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，过点作于F，连接交于点M，连接：
①四边形的面积为_______；
②=_______．
20．（2022·广东·丰顺县北斗镇千顷中学九年级阶段练习）如图，在菱形 中，，将菱形折叠，使点 恰好落在对角线 上的点 处（不与 ， 重合），折痕为 ，若 ，，则 的长为____．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，，，．
(1)求∠ABC的度数；
(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，过点A作，垂足为F，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接DE，若四边形ABCD的面积为45，，求DE的长．
22．（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）（1）如图，在正方形中，是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，并延长交于点求证：；
（2）在（1）的条件下，如图，延长交边于点若，求的值；
（3）如图，四边形为矩形，同样沿着折叠，连接，延长分别交于两点，若，则的值为___________（直接写出结果）
23．（2022·浙江·宁波外国语学校九年级阶段练习）已知一个直角三角形纸片，其中，，，点、分别是、边上的一动点，连接，将纸片的一角沿折叠．
(1)若折叠后点落在边上的点处（如图，且，求的长；
(2)若，折叠后点的对应点为点（如图，连结．
①若点恰好在边上（如图，求的长．
②求的最小值．
24．（2022·吉林·长春市第一〇八学校九年级期中）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
(2)[结论应用]如图2，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连接，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么 ．
(3)如图3，在中，是边上的高线，是边上的中线，G是的中点，．若，则 ．
25．（2020·新疆师范大学附属中学九年级期中）在平行四边形中，，已知，将沿翻折至，连接交边于点O．
(1)如图，若，求的度数；
(2)若，
①当的长为多少时，四边形是矩形．
②设，求y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围．
例2 如图，在中，，是斜边上的中线．求证： ．
证明：延长至点E，使，连接．
专题33 旋转综合题中的线段问题
【题型演练】
一、单选题
1．（2022·山西省运城市实验中学九年级阶段练习）如图，在中，，点D，E分别是，上的一点，将沿直线折叠，点A落在处，若四边形是菱形，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由折叠的性质，可得，由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：将沿直线折叠，点A落在处，
，
四边形是菱形，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是利用灵活应用相关性质解题．
2．（2022·广东佛山·九年级期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，设，则，由直角三角形的性质可得：，解方程求出x即可得出答案．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
3．（2022·安徽·怀远县刘圩初级中学九年级期中）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明△BEO∽△BAF，可得，再证明△AGE∽△ACB，，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．
∵四边形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴，
∴，
在中，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，
∴EF=2.5，
∵EF∥BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴，
∴，
∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出∠A的度数即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
，
根据折叠可知，，
∴，
，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．
5．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）如图，矩形ABCD沿EF折叠后，若∠DEF＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．70°B．55°C．40°D．35°
【答案】C
【分析】根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据折叠的性质以及平角的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵∠DEF＝70°，
∴，
∵折叠的性质，
∴∠1．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，平行线的性质，掌握折叠的性质与平行线的性质是解题的关键．
6．（2022·广西·平果市教研室九年级期末）如图，在中，，，，，点D在边上，连接，如果将沿翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线的距离为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】先证是等边三角形，可得，由折叠的性质可得，，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点E作于N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将沿翻折后，点B的对应点为点E，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点E到直线的距离为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7．（2022·重庆·忠县花桥镇初级中学校九年级阶段练习）如图，在中，，，点D是边上一点（点D不与点B，C重合），将沿翻折，点C的对应点为点E，交于点F，若，则点B到线段的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过A作于G，过B作于H，依据等腰三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，即可得到的长，再根据勾股定理即可得到的长，最后依据面积法即可得出的长，进而得到点B到线段的距离．
【详解】解：如图，过A作于G，过B作于H，
∵，
∴，，
∵，
∴，， 由折叠的性质得：，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴中，，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理的运用，二次根式的除法运算，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
8．（2022·重庆·西南大学附中九年级阶段练习）如图，在中，，，点D是AB的中点，将沿着CD翻折到的位置，若，则（ ）
A．B．10C．15D．
【答案】C
【分析】设相交于点O，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得：，由翻折的性质得，根据平行线的性质可得，利用可得,则，根据勾股定理求出，即可得的值．
【详解】解：设相交于点O，如图所示：
在中，，，点D是AB的中点，
，
由翻折得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握其相关的性质．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为．将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，过作轴于点，延长交于，由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，，，则，，证明，则，即，计算求出、的长，进而可得点坐标．
【详解】解：如图，过作轴于点，延长交于，
由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了翻折的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于构造、，利用相似的判定与性质求出线段、的长．
10．（2022·河南洛阳·二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先确定线段EF的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可求出答案．
【详解】解：连接BF，则EF≥BF－BE，当点B、E、F在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图
由翻折的性质，BE=AB=4，
在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，
∵点F为边的中点，
∴CF=2，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知识，正确找出线段最小值的临界点，从而进行解题．
11．（2022·吉林·长春力旺实验初级中学九年级阶段练习）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后=∠EAD-∠CAD即可求出．
【详解】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形，
∴CD=BD=AD，
∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到，
∴△CDE≌△CDB，
则CD=BD=AD=ED，
∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=，
∴∠EDC=180°-2，
∵，
∴∠AED=∠EDC=180°-2，
∵ED=AD，
∴∠EAD=∠AED=180°-2，
∵∠B=，△ABC为直角三角形，
∴∠CAD=90°-，
∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级期中）如图，四边形是边长为的正方形纸片，为边上的点，，将纸片沿某条直线折叠，使点落在点处，点的对应点为，折痕分别与，边交于点、，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接BM，，，依据MN垂直平分，即可得到，设AM＝x，则DM＝9−x，依据勾股定理可得方程92＋x2＝62＋（9−x）2，即可得到AM的长．
【详解】解：如图，连接BM，，，
由折叠可得，B，关于MN对称，即MN垂直平分，
∴，
设AM＝x，则DM＝9−x，
∵，
∴，
∵Rt△ABM中，BM2＝92＋x2，
中，，
∴92＋x2＝62＋（9−x）2，
解得x＝2，
∴AM＝2，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及轴对称的性质的运用，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
13．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，点D在AC上运动，连接BD，把△BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作AF⊥BC，利用等腰直角三角形和勾股定理求出AC，再利用△ABE∽△ACB求出AE，从而利用求出DE和CD，作BG⊥AC，求出BG，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴AF＝CF，ACCF，
∵AB＝5，BC＝4，
∴BF＝BC﹣CF＝4CF，
在Rt△ABF中，
AB2＝BF2+AF2，
即52＝（4CF）2+CF2，
解得：CF或，
∵AB＜AC，
∴AF＝CF，
∴ACCF＝7，
∵△BCD沿BD折叠得到△BC′D，
∴，，
∵C′DAB，
∴∠ABE＝∠C′＝45°，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝45°+∠CBE，∠ABE＝∠C+∠CBE＝45°+∠CBE，
∴∠ABC＝∠ABE，
∴△ABC∽△AEB，
∴，
即，
∴AE，
∴CE＝AC﹣AE，
∴C′D＝CD＝CE﹣DEDE，
∵C′DAB，
∴，
∴，
即 ，
解得：DE，
∵S△ABCAF•BC414，
如图，过点B作BG⊥AC于点G，
∵S△ABCAC•BG，
∴147×BG，
∴BG＝4，
∴S阴影部分DE•BG4．
故选：D．
【点睛】本题考查图形折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是正确作出辅助线，依次求出AF，AC，DE，BG．
二、填空题
14．（2022·山东济南·九年级期中）如图，在矩形中，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，则的值为 _____．
【答案】##
【分析】先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，熟练的掌握轴对称的性质结合方程思想解题是关键．
15．（2022·重庆一中九年级开学考试）如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连接．将沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 __．
【答案】
【分析】过点作于点，由勾股定理得出，设，利用含30度角的直角三角形的性质得出，，利用折叠的性质得出，，再由相似三角形的判定和性质及图中线段间的数量关系求解即可．
【详解】解：过点作于点，
，，，
，
设，
，
，，
由折叠得：，
，
∵，
，
，
，
解得：，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点并结合图形求解是解题关键．
16．（2022·广东·丰顺县建桥中学九年级阶段练习）如图，已知在菱形中，，，点是上的一个动点，过点作交于点，交于点，将沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的长为____．
【答案】或
【分析】分两种情形①当与O重合时，是直角三角形，此时．②当时，是直角三角形，此时，列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图，连接交于O．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，是由翻折得到，
∴，
①当与O重合时，是直角三角形，
此时．
②当时，是直角三角形，
此时，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的的长为或．
【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，是由中考填空题中的压轴题．
三、解答题
17．（2022·山西省运城市实验中学九年级阶段练习）综合与实践
问题情境：如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．
独立思考：
(1)在图1中，若，，则的长为______；
实践探究：
(2)在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)如图2，在中，，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据折叠的性质以及等腰三角形等边对等角可得，，，结合三角形的内角和即可得出结论；
（3）先根据有一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形，证明四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在中，点D是的中点，
∴，
根据勾股定理可得：，
故答案为：．
（2）．理由如下：
方法一：∵，，
∴．
∴，．
设，则，．
∴．
由折叠可得：，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
方法二：∵，，
∴．∴．
设，则，．
由折叠可得：，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
（3）四边形CDAE是菱形
方法一：∵，，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴，．
∴．
由折叠可得：，，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
方法二：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴，是等边三角形．
∴，．
∴．
由折叠可知：，，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，折叠的性质，等腰三角形的性质，以及平行线的判定和菱形的判定；解题的关键是熟练掌握各个知识点，明确折叠前后对应边对应角相等，等腰三角形等边对等角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行线的判定定理和菱形的判定定理．
18．（2022·四川·成都西川中学九年级阶段练习）如图1，在正方形中，，分别为，的中点，连接，，交点为．
(1)求证：；
(2)将沿对折，得到（如图，延长交的延长线于点，求的值．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）运用，再利用角的关系求得求证；
（2）沿对折，得到，利用角的关系求出，解出，求解．
【详解】（1）证明：∵，分别是正方形边，的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：根据题意得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，点是的中点，则，
在中，设，则，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数的计算，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判断，解直角三角形的综合应用．
19．（2022·河南·郑州外国语中学九年级期中）如图，在四边形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，折痕交于点E，连接．
(1)请确定四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，过点作于F，连接交于点M，连接：
①四边形的面积为_______；
②=_______．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)①2；②
【分析】（1）依题意，又，则，则，则，则四边相等，可得四边形CDC′E是菱形；
（2）①过点D作，根据菱形的性质以及含30度的直角三角形性质即可得出，进而求出菱形的面积；
②根据菱形的性质得出，根据勾股定理得出，然后可知，根据勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得．
【详解】（1）四边形是菱形．
理由如下：根据折叠的性质，可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形
（2）①
过点D作，
∵，四边形为菱形，
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
故答案为：2．
②∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，折叠的性质，正确理解题意是解题的关键．
20．（2022·广东·丰顺县北斗镇千顷中学九年级阶段练习）如图，在菱形 中，，将菱形折叠，使点 恰好落在对角线 上的点 处（不与 ， 重合），折痕为 ，若 ，，则 的长为____．
【答案】##
【分析】过点作于， 根据菱形的性质可证明是等边三角形，进而可得到，，设，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作于，则
由折叠性质得，
∵在菱形 中，，
∴,，
∴是等边三角形，
∴，，即，
∴，，
设，则，，，
在中，，
由得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、折叠性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，，，．
(1)求∠ABC的度数；
(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，过点A作，垂足为F，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接DE，若四边形ABCD的面积为45，，求DE的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)12
【分析】（1）以点A为圆心，AC为半径作圆A，根据题意得，即可得点B在圆A上，根据圆的性质得，则是等腰直角三角形，即可得；
（2）过点A作交BD于点G，则，由等腰直角三角形的性质得
，，由折叠的性质得，，，，设，则，，根据得，即可得，利用AAS可证，即，即可得；
（3）作交于点M，交于点N，延长BC交DE于点H，则，根据题意运用勾股定理即可得，即可得三角形ABC的面积，即可得CN的长度，在中，根据勾股定理即可得AN的长度，用AAS证明，即可得，即可得三角形BCD的面积为，可得，即可得．
【详解】（1）解：如图所示，以点A为圆心，AC为半径作圆A，
∵，，
∴，
∴点B在圆A上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：如图所示，过点A作交BD于点G，
则，
由（1）得，，，
∴，，
由折叠的性质得，，，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和，
∴（AAS），
∴，
∴；
（3）解：如图所示，作交于点M，交于点N，延长BC交DE于点H，
则，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴
，
∴，
∵四边形ABCD的面积为45，
∴
在中，根据勾股定理得，
，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，
∴，
∴，
即，
，
即．
【点睛】本题考查了翻折的性质，圆的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质和翻折的性质，本题综合性强．
22．（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）（1）如图，在正方形中，是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，并延长交于点求证：；
（2）在（1）的条件下，如图，延长交边于点若，求的值；
（3）如图，四边形为矩形，同样沿着折叠，连接，延长分别交于两点，若，则的值为___________（直接写出结果）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】根据证明三角形全等即可；
如图中，连接根据，求出即可解决问题；
如图中，连接由，可以设，根据相似三角形的判定和性质可得，则，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】证明：如图中，
是由折叠得到，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
；
解：如图中，连接．
，
，
由折叠可知，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
设，
，
由折叠可知，
，
，
，
或舍弃，
，
；
解：如图中，连接．
由，
设，
由知，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
或舍弃，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
23．（2022·浙江·宁波外国语学校九年级阶段练习）已知一个直角三角形纸片，其中，，，点、分别是、边上的一动点，连接，将纸片的一角沿折叠．
(1)若折叠后点落在边上的点处（如图，且，求的长；
(2)若，折叠后点的对应点为点（如图，连结．
①若点恰好在边上（如图，求的长．
②求的最小值．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）由折叠的性质得出，，得出，由已知得出，证明，得出，即可求出的长；
（2）①如图3中，漏解交于点．证明四边形是菱形，求出菱形的边长，再利用相似三角形的性质求解即可；
②由①可知，四边形是菱形，推出，推出点的运动轨迹是的角平分线，推出当时，的值最小．
【详解】（1）如图1中，
的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，
，，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，即，
；
（2）①如图3中，连接交于点．
，，，
，
四边形是菱形，
，，，
，
设，
，，
，
，
则，，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
；
②如图，
由①中图形可知，四边形是菱形，
，
，
点的运动轨迹是的角平分线，
当时，的值最小，
此时．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
24．（2022·吉林·长春市第一〇八学校九年级期中）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
(2)[结论应用]如图2，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连接，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么 ．
(3)如图3，在中，是边上的高线，是边上的中线，G是的中点，．若，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图1中，延长到E，使，连接、，证得四边形是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；
（2）如图2中，设交于点O．证明，求出，证明，可得结论；
（3）连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】（1）证明：延长到E，使，连接，
∴则．
∵是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：如图2中，设交于点O．
∵，
∴，
∴．
由翻折的性质可知．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）解：如图3中，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，解决问题．
25．（2020·新疆师范大学附属中学九年级期中）在平行四边形中，，已知，将沿翻折至，连接交边于点O．
(1)如图，若，求的度数；
(2)若，
①当的长为多少时，四边形是矩形．
②设，求y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)∠ACB=45°；
(2)①当BC=4时，四边形是矩形；②．
【分析】（1）由题意及平行四边形的性质可得∠ACB=∠ACB'=∠CB'D=∠AB'D−∠AB'C=∠AB'D−∠B=75°−30°=45°；
（2）①由四边形是矩形可得∠BAC=90°或∠BCA=90°，再根据直角三角形的性质和勾股定理可以得到BC的值；
②分别过A、O作BC的垂线，垂足为E和F，然后根据勾股定理和矩形的性质可以得到y与x的关系式．
【详解】（1）∵△ABC沿AC翻折至△AB'C，
∴△ABC≌△AB'C，∠ACB=∠ACB'，BC=B'C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴B'C=AD，∠ACB=∠CAD．
∴∠ACB'=∠CAD=，
∴AO=CO．
∴B'O=DO．
∴∠CB'D=∠B'DA=（180°-B'OD），
∵∠AOC=∠B'OD，
∴∠ACB'=∠CB'D，
∴∠ACB=∠CB'D=∠AB'D−∠AB'C=∠AB'D−∠B=75°−30°=45°；
（2）①若四边形是矩形，如图①，∠BAC=∠B'AC=90°，
在RT△ABC中，设BC=x，则AC=，由勾股定理可得：
即，
解之可得x=4或-4（不符题意，舍去），即BC=4；
②如图②，分别过A、O作BC的垂线，垂足为E和F，
∴四边形OAEF是矩形，
∴OA=EF，
则在RT△OFC中，OC=y，OF=AE=，
由折叠得∠ACB=∠ACO，
由平行四边形得AD∥BC，
则∠OAC=∠ACB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴OA=OC=y，
∴FC=BC-BE-EF=x-3-y，
由勾股定理可得：，
整理可得：，
∵连接交边于点O，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理的应用、矩形的性质和平行四边形的性质是解题关键．
26．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市铁锋区教师进修学校九年级期中）综合与实践
“综合与实践”是以问题为中心，以活动为平台，以解决某一实际的数学问题为目标，综合应用知识和方法解决问题，它是对数学知识的延伸和发展，是对理解、运用数学基础知识和基本技能的升华过程.请同学们运用你所学的数学知识来研究和解决以下问题吧.
动手操作
第一步：在图1中，测得三角形纸片中，，．
第二步：将图1中的纸片折叠，使点落在边上的点处，然后展平，得到折痕，连结、，如图2．
解决问题
请根据图2完成下列问题
(1)______（请正确选择“>”、“=”、“