中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题38二次函数中的宽高模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题38二次函数中的宽高模型(原卷版+解析)，共21页。
【模型证明】
【题型演练】
1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；
在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．
（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．
①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；
②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．
3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．
①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；
②若tan∠AED=，求此时点D坐标；
（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于 （直接写出答案）
4．（2020·浙江杭州·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点坐标为．则与的面积之比是（ ）．
A．B．C．D．
5、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标;
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
6、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
7、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
8、如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
图-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
9、如图，抛物线与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.
特点
面积处理之“宽高模型”
如图，试探究△ABC面积.
如图1，过点C（定点）作CD⊥x轴交AB于点D，则S△ABC=S△ACD+S△BCD
图1
图2
如图2，过点B作BF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AG⊥x轴于点G，则
S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG
说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水平宽，CD可称为△ABC的铅垂高，即S△ABC=×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式”
结论
S△ABC=×水平宽×铅垂高
解决方案
1、如图3，过点A作AD⊥x轴交BC的延长线于点D，则S△ABC=S△ABD-S△ACD
图3
图4
如图4，过点B作BH⊥AD交于点H，则
S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC
说明：OC是△ABC的水平宽，AD是△ABC的铅垂高.
2、如图5，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，则S△ABC=S△ABD+S△BCD
图5
图6
如图6，过点C作CH⊥BD于点H，过点A作AG⊥x轴于点G，交BD的延长线于点E，则
S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG
说明：BD是△ABC的水平宽，AG是△ABC的铅垂高.
3、如图7，过点A作AE⊥y轴于点E，延长AE交BC反向延长线于点D，
则S△ABC=S△ACD-S△ABD
图7
图8
如图8，过点C作CF⊥AD交于点F，则
S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB
说明：AD是△ABC的水平宽，OB是△ABC的铅垂高.
[反思总结]无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美.
专题38 二次函数中的宽高模型
【模型展示】
【模型证明】
【题型演练】
1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；
解：（1）y=-x2-2x+3；
如图，过点P作PQ//y轴，交AC于点Q，
∵A（-3,0），B（0,3）
∴直线AC：y=x+3
设P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3）
∴PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x
∴S△PAC=PQ·OA
∴（-x2-3x）·3=3
解得：x1=-1,x2=-2
∴P（-1,4）或（-2,3）
在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．
（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．
①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；
②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．
解：（1）①由题意：a=4．
当t＞2时，h=t-1，
则4（t-1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；
当t＜1时，h=2-t，
则4（2-t）=12，可得t=-1，故点P 的坐标为（0，-1）；
②∵根据题意得：h的最小值为：1，
∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；
故答案为：4；
（2）∵E，F，M三点的“矩面积”为8，
∴a=4，h=2，∴0≤m≤．
∵m＞0，
∴0＜m≤．
3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．
①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；
②若tan∠AED=，求此时点D坐标；
（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于 （直接写出答案）
解：（1）将A（-4，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+6（a≠0），
可得：a=，b=
∴y=x2x+6
（2）①如图所示，由“宽高模型”易证得S△ADE=DF·OE
由A（-4,0）E（0，-2）可得：直线AE解析式为：y=x-2
设D（x，x2x+6）则F点的纵坐标为x2x+6
∵点F在直线AE上，∴F的横坐标为x2x-16
∴DF=x2x+16
又OE=2
∴S△ADE=DF·OE=x2x+16=（x+）2+
∵