中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题31轴对称综合题中的角度问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题31轴对称综合题中的角度问题(原卷版+解析)，共37页。
一、单选题
1．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．82°B．84°C．88°D．92°
4．如图，在正五边形中，点是的中点，点在线段上运动，连接，，当的周长最小时，则（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
5．如图，在边长为2的等边中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边，连接DF.当的周长最小时，的度数是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
二、填空题
6．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______．
7．如图，在锐角△ABC中，∠BAC  40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM  MN有最小值时，_____________°．
8．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度．
9．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______．
10．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为__．
11．如图，P是内一点，点M，N分别在边OA，OB上运动．若，，则的周长最小值为____________，此时的度数为____________．
12．小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物，因为食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放弃，一直慢慢往回爬．一会它咬住食物使劲往后拖，一会又咬住食物来回转圈，小茗同学急的想帮它．于是他连续几天都在观察，发现这个花圃的形状，如图，是一个锐角三角形，且∠ACB=50°，边AB上一定点P是小蚂蚁的家，小蚂蚁从家出发，它沿直线寻找食物，线路是从P出发走到AC，再从AC走到BC，最后回到家．假设M、N分别是AC和BC边上的动点，小茗同学想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线，所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的PMN周长最小时，∠MPN的度数为______．
13．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于___时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形．
三、解答题
15．（1）如图1，是边长为4的等边三角形的中线，点P、E分别在、上，且则的最小值为________；
（2）如图2，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）
16．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，每个小正方形的顶点称为格点，例如图中点、仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图并回答问题：
（1）作出线段关于y轴对称的线段，并写出点B的对应点D的坐标是（________）；
（2）过点A作一直线l，使得线段（保留画图过程的痕迹）；
（3）在x轴上找点M，使（保留画图过程的痕迹）．
17．在中，，，直线上有一点，连接，分别为A关于直线的对称线段．
(1)如图，当点在线段上时，求和的度数；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，
①依题意补全图；
②探究是否存在点，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
18．如图，和关于直线对称，和关于直线对称．
（1）画出直线；
（2）直线与相交于点O，试探究与直线、所夹锐角的数量关系．
19．如图①，在△ABD中；∠A＝60°，AD＝2AB＝4cm，将△ABD绕BD中点O旋转180°得到△CDB，点E是AD的中点，点P从点A出发，沿折线A→B→C以1cm/s的速度向终点C运动，连接PE，设运动时间为t（s）．
(1)BC＝ ；
(2)用含有t的代数式表示PB的长；
(3)当PE将四边形ABCD的周长分成2∶3两部分时，求t的值；
(4)如图②．在点P运动过程中，作点A关于直线PE的对称点，连接．当所在直线与四边形ABCD的边垂直时，请直接写出∠AEP的度数．
20．【定义】如图1，平分，则称射线关于对称．
(1)【理解题意】如图1，射线关于对称且，则_______度；
(2)【应用实际】 如图 2，若在内部，关于对称， 关于对称， 求的度数；
(3)如图3, 若在外部，且关于对称，关于对称，求的度数；
(4)【拓展提升】 如图4， 若关于的边对称， ，求 ．（直接写出答案）
21．有一张矩形纸片ABCD，其中AB＝10，AD＝6，现将矩形纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形纸片的边的交点），再将纸片还原．

(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．
①当点P与点A重合时，∠DEF＝________°，当点E与点A重合时，∠DEF＝________°，当点F与点C重合时，AP＝________；
②若点P为AB的中点，求AE的长；
(2)若点P落在矩形ABCD的外部（如图②），点F与点C重合，点E在AD上，BA与FP交于点M，当AM＝DE时，请求出AE的长；
(3)若点E为动点，点F为DC的中点，直接写出AP的最小值．
专题31 轴对称综合题中的角度问题
【题型演练】
一、单选题
1．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据菱形的性质可知,根据垂直平分线的性质可知,即可求得，进而求得，根据对称性可知，即可求得．
【详解】四边形是菱形，
，
,
垂直平分，
，
，
菱形是轴对称图形，是它的一条对称轴，关于对称，
．
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，掌握以上性质是解题的关键．
2．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，
连接，，，其中交于，交于，
此时的周长最小值等于的长，
由轴对称性质可知：，，，，
，
，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
3．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．82°B．84°C．88°D．92°
【答案】D
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可．
【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，
∴，，，
根据轴对称的性质可得，，
∴的周长的最小值为长度，
由轴对称的性质可得，
∴等腰中，
，
∴
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
4．如图，在正五边形中，点是的中点，点在线段上运动，连接，，当的周长最小时，则（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
【答案】C
【分析】如图，连接EC，GC，设EC交AF于点G′，连接DG′．证明当点G与G′重合时， EG+DG的值最小，的周长最小，即求出可得结论．
【详解】解：如图，连接EC，GC，设EC交AF于点G′，连接DG′．
∵正五边形ABCDE中，点F是DC的中点，AF⊥DC，
∴D，C关于AF对称，
∴GD=GC，
∵EG+GD=EG+GC≥EC，
∴当点G与G′重合时，EG+DG的值最小，△DEG的周长最小，
∵ABCDE是正五边形，
∴ED=DC，∠EDC=108°，
∴∠DEC=∠DCE=36°，
∵G′D=G′C，
∴∠G′DC=∠DCG′=36°，
∴∠D G′C=108°，
∴∠EG′D=180°-∠DG′C=180°-108°=72°．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
5．如图，在边长为2的等边中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边，连接DF.当的周长最小时，的度数是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【答案】A
【分析】作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则当B，F，G在同一直线上时，的周长最小，等于线段BG长，然后根据已知条件和等边三角形的性质可以得到，，从而根据等腰三角形的性质可以得到．
【详解】解：如图，连接CF，
∵、都是等边三角形，
∴，，
，
∴，
∴，
在和中，，∴，
∴，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则，
∴当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段BG长， 的周长最小，
由轴对称的性质，可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴,
故选A．
【点睛】本题考查轴对称的综合应用，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题关键．
二、填空题
6．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______．
【答案】60°##60度
【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β），
∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题．
7．如图，在锐角△ABC中，∠BAC  40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM  MN有最小值时，_____________°．
【答案】50
【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM  MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；
【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
∵AM=AM，
∴△AME≌△AMN，
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；
故答案为：50．
【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．
8．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度．
【答案】84
【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度．
【详解】作点关于的对称点，连接，，；
∴，，
作点关于的对称点，连接，，，
∴，，
∴
当，，，共线时，周长最短
又∵
∴
又∵
∴
∴在中，
∴
∵，
∴
∵
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．
9．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______．
【答案】##60度
【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答．
【详解】解：连接，，，如图，
∵点P关于的对称点，
∴，，
∴平分，
∴，
同理可证明：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键．
10．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为__．
【答案】40°
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠CAE．
【详解】解：如图，连接，，过作于，如图所示：
点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，三线合一，直角三角形两锐角互余，解决问题的关键是作出正确的辅助线．
11．如图，P是内一点，点M，N分别在边OA，OB上运动．若，，则的周长最小值为____________，此时的度数为____________．
【答案】 120°
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，∠MCO=∠MPO；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∠NDO=∠NPO，
∴，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=，∠NDO=∠NPO=60°，∠MCO=∠MPO=60°；
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=，∠MPN=∠MPO+∠NPO=120°；
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，解题的关键是理解△PMN周长最小的条件．
12．小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物，因为食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放弃，一直慢慢往回爬．一会它咬住食物使劲往后拖，一会又咬住食物来回转圈，小茗同学急的想帮它．于是他连续几天都在观察，发现这个花圃的形状，如图，是一个锐角三角形，且∠ACB=50°，边AB上一定点P是小蚂蚁的家，小蚂蚁从家出发，它沿直线寻找食物，线路是从P出发走到AC，再从AC走到BC，最后回到家．假设M、N分别是AC和BC边上的动点，小茗同学想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线，所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的PMN周长最小时，∠MPN的度数为______．
【答案】80°
【分析】根据轴对称的性质和两点之间线段最短，作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN，可得PM=DM，PN=NG，此时PMN周长最小．根据内角和的性质，求得∠C+∠EPF=180°，由∠C=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案．
【详解】
作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．
∴PD⊥AC，PG⊥BC
∴∠PEC=∠PFC=90°
PM=DM，PN=NG
PMN周长最小
∵∠C+∠EPF+∠PEC+∠PFC=360°
∴∠C+∠EPF=180°
∵∠C=50°
∴∠EPF=130°
又∵∠D+∠G+∠EPF=180°
∴∠D+∠G=180°－∠EPF =180°－130°=50°
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM
∴∠GPN+∠DPM=50°
∴∠MPN=∠EPF－（∠GPN+∠DPM）=130°-50°=80°
故答案为：80°
【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到对称的性质、线段性质、四边形和三角形内角和等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称并灵活运用,属于易错题型．
13．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，
∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，
∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，
∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于___时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形．
【答案】28°或31°
【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分两种情况讨论解答即可，当DF＝GF时，当DF＝DG时，从而求出结论．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝124°，
∴∠B＝∠C＝28°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ，
∴AF＝AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG＝∠CAG．
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG＝∠C．
∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG＝∠B+∠C＝28°+28°＝56°．
①当DF＝GF时，
∴∠FDG＝∠FGD．
∵∠DFG＝56°，
∴∠FDG＝∠FGD＝62°，
∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，
∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28+θ+62°，
∴∠ADB＝28°+θ+62°，
∵∠ADB+∠B+θ＝180°
∴28°+θ+62°+28°+θ＝180°，
∴θ＝31°．
②当DF＝DG时，
∴∠DFG＝∠DGF＝56°，
∴∠GDF＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，
∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28°+θ+68°，
∴∠ADB＝28°+θ+68°，
∵∠ADB+∠B+θ＝180°，
∴28°+θ+68°+28°+θ＝180°，
∴θ＝28°．
∴当θ＝28°或31°时，△DFG为等腰三角形．
故答案为：28°或31°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
三、解答题
15．（1）如图1，是边长为4的等边三角形的中线，点P、E分别在、上，且则的最小值为________；
（2）如图2，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）作点关于的对称点，过点作，连接，则，当三点共线时，最小，最小值为的长，进而勾股定理求解即可；
（2）作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB＝∠APD.
【详解】（1）如图，作点关于的对称点，过点作，连接，则，
当三点共线时，最小，最小值即的长，
是等边三角形，
在中，
在中，
的最小值为
（2）如图，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB＝∠APD.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，作轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，每个小正方形的顶点称为格点，例如图中点、仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图并回答问题：
（1）作出线段关于y轴对称的线段，并写出点B的对应点D的坐标是（________）；
（2）过点A作一直线l，使得线段（保留画图过程的痕迹）；
（3）在x轴上找点M，使（保留画图过程的痕迹）．
【答案】（1）见解析，点D为；（2）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作出点D的对称点，连接AD即可，点D的坐标直接从坐标系中读出即可；
（2）使用无刻度的三角尺的一直角边与AB边重合，然后在直角三角尺的另一边作直线即可；
（3）先作点B关于x轴的对称点B’，然后连接AB’，与x轴交于点M即为所求．
【详解】解：（1）如图，点D为
（2）如图所示；
（3）如图所示：先作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’，与x轴交于点M，即为所求；
【点睛】题目主要考查作轴对称图形、作已知直线的垂线、等腰三角形的性质等，熟练掌握图形的作法是解题关键．
17．在中，，，直线上有一点，连接，分别为A关于直线的对称线段．
(1)如图，当点在线段上时，求和的度数；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，
①依题意补全图；
②探究是否存在点，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)①见解析；②或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，根据轴对称的性质可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，结合图形求解即可；
（2）①依据轴对称图形的特点补全图形即可；
②根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设，则或，，利用和线段的和差列出方程求解即可．
【详解】（1），，
，
，分别为点关于直线，的对称点，
，，，
，
．
（2）图形如图所示．
存在．
设，则或，，
，
或，
或．
经检验或为方程的解，
或．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的特点，角度的计算，分式方程的应用等，理解题意，熟练掌握运用轴对称图形的性质是解题关键．
18．如图，和关于直线对称，和关于直线对称．
（1）画出直线；
（2）直线与相交于点O，试探究与直线、所夹锐角的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；
（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理．
【详解】解：（1）如图，连接．
作线段的垂直平分线．
则直线是和的对称轴；
（2）如图，连接．
∵和关于直线对称，
∴．
又∵和关于直线对称，∴．
∴，
即．
【点睛】解答此题要明确轴对称的性质：
1．对称轴是一条直线．
2．垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
3．在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等．
4．在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．
5．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
19．如图①，在△ABD中；∠A＝60°，AD＝2AB＝4cm，将△ABD绕BD中点O旋转180°得到△CDB，点E是AD的中点，点P从点A出发，沿折线A→B→C以1cm/s的速度向终点C运动，连接PE，设运动时间为t（s）．
(1)BC＝ ；
(2)用含有t的代数式表示PB的长；
(3)当PE将四边形ABCD的周长分成2∶3两部分时，求t的值；
(4)如图②．在点P运动过程中，作点A关于直线PE的对称点，连接．当所在直线与四边形ABCD的边垂直时，请直接写出∠AEP的度数．
【答案】(1)4cm
(2)见解析
(3)t＝或t＝
(4)15°或45°或105°或135°
【分析】（1）△ABD绕BD中点O旋转180°得到△CDB，则CB＝AD＝4cm；
（2）由AD＝2AB＝4cm得AB＝2cm，当点P在AB上运动时，则PB＝（2﹣t）cm；当点P在BC上运动时，则PB＝（t﹣2）cm；
（3）先求出四边形ABCD的周长为12cm，AE＝AD＝2cm，由PE将四边形ABCD的周长分成2∶3两部分可列方程2＋t＝12×或2＋t＝12×，解方程求出t的值即可；
（4）先证明∠AEP＝∠EP＝∠AE ，再分四种情况讨论，一是E⊥AB于点F，且点P在AB上，二是E⊥AD，且点P在AB上，三是E⊥AB，且点P在BC上，四是E⊥AD，且点P在BC上，求出相应的∠AEP的度数即可．
（1）
∵△ABD绕BD中点O旋转180°得到△CDB，
∴CB＝AD＝4cm，
故答案为：4cm；
（2）
如图1，
∵AD＝2AB＝4cm，
∴AB＝2cm，
∴AB＋BC＝6cm，
当0≤t≤2时，PB＝（2﹣t）cm；
当2＜t≤6时，PB＝（t﹣2）cm．
（3）
∵CD＝AB＝2cm，
∴AB＋CB＋CD＋AD＝2×2＋4×2＝12（cm），
∵E为AD的中点，
∴AE＝AD＝2cm，
∵PE将四边形ABCD的周长分成2∶3两部分，
∴2＋t＝12×或2＋t＝12×，
解得t＝或t＝，
即t的值为或者；
（4）
∵点与点A关于直线PE成轴对称，
∴点P、点E都在对称轴上，
∴△PE与△PAE关于直线PE成轴对称，
∴∠AEP＝∠EP＝∠AE，
如图2，E⊥AB于点F，且点P在AB上，
∵∠AFE＝90°，∠A＝60°，
∴∠AE＝30°，
∴∠AEP＝×30°＝15°，
如图3，E⊥AD，且点P在AB上，
∵∠AE＝90°，
∴∠AEP＝×90°＝45°；
如图4，E⊥AB，且点P在BC上，
延长E交AB于点F，则∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AE＝180°﹣30°＝150°，
∴∠AEP＝×（360°﹣150°）＝105°；
∴如图5，E⊥AD，且点P在BC上，
∵∠AE＝90°，
∴∠AEP＝×（360°﹣90°）＝135°，
综上所述，∠AEP的度数为15°或45°或105°或135°．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理及其推论、列方程解应用题、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
20．【定义】如图1，平分，则称射线关于对称．
(1)【理解题意】如图1，射线关于对称且，则_______度；
(2)【应用实际】 如图 2，若在内部，关于对称， 关于对称， 求的度数；
(3)如图3, 若在外部，且关于对称，关于对称，求的度数；
(4)【拓展提升】 如图4， 若关于的边对称， ，求 ．（直接写出答案）
【答案】(1)22.5
(2)∠P1OP2=90°
(3)∠P1OP2=90°
(4)∠AOP=30°或54°
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论；
（2）根据OP和OP1关于OB对称，得到∠POP1＝2∠BOP，根据OP和OP2关于OA对称，得到∠POP2＝2∠AOP，根据角的和差即可得到结论；
（3）根据OP和OP1关于OB对称，得到∠POP1＝2∠BOP，根据OP和OP2关于OA对称，求得∠POP2＝2∠AOP，根据角的和差即可得到结论；
（4）①OP在∠AOB内部，如图4，②当OP在∠AOB外部，根据轴对称的性质即可得到结论．
(1)
∵射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，
∴∠AOM＝∠AOB＝×45°＝22.5°，
故答案为：22.5；
(2)
∵OP和OP1关于OB对称，
∴∠POP1=2∠BOP，
又∵OP和OP2关于OA对称，
∴∠POP2=2∠AOP，
∵∠P1OP2=∠POP1+∠POP2，
∴∠P1OP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°；
(3)
∵OP和OP1关于OB对称，
∴∠POP1=2∠BOP，
又∵OP和OP2关于OA对称，
∴∠POP2=2∠AOP，
∵∠P1OP2=∠POP1－∠POP2，
∴∠P1OP2=2∠BOP－2∠AOP=2∠AOB=90°，
(4)
①OP在∠AOB内部，如图4，
∵OP，OP1关于OB对称，
∴∠BOP＝∠BOP1，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴∠AOB＝3∠BOP1＝45°，
∴∠BOP1＝15°，
∴∠BOP1＝∠BOP＝15°，
∴∠AOP＝30°，
②当OP在∠AOB外部，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴射线OP在射线OB的上面，如图5，
∵OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，
∴∠BOP＝∠BOP1，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴∠AOB＝∠BOP1＋∠AOP1＝5∠BOP1＝45°，
∴∠BOP1＝9°，
∴∠BOP1＝∠BOP＝9°，
∴∠AOP＝45°＋9°＝54°
综上所述，∠AOP＝30°或54°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
21．有一张矩形纸片ABCD，其中AB＝10，AD＝6，现将矩形纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形纸片的边的交点），再将纸片还原．

(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．
①当点P与点A重合时，∠DEF＝________°，当点E与点A重合时，∠DEF＝________°，当点F与点C重合时，AP＝________；
②若点P为AB的中点，求AE的长；
(2)若点P落在矩形ABCD的外部（如图②），点F与点C重合，点E在AD上，BA与FP交于点M，当AM＝DE时，请求出AE的长；
(3)若点E为动点，点F为DC的中点，直接写出AP的最小值．
【答案】(1)① 90，45，2；②
(2)
(3)
【分析】（1）①分别画出三种情况下的图形即可得到解答；
②连接EP，设AE＝x，可以得到关于x的方程，从而得到AE的值；
（2）连接EM，设AE＝y，根据题意可以得到关于y的方程，解方程即可得到问题解答；
（3）画出图形后根据题意可以得到解答．
（1）
①如图1所示，点P与点A重合，由题意可知，PD⊥EF，所以∠DEF＝90°，
如图2所示，点E与点A重合，由题意可知，ED=EP，PD⊥EF，所以∠DEF＝45°，
如图3所示，点F与点C重合，连结CP，
由题意可知，CP=DF=10，BC=6，
∴在RT△CPB中，PB=8，
∴AP=AB-PB=2，
故答案为 90；45；2；
②如图4所示，连接EP，
∵点P为AB的中点，∴AP＝BP＝5，
由折叠知DE＝EP，
设AE＝x，则DE＝EP＝6－x，
在Rt△AEP中，AE2＋AP2＝EP2，即x2＋52＝（6－x）2，
解得x＝，即AE＝．
（2）
如图5所示，连接EM，
设AE＝y，
由折叠知PE＝DE，∠CDE＝∠EPM＝90°，CD＝CP＝AB＝10，
∵AM＝DE，∴AM＝PE．
在Rt△AEM和Rt△PME中，
∴Rt△AEM≌Rt△PME（HL），
∴AE＝PM＝y，∴CM＝10－y，BM＝AB－AM＝AB－DE＝10－（6－y）＝4＋y．
在Rt△BCM中，BM2＋BC2＝CM2，
∴（4＋y）2＋62＝（10－y）2，
解得y＝．
∴AE＝．
（3）
如图6所示，连结AF，
在中，∠D=90°，AD＝6，DF=CF=5，
∴，
∵PF=DF=5，
∴，
∴AP的最小值是－5．
【点睛】本题考查矩形的的折叠问题和最短距离问题，正确分类并画出图形是解题的关键．