中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题30轴对称综合题中的面积问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题30轴对称综合题中的面积问题(原卷版+解析)，共67页。
一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．16
2．一副三角板按图1所示的位置摆放，将△DEF绕点A(F)逆时针旋转60°后(图2)，测得CG＝10cm，则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为( )
A．75cm2；B．（25＋25)cm2；C．(25＋)cm2；D．(25＋)cm2
3．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②④⑤D．①②③④⑤
4．如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（ ）
A．3B．8C．2D．
6．如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．如图，一副三角板如图1放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，，此时四边形的面积是________．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是_______．
9．如图在RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD= AE =4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是_______．
10．如图所示，在和中，，，，连接、，将绕点旋转一周，在旋转的过程中，当最大时，______．
三、解答题
11．如图1，在等腰三角形中，，点D、E分别在边、上，，连接．点M、N、P分别为的中点．
(1)观察猜想．
图1中，线段的数量关系是__________，的大小为__________．
(2)探究证明
把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
将图1中的绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值．
12．如图1，在矩形ABCD中，AB＝，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F.
(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°如图2所示，得到结论：
①的值为 ；
②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ；
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 .
13．如图，矩形中，为等边三角形．点E，F分别为边上的动点，且，P为上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转至，连接．
(1)求证：；
(2)当三条线段的和最小时，求的长；
(3)若点E以每秒2个单位的速度由A点向D点运动，点P以每秒1个单位的速度由E点向F点运动．E，P两点同时出发，点E到达点D时停止，点P到达点F时停止，设点P的运动时间为t秒．
①求t为何值时，与相似；
②求的面积S的最小值．
14．面直角坐标系中，O为原点，点，点，线段的中点为点C．将绕着点B逆时针旋转，点O对应点为，点A的对应点为．
(1)如图①，当点恰好落在上时，
①此时的长为__________；
②点P是线段上的动点，旋转后的对应点为，连接，试求最小时点P的坐标；
(2)如图②，连接，则在旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．
15．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向终点匀速运动，过点作交折线，于点，连结，将绕点逆时针旋转得到．设点的运动时间为t（秒）．
(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在边上时，求的长．
(3)当点在内部时，求的取值范围．
(4)当线段将的面积分成 的两部分时，直接写出的值．
16．如图1，在中，，，AO是BC边上的中线，点D是AO上一点，，E是垂足，可绕着点O旋转，点F是点E关于点O的对称点，连接AD和CF．
(1)问题发现：如图2，当时，则下列结论正确的是_______．（填序号）
①；②点F是OC的中点：③AO是的角平分线；④．
(2)数学思考：将图2中绕点O旋转，如图3，则AD和CF具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
(3)拓展应用：在图1中，若，将绕着点O旋转．
①则_______CF；
②若，，在旋转过程中，如图4，当点D落在AB上时，连结BE，EC，求四边形ABEC的面积．
17．如图1，将三角形纸片（）进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．
(1)已知．
①在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
②如图2，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长；
(2)如图3，若直角三角形纸片的两直角边，在点G从点C开始顺时针旋转的过程中，设与的重叠部分的面积为S，则S的最小值为________．
18．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
19．已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝，BE＝2．以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转度(0≤≤90°)，连结AE，CG（如图）．
(1)求证：△ABE≌△CBG．
(2)当点E在BD上时，求CG的长．
(3)当时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积．（参考数据：，，，）
20．问题探究
（1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______；
（2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
问题解决
（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
21．如图1，在中，，点D是边上的一点，且，过点D做边的垂线，交边于点E，将绕点B顺时针方向旋转，记旋转角为．
(1)【问题发现】当时，的值为________，直线相交形成的较小角的度数为________；
(2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明；
(3)【问题解决】当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
22．在中中．，，点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．
(1)如图1，点E在点B的左侧运动；
①当，时，则_________°；
②猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．
(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．
(3)点E在射线CB上运动，，设，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．
23．已知：与中，，，，，，现将和按图的方式摆放，使点与点重合，点、、在同一条直线上，并按如下方式运动．
运动一：如图，从图的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点，当点与点重合时暂停运动；
运动二：在运动一的基础上，如图，绕着点顺时针旋转，与交于点，与交于点，此时点在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转；
运动三：在运动二的基础上，如图，以的速度沿向终点匀速运动，直到点与点重合时为止．
设运动时间为，中间的暂停不计时，
解答下列问题
(1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 ；
(2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
24．问题提出
(1)如图1，在中，，，则面积的最大值是______；
(2)问题探究
如图2，在中，，，．点P是边BC上一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作交BC于点H，求PH的长．
(3)问题解决
如图3，在中，，，P为边AC上一动点（C点除外）．将线段BP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接CE，则的面积是否存在最大值？若存在请求出面积的最大值，若不存在请说明理由．
专题30 轴对称综合题中的面积问题
【题型演练】
一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．16
【答案】B
【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出S△POQOP•OQ4×4＝8，最后由S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴将△OCP顺时针旋转90°，则到△OBQ的位置，
则△OCP≌△OBQ，
∵∠BPC＝90°，
∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠OCP＝∠OBQ，
∴∠OBQ+∠OBP＝180°，
∴Q、B、P在同一条直线上，
∵PO＝4，△OCP≌△OBQ，
∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ，
∴∠QOP＝∠BOC＝90°，
∴△POQ是直角三角形，
∵S△POQOP•OQ4×4＝8，
∴S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8，
故选：B．
【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解题的关键．
2．一副三角板按图1所示的位置摆放，将△DEF绕点A(F)逆时针旋转60°后(图2)，测得CG＝10cm，则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为( )
A．75cm2；B．（25＋25)cm2；C．(25＋)cm2；D．(25＋)cm2
【答案】C
【分析】过点G作，根据题意及三角函数可得，，结合图形求解即可得出结果．
【详解】解：过点G作，如图所示，
，，，
在中，
，
在中，
，
∴，
阴影部分的面积为：，
故选：C．
【点睛】本题考查旋转、三角形的面积公式，锐角三角函数解三角形等，掌握旋转的特征和三角形的面积公式是解答本题的关键．
3．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，由三边长为3，4，5，得△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④正确；
将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故结论⑤正确．
【详解】如图，
由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，
故结论④正确；
如图2，将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，
同理可得S△AOC+S△AOB= S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故⑤正确；
故选D．
【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．
4．如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将四边形的面积转化为，再进行分析解答
【详解】由旋转得：，
∴，
设四边形面积为S，
∴．
由旋转可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，
∴，
∴最大时，最小，
作的外接圆，
易知．
∴，．
当为中点时，面积最大，
过作于，则．
设，．
∴，．
∴．
∴．
故选D．
【点睛】本题求面积的最小值，考查的知识点有等边三角形的判定与性质、圆周角定理、旋转的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大．
5．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（ ）
A．3B．8C．2D．
【答案】A
【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C′、D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积
【详解】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（－3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，
由题意得，，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，
故选：A．
【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．
6．如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB′，交的延长线于点E，利用直角三角形的边角关系可得AD的长，由旋转可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，得到△CDC′∽△BDB′，则∠DCC′＝∠DBB′，利用三角形的内角和定理可得∠BNC=∠CDB=60°，于是∠BAB′＝60°；在中利用直角三角形的边角关系可得AE，DE，在中，利用勾股定理可求，则AB′＝B′E﹣AE；利用平行线之间的距离相等可得△ABB′中AB′边上的高等于DE，利用三角形的面积公式结论可求．
【详解】解：过点D作DE⊥AB′，交B′A的延长线于点E，如图，
在矩形ABCD中，
∵∠ABD＝60°，BD＝16，
∴AD＝BC＝BD•sin∠ABD＝16×＝8．
由旋转可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，
∴，
∴△CDC′∽△BDB′．
∴∠DCC′＝∠DBB′．
∴∠BNC＝∠CDB．
∵∠CDB＝∠ABD，∠BNC＝∠BAB′，∠ABD＝60°，
∴∠BAB′＝60°．
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝180°﹣∠BAB′﹣∠BAD＝30°．
∴DE＝＝4，
AE＝AD•cs∠EAD＝8×＝12．
∴B′E＝．
∴AB′＝B′E﹣AE＝4﹣12．
∵∠BAB′＝∠ABD＝60°，
∴AB′∥BD．
∴△ABB′中AB′边上的高等于DE．
∴
＝×（4﹣12）×4
＝8﹣24．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，过点D作DE⊥，添加适当的辅助线，利用直角三角形的边角关系求得的长是解题的关键．
二、填空题
7．如图，一副三角板如图1放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，，此时四边形的面积是________．
【答案】
【分析】延长CE交AB于点F，先根据特殊直角三角形的性质和∠AED=75°，推出AB∥CD，从而可证四边形ABCD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出CF长，最后计算平行四边形ABCD的面积即可．
【详解】解：如图2，延长CE交AB于点F，
∵，
∴，
又，
∴，
∴AB∥CD，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是_______．
【答案】1
【分析】作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，再根据旋转的性质得，然后利用点在线段上时，点到的距离最小，从而可计算出的面积的最小值．
【详解】解：作于，如图，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
将绕着点逆时针旋转，在旋转过程中点的对应点为点，
，即点在以为圆心，2为半径的圆上，
点在线段上时，点到的距离最小，
的面积的最大值为．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理．
9．如图在RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD= AE =4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是_______．
【答案】
【分析】通过和为等腰直角三角形，判定出，得到 通过已知条件，再设得到为等腰直角三角形，所以当BD最小时，的面积最小，D是以A为圆心，AD=4为半径的圆上的点，所以点D在AB上时，BD最小，即可得到最终结果．
【详解】RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，
为等腰直角三角形，
又∠DAE=90°，AD= AE =4，
为等腰直角三角形，

点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，

设

是等腰直角三角形，

当BD最小时，的面积最小，
是以A为圆心，AD=4为半径的圆上的点，
点D在AB上时，BD最小，


△PMN面积的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，涉及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，有一定难度和综合性，属于压轴题，熟练掌握这些性质，利用旋转解题是关键．
10．如图所示，在和中，，，，连接、，将绕点旋转一周，在旋转的过程中，当最大时，______．
【答案】6
【分析】先确定D的轨迹是以A为圆心，AD为半径的圆，再由，分析出当最大时，AH最大，再由直角三角形斜边大于直角边得在旋转过程中，即，时，AH取得最大值3，算出此时的面积为，再通过取BD中点G，连接AG并延长至F，使得FG=AG，证明即可．
【详解】解：如图，将绕点A旋转一周，D的轨迹为以点A圆心，AD为半径的圆，过A作BD垂线交BD延长线于H，
当最大时，AH最大，
在旋转过程中，
即时，AH取得最大值3
此时直角三角形中，
的面积为，
如图，取取BD中点G，连接AG并延长至F，使得FG=AG，
故答案为：6．
【点睛】本题考查旋转的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
11．如图1，在等腰三角形中，，点D、E分别在边、上，，连接．点M、N、P分别为的中点．
(1)观察猜想．
图1中，线段的数量关系是__________，的大小为__________．
(2)探究证明
把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
将图1中的绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值．
【答案】(1)NM=NP；60°；
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)的最大面积为
【分析】（1）先证明由AB=AC，AD=AE，得BD=CE，再由三角形的中位线定理得NM与NP的数量关系，由平行线性质得∠MNP的大小；
（2）先证明△ABD≌△ACE得BD=CE，再由三角形的中位线定理得NM=NP，由平行线性质得∠MNP=60°，再根据等边三角形的判定定理得结论；
（3）当最大，则最大，则等边的面积最大，则当时最大，再由等边三角形的面积公式进行计算便可．
(1)
解：∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN=BD，PN=CE，，
∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，
∴∠MNP=60°，
故答案为：NM=NP；60°；
(2)
△MNP是等边三角形． 理由 如下：
由旋转可得，∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
∴MN=BD，PN=CE，
∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，
∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，
∴△MNP是等边三角形；
(3)
由（2）得，当最大，则最大，则等边的面积最大，
当时最大，
此时BD=AB+AD=8，
∴MN=PN=4，
∴△MNP的面积=，
∴△MNP的面积的最大值为．
【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了等边三角形的判定，三角形的中位线定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，锐角三角函数的应用，关键证明三角形全等和运用三角形中位线定理使已知与未知联系起来．
12．如图1，在矩形ABCD中，AB＝，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F.
(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°如图2所示，得到结论：
①的值为 ；
②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ；
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 .
【答案】(1)①；②
(2)结论成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）通过证明△FBD∽△EBA，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
（2）通过证明△ABE∽△DBF，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
（3）分两种情况讨论，先求出AE，DG的长，即可求解．
(1)
解：如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cs∠ABD＝，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
(2)
结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，
∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵，
∴△ABE∽△DBF，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
(3)
如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，
∵AB＝4，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，
∴BE＝2，AD＝4，DB＝8，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝2，
∵D、E、F三点共线，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE＝，
∵∠DEA＝30°，
∴DG＝DE＝，
由（2）可得：，
∴，
∴AE＝，
∴△ADE的面积＝AE×DG＝×（）×＝；
如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，
同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝×（）×＝；
故答案为：或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分情况讨论思想解决问题是解题的关键.
13．如图，矩形中，为等边三角形．点E，F分别为边上的动点，且，P为上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转至，连接．
(1)求证：；
(2)当三条线段的和最小时，求的长；
(3)若点E以每秒2个单位的速度由A点向D点运动，点P以每秒1个单位的速度由E点向F点运动．E，P两点同时出发，点E到达点D时停止，点P到达点F时停止，设点P的运动时间为t秒．
①求t为何值时，与相似；
②求的面积S的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质可得到，即可求证；
（2）作，交于点，则，根据题意可得当G，M，P，E四点共线时，最小，再由为等边三角形，，可得，然后根据，可即可求解；
（3）①根据题意可得：，则．再利用相似三角形的性质，即可求解；②分两种情况讨论：当时，当时，即可求解．
(1)
证明：∵为等边三角形
∴
∵
∴
又∵
∴
∴；
(2)
解：如图，作，交于点，则，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴当G，M，P，E四点共线时，最小，
∵为等边三角形，，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴当三条线段的和最小时，；
(3)
解：①由题意得：，则．
∵，
∴若，则，
即（不合题意，舍去）；
若，则需，
即，解得；
综上所述，当时，．
②当时，
∵，，
∴，，
∴
∴
所以当时，的面积最小为．
当时，
，
∴
故时，的面积最小为．
综上所述，的面积最小为．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角三角形，熟练掌握图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14．面直角坐标系中，O为原点，点，点，线段的中点为点C．将绕着点B逆时针旋转，点O对应点为，点A的对应点为．
(1)如图①，当点恰好落在上时，
①此时的长为__________；
②点P是线段上的动点，旋转后的对应点为，连接，试求最小时点P的坐标；
(2)如图②，连接，则在旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)①1.5
②
(2)存在最大值，最大值为69
【分析】（1）①利用勾股定理求出AB，可得结论．
②如图2中，连接AA1，OO1．利用相似三角形的性质解决问题即可．
（2）因为O1A1=12是定值，直线O1A1与B为圆心，OB为半径的圆相切，当CO1最大时，△O1A1C的面积最大．
（1）
解：①∵点，点，
∴OA=12，OB=5，
∴AB=，
∵线段的中点为点C，
∴BC=6.5，
由旋转可得，BO1=OB=5，
∴O1C=BC-BO1=6.5-5=1.5，
故答案为：1.5；
②作点B关于x轴的对称点，连接，过点作于G，则，
∴，
由对称性可知，，
∴与x轴的交点即为所求的点P，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
易求得直线的解析式为，
令，得，
∴满足条件的点P的坐标为；
（2）
解：如图，因为O1A1=12是定值，直线O1A1与B为圆心，OB为半径的圆相切，当CO1最大时，△O1A1C的面积最大，
面积最大时，O1在CB的延长线时，此时CO1=5+6.5=11.5，
∴△O1A1C的面积的最大值==
∴的面积存在最大值，最大值为69．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
15．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向终点匀速运动，过点作交折线，于点，连结，将绕点逆时针旋转得到．设点的运动时间为t（秒）．
(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在边上时，求的长．
(3)当点在内部时，求的取值范围．
(4)当线段将的面积分成 的两部分时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）设点已运动，由题意可用表示，根据锐角三角函数知识能用表示；
（2）设点已运动，由题意可用表示，和来，由旋转的性质可得，还有的长，根据勾股定理可得关于的方程，解之即可；
（3）由题意，点从点运动到点共需，当恰好落在边上时，在，和中，根据锐角三角函数，可得到关于的方程，求出此时的值，从而得解；
（4）首先根据题意求出的面积，然后用表示出的面积，再根据线段将的面积分成 的两部分，构造方程，解之即可．
(1)
∵，
∴，，
∵点以每秒4个单位长度的速度由向匀速运动，设点已运动，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)
设点已运动，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴．
(3)
∵，
∴点从点运动到点共需，
当恰好落在边上时，如图，
∵，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴．
(4)
∵，，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵线段将的面积分成 的两部分，
∴或，
∴或．
【点睛】本题主要考查了三角形的动态问题，旋转的性质，锐角三角函数的知识，根据题意化动为静，找出临界状态，并根据题意画出图形列出相应的方程是解本题的关键
16．如图1，在中，，，AO是BC边上的中线，点D是AO上一点，，E是垂足，可绕着点O旋转，点F是点E关于点O的对称点，连接AD和CF．
(1)问题发现：如图2，当时，则下列结论正确的是_______．（填序号）
①；②点F是OC的中点：③AO是的角平分线；④．
(2)数学思考：将图2中绕点O旋转，如图3，则AD和CF具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
(3)拓展应用：在图1中，若，将绕着点O旋转．
①则_______CF；
②若，，在旋转过程中，如图4，当点D落在AB上时，连结BE，EC，求四边形ABEC的面积．
【答案】(1)①②④
(2)，见解析
(3)①；②
【分析】（1）根据中心对称的性质与是中线定义可判定①，证DEAB，利用平行线分线段成比例可判定②，利用ABS，
②如图2，若旋转的角度等于（30°-），
则S'-S=（2M'E+EP')-（2ME+EP)=PP'-2MM'，
在DQ、DP'上分别取点R'、P''，
使DR'=DR.DP''=DP，
连接PR'、QP''，
则PR'=PR，QP''=QP，
因为∠QP''P'=∠QPG=∠DP'P+∠PDP'>∠DP'P.所以QP'＞QP''，
同理QP>PR，
S'>S，
因而2MM'=2PR