四川省达州市达川区铭仁园学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省达州市达川区铭仁园学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将直线化为斜截式得到斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得解.
【详解】因为直线可化为，
则其斜率为，所以其倾斜角为，
故选：A.
2. 双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】双曲线中，，所以渐近线方程为，故选C.
3. 数列1，3，7，15，31，63，…应满足的递推关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将数列中的项代入四个选项中验证即可
【详解】解：将代入四个选项中，
对于A，，所以A不满足；
对于B，，所以B满足；
对于C，，所以C不满足；
对于D，，所以D不满足
所以只有B满足，
故选：B
【点睛】此题考查由数列的项求其递推式，利用了验证法求解，属于基础题.
4. 已知直线，直线，若，则实数的值为（ ）
A 1B. C. 或1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可.
【详解】根据两直线平行，可知，解得.
故选：C
5. 在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）
A. 点和点关于x轴对称B. 点和点关于平面对称
C. 点和点关于y轴对称D. 点和点关于平面对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的坐标对称关系判断即可.
【详解】已知点和点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，
所以点和点关于平面对称.
故选：B.
6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面平行的性质判断A的真假；根据线面平行的判定判断B的真假；根据线面垂直的判定判断C的真假；根据线面垂直的性质判断D的真假.
【详解】若，则m，n平行或异面，A选项错误；
若，则或，B选项错误；
若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误；
若，，则，D选项正确.
故选：D
7. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据两圆位置关系的判断方法即可得到答案.
【详解】圆的标准方程为，
圆心为，半径为，
圆：，圆心为，半径为，则，
∴，，，，
故圆和圆的位置关系是外离.
故选：D．
8. 圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的高为，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆台的体积公式求解即可.
【详解】.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 若向量，，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量为D. 与的夹角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量模与数量积的坐标表示判断AB，利用投影向量公式判断C，利用向量夹角公式判断D，从而得解.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，又，所以，故B正确；
对于C，易得，
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，
又，所以，故D错误.
故选：ABC.
10. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D. 不是平面的一个法向量
【答案】BD
【解析】
【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误.
【详解】由为正方体，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则､.
对于选项，，则，故错误；
对于选项，，则，故正确；
对于选项，，故，故错误；
对于选项，，故不是平面的一个法向量，故正确.
故选：.
11. 已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线C的准线方程为
B. 若，则△PMF的面积为2
C. |的最大值为
D. △PMF的周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为，即可判断A，根据抛物线定义得到，故点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C，三角形的周长，再结合抛物线定义即可求出的最小值，即得到周长最小值.
【详解】，，，准线方程为，故A正确；
根据抛物线定义得，，,
轴，当时，，
若点在第一象限时，此时,
故，的高为1，故，
若点在第四象限，此时，故，
的高为1，故，故B错误；
，,故C正确；
（连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况，
图对应如下）
过点作准线，垂足为点，
的周长，
若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小，
此时,
故周长最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆，若上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为_____________.
【答案】3
【解析】
【分析】先根据条件求出，再根据椭圆的定义，由其到一个焦点的距离，可得到另一个焦点的距离.
【详解】由椭圆的定义，，所以到另一个焦点距离为3.
故答案为：3.
13. 已知向量，，若，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据及数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，且，
所以，解得.
故答案为：
14. 已知双曲线左、右焦点分别为，，过点作渐近线的垂线，垂足为，交右支于点，若，则的离心率是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】设一渐近线方程为，则应用点到直线距离得出，再结合平行得出，再结合双曲线定义得出，计算即可求得离心率．
【详解】设渐近线，，则，
，所以，因为是的中点，，
所以,所以，
又因为，所以，即，解得，
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若将数列的前项和记作，已知.
（1）求，，的值；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）由，，计算得解；
（2）根据与的关系求出通项.
【小问1详解】
，
，，.
【小问2详解】
当时，，
当时，，
，.
16. 已知直线，直线，与交于点点.
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立两直线方程可得交点，求解中点坐标，即可根据斜率公式求解，即可根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程，
（2）联立两直线方程可得圆心坐标，进而可求解半径，即可得解
【小问1详解】
，故，
因为，所以中点坐标为且.
所以的垂直平分线方程为，即.
【小问2详解】
，故圆心坐标为，半径为.
所以圆的标准方程为.
17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线的倾斜角为45°，求.
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）由抛物线性质求解即可；
（2）表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解.
【小问1详解】
由抛物线的性质，，故抛物线.
【小问2详解】
由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为，
设，
联立y2=4xy=x−1⇒x2−6x+1=0,Δ=36−4>0，
,
故.
18. 如图，长方体中，，，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得证；
（2）求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解.
【小问1详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
设平面法向量为，
，，，
则有，
显然，因此平面.
【小问2详解】
平面的法向量为，又，
由，，
则有，
设平面和平面夹角，
则有.
19. 已知点，分别为双曲线的左、右焦点，，实轴长为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若为双曲线的右顶点，四边形为矩形，其中点，在双曲线上，求证：直线过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据焦距和实轴长计算得出，进而得出标准方程；（2）分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点.
【小问1详解】
依题意得，，所以.
【小问2详解】
①当直线的斜率不存在时，
由，设直线的方程为，
当时，则在双曲线，可得,所以，
当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍，
可得直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，
当时，，，
因为四边形为矩形，所以，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，所以或，
当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去．
当时，直线的方程为，恒过定点．
综上①②，直线恒过定点．
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线定点问题，一般通过联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理将可能过定点的直线表示出来，进而判断是否过定点.