四川省达州市2024−2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省达州市2024−2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，.若，则的值为（ ）
A．-1B．-6C．-9D．9
3．在空间中，设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面.已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面的法向量为.若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（ ）
A．（1，-1，1）B．（-1，1，-1）
C．（-1，1，1）D．（1，1，-1）
5．已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点，，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．1D．
8．已知甲、乙两组数据的统计结果如下表.若将这两组数据混合后得到丙组数据，则丙组数据的方差为（ ）
A．10B．C．9D．3
二、多选题（本大题共3小题）
9．小伟10月份1~10日每天运动时长的折线图如下图所示，则（ ）
A．小伟1~10日每天运动时长的极差为39分钟
B．小伟1~10日每天运动时长的中位数为33分钟
C．小伟1~10日每天运动时长的众数为31分钟
D．小伟1~10日每天运动时长的第80百分位数为50分钟
10．在棱长2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．平面
B．直线与是异面直线
C．平面截正方体所得截面是五边形
D．平面截正方体所得截面的面积为
11．若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（ ）

A．若，则
B．存在点H，使得平面
C．线段长度的最小值是
D．存在点H，使得
三、填空题（本大题共3小题）
12．点关于平面对称的点的坐标为 ，关于轴对称的点的坐标为 .
13．四川的旅游资源丰富，不仅有众多著名的自然景观，还包括许多人文景点.其中，九寨沟以奇幻的山水景观著称；峨眉山以秀丽闻名；青城山以幽静清雅著称；剑门关则以雄险著称.此外，四川还有许多必去的旅游景点，如都江堰、乐山大佛、稻城亚丁、色达佛学院、黄龙景区和四姑娘山等.这些景点既展示了四川的自然美景，还体现了其深厚的文化底蕴和历史价值.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点进行游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙选择相同的景点游玩的概率为 .
14．已知在三棱锥中，，，，.当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，.设，，.

(1)用，，表示；
(2)求的长度.
16．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点.
(1)证明：平面.
(2)求点到平面的距离.
17．在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点.
(1)证明：平面.
(2)求二面角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，为的中点.
(1)证明：.
(2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，.

(1)求异面直线EB与DF所成角的余弦值
(2)证明：平面平面BDF.
(3)若M是几何体ABCDEF内的一个动点，且（），点N满足，，求的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于A,,不满足题意；
对于B,,满足题意；
对于C,,不满足题意；
对于D,具体不知.
故选：B.
2．【答案】C
【详解】，.若，则,解得.
则的值为.
故选：C.
3．【答案】A
【详解】如图正三棱柱，面为，面为，，
则，运用线面平行性质知道，A正确，B错误，
由图可知相交，没有垂直和平行.
故选：A.

4．【答案】D
【详解】直线平面，设l方向向量为,则，即.
对于A,，不满足题意；
对于B,，不满足题意；
对于C,，不满足题意；
对于D,，满足题意；
故选：D.
5．【答案】C
【详解】设圆台的高为，根据圆台的母线长、高和上下底面半径之差构成直角三角形，由勾股定理可得.
已知，，，则.
代入圆台体积公式，
可得.
6．【答案】B
【详解】，
所以向量在方向上的投影向量为，
故选：B．
7．【答案】B
【详解】,
故点到直线的距离为,
故选：B
8．【答案】A
【详解】根据题意，得到，，，.
那么丙组数据的平均数，
根据方差公式得到.
.
则丙组数据的方差为10.
故选：A.
9．【答案】ACD
【详解】将这10个数据从小到大排序：，
故极差为，A正确，
中位数为，故B错误；
众数为31，C正确，
，故该组数据的第80百分位数为，故D正确；
故选：ACD．
10．【答案】ABD
【详解】对于A，如图，正方体中，分别为，的中点，取分别为，的中点.连接..由正方体性质，知道，，平面，平面，则平面.故A正确.
对于B，点不在MN上，由异面直线定义可知，直线与是异面直线，故B正确.
对于C和D，由前面知道，，则等腰梯形是所求截面，
如图，棱长是2的正方体，可求得,，
，，
作则.
则等腰梯形的面积为：.故C错误，D正确.
11．【答案】ABC
【详解】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，

则，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四点共面，
若，则，解得，A正确；
对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，
过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，
则，，，，
故，，，，
易得是平面的一个法向量，若平面，
则，即，解得，符合题意，
所以存在点H，使得平面，B正确，
对于C：，
当时，取得最小值，最小值为，C正确.
对于D：若，则，
得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.
故选：ABC
12．【答案】
【详解】点关于平面对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为.
14．【答案】
【详解】在中，由，可得，
由余弦定理可得，所以，
所以，所以，
如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，
把三棱锥放置在长方体中，
可知三棱锥的外接球的直径为：，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为： .
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设. 因为.
又因为，且.
所以.
（2）由（1）知. 首先计算.
根据向量运算法则.
因为底面为正方形，，所以，.
又，所以.
由于，且，
.
而，所以.
那么.
根据向量的模长公式，所以.
16．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接,由于，分别是，的中点.
则,则四边形为平行四边形，
,平面,平面,
则平面.
（2）如图，可建空间直角坐标系，则
,
,
设平面法向量为，则
，即，解得，故.
根据点面距离公式，则点到平面的距离.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，，
因为，所以.
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，进而.因为，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O0,0,0，，，，，
所以，.
因为，所以，则，，
又，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，，，.
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为.
易得平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，则，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面平面，且相交于，又且平面，
故平面，又平面，故.
在上取使得，连接，因为，可得四边形为矩形，且，又，故为等腰直角三角形，故.
因为为的中点，故，又，，
则，故，故.
又，，，平面，故平面.
又平面，故，即得证.
（2）由（1）可得平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
则，，，设，
则，，.
设平面的法向量，则，即，
令有，，故.
故直线与平面所成角的正弦值为，
即，即，
故，则，化简可得.
即，解得或（舍）.
故.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3).
【详解】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
，，，，则，，
，
故异面直线EB与DF所成角的余弦值为.
（2）

取BD的中点O，连接OE，OF，则，
所以，，，，
所以，，，则，
所以.
，，则，又为中点，
所以，，
所以平面BDF.
因为平面EBD，
所以平面平面BDF.
（3）因为（），
所以M在线段OE上.
因为，
所以，故N在平面BDF上.
；
设G为MN的中点，
所以，
因为，所以，
故，所以的最小值为.
样本容量
平均数
方差
甲组
20
10
1
乙组
30
15
6