甘肃省武威市第八中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省武威市第八中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(满分150分，考试时间120分钟)
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1 函数有（ ）
A. 极小值0，极大值2B. 极小值，极大值4
C. 极小值，极大值3D. 极小值2，极大值3
【答案】D
【解析】
【分析】求出导函数，令导函数为并求根，判断根左右两侧的符号，根据极值定义求出极值即可．
详解】易知，
令，则或，
当时，，即在内单调递增，
当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
所以当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值．
故选：D．
2. 若直线l的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，且直线l经过点，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的倾斜角求出直线l的倾斜角，即可得到直线l的方程.
【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，
则其斜率不存在.又直线l过点(2,4)，所以直线l的方程为.
故选：C
3. 已知点到抛物线的准线的距离为3，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得的值，从而得到焦点坐标.
【详解】抛物线的准线方程为，
由题意可知，解得，
所以的焦点坐标为，
故选：B．
4. 过点作圆的切线，则切线的斜率为（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出直线的方程，由点到直线距离得到方程，求出或．
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
易知过点的切线的斜率存在，设的方程为，
即，则圆心到直线的距离，
解得或．
故选：A．
5. 在数列中，若，则（ ）
A. B. 3C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分别求得的值，结合数列的周期性，即可求解.
【详解】由题意得，
故是以3为周期的周期数列，所以.
故选：C.
6. 当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】相关点法求解PQ的中点的轨迹方程.
【详解】设，PQ的中点M的坐标为，
∵，∴
∴
又∵点P在圆上，
∴，即，
故选：C．
7. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线方程有，，应用余弦定理列方程可得，应用三角形面积公式求面积.
【详解】由题设，，又，
，则，
所以，可得，则的面积为.
故选：C
8. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得.
【详解】函数，求导得，
由在上单调递增，得，，而恒有，
则，又时，，在上单调递增，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共7项B. 所有项的系数之和为2187
C. 项系数为280D. 所有项的二项式系数之和为128
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据的展开式有项，判断A的真假；令可得展开式中所有项的系数和，判断B的真假；计算的系数，判断C的真假；利用所有项的二项式系数和为判断D的真假.
【详解】选项A：因为，所以展开式共有8项，故A错误；
选项B：令，则所有项的系数和为，故B正确；
选项C：展开式的项为，故C正确；
选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确.
故选：BCD
10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A. 的坐标为B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上，
则焦点，所以A错误；
由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确；
由，可得，所以，则，所以C不正确；
由，所以D正确．
故选：BD．
11. 已知数列，满足，为的前n项和，且，则（ ）
A. B.
C. 是等差数列D. 取得最大值16
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意和等差数列的定义和前n项求和公式以及它的函数特征，依次判断选项即可.
【详解】对A：由题意，，，
则数列为等差数列，，，即，则，
则，故A正确；
对B：由选项A可知，则，故B正确；
对C：由选项B可知，则，
所以数列等差数列，故C正确；
对D：，为关于n的二次函数，是一条开口向下，对称轴为的抛物线，
，故当或时，取得最大值56，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 曲线在点处的切线方程是 __________．
【答案】
【解析】
【分析】直接求导得，代入求得斜率即可.
【详解】由，则，所以，
所以在点处的切线方程为，即．
故答案：.
13. 某高校运动会设有7个大项.该校校委欲招募一批志愿者，甲､乙2名大学生申请报名时，计划每人从7个大项中随机选取3个大项做服务工作，则2人恰好选中相同的2个大项的不同报名情况有___________种.
【答案】
【解析】
【分析】先在7个大项中选取2个给甲乙，再甲乙分别从剩下的5个中选1个，从而可得答案.
【详解】可分三步：第一步，在7个大项中选取2个，共有（种）不同的方法，
第二步，甲在剩下的5个大项中选取1个，共有（种）不同的方法，
第三步，乙在剩下的4个大项中选取1个，共有（种）不同的方法，
根据分步乘法计数原理可知，2人恰好选中相同的2个大项的不同报名情况有（种）.
故答案为：.
14. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】设，根据勾股定理得到，确定，中，根据余弦定理得到，得到离心率.
【详解】不妨取为上顶点，如图所示：
则，设，则，则，
整理得到，，
中，根据余弦定理：，
整理得到，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.
15. 随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是问卷调查得分的频率分布表：
将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分．
（1）根据已知条件完成下面列联表；
（2）判断是否有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）列联表见解析
（2）有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关
【解析】
【分析】（1）根据频率分布表求出问卷调查结果为“了解”的学生人数，从而求出其中女生的人数，即可得到列联表；
（2）计算出卡方，即可判断
【小问1详解】
问卷调查结果为“了解”的学生人数为，
又因为其中男生有人，所以其中女生有人，
所以列联表如下：
【小问2详解】零假设：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，
由（1）可得，
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，
即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于，
即有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.
16. 记为正数数列的前n项的和，已知.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前n项之和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件讨论和，从而用定义法证明等差数列即可；
（2）根据（1）中的证明写出，然后根据裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
因为，
所以令，得，即，
所以或，因为数列是正数数列，所以；
当时，由，
则，
两式相减，
即，
整理得，
因为，
所以，
所以，即
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
所以，
其前n项和为，
所以数列的前n项之和为.
17. 第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答）
（1）若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？
（2）若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？
【答案】（1）63 （2）540
【解析】
【分析】（1）根据分类加法计数原理和组合数的性质求解即可；
（2）按人数的分配情况分类讨论求解即可.
【小问1详解】
由题意知可去名裁判，
所以共有（种）不同的安排方法.
【小问2详解】
亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下：
①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有（种）不同的安排方法；
②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有（种）不同的安排方法；
③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有（种）不同的安排方法.
综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，
共有（种）不同的安排方法.
18. 已知平面内点与两个定点的距离之比等于2.
（1）求点的轨迹方程；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由已知等量关系，利用直接步骤法坐标代入关系式化简整理可求轨迹；
（2）分斜率存在与不存在两类情况分别求解.当斜率不存在时，验证弦长可得；当斜率存在时，设出点斜式直线方程，利用垂直关系将弦长转化为圆心到直线的距离，由点到直线距离公式得关于的方程求解可得.
【小问1详解】
已知，
由题意可知，，坐标代入得，
整理得，
故点的轨迹方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，
由圆，则圆心为，半径为，
此时弦长为，满足题意；
当直线的斜率存在时，不妨设斜率为，
则直线的方程为，
即，
则圆心到直线的距离.
因为直线被所截得的线段的长为，
所以，则，
所以，解得，
所以直线的方程为.
综上，满足条件的直线的方程为或.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：对任意的.
【答案】（1）在上单调递减，上单调递增
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和单调性的关系，即可求解；
（2）不等式转化为证明，再构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式.
【小问1详解】
由题可知函数的定义域为
令得或（舍去）
所以，在上单调递减，上单调递增.
【小问2详解】
，
要证明，只用证明，
令，
设，，即单调递增，
，，
可得函数有唯一的零点且，满足，
当变化时，与的变化情况如下，
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
所以，对成立.成绩（分）
频率
男
女
合计
了解
不了解
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
男
女
合计
了解
50
35
85
不了解
50
65
115
合计
100
100
200
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
0
单调递减
极小值
单调递增