甘肃省武威市第八中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

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12．y=x+1
13．420
14．55/155
15．（1）问卷调查结果为“了解”的学生人数为0.25+0.15+0.025×200=85，
又因为其中男生有50人，所以其中女生有85−50=35人，
所以2×2列联表如下：
（2）零假设H0：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，
由（1）可得K2=200×50×65−35×502100×100×115×85≈4.604>3.841=x0.05，
根据小概率α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05，
即有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.
16．（1）因为2Sn=an2+an，
所以令n=1，得2S1=2a1=a12+a1，即a12−a1=0，
所以a1=0或a1=1，因为数列an是正数数列，所以a1=1；
当n≥2时，由2Sn=an2+an，
则2Sn−1=an−12+an−1，
两式相减，2Sn−2Sn−1=an2−an−12+an−an−1
即2an=an2−an−12+an−an−1，
整理得，an+an−1an−an−1−1=0
因为an＞0,an−1＞0，
所以an+an−1＞0，
所以an−an−1−1=0，即an−an−1=1
所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，an=1+n−1×1=n，
所以Sn=an2+an2=n2+n2=nn+12，
所以1Sn=2nn+1=21n−1n+1，
其前n项和为21−12+12−13+…−1n+1=21−1n+1=2nn+1，
所以数列1Sn的前n项之和为2nn+1.
17．（1）由题意知：可去1,2,3,4,5,6名裁判，
所以共有C61+C62+⋯+C66=26−1=63（种）不同的安排方法.
（2）亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下：
①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有C61C51C44A22⋅A33=90（种）不同的安排方法；
②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有C61C52C33⋅A33=360（种）不同的安排方法；
③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有C62C42C22A33⋅A33=90（种）不同的安排方法.
综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，共有90+360+90=540（种）不同的安排方法.
18．（1）已知Mx,y, A4,0,B1,0，
由题意可知，MAMB=2，坐标代入得(x−4)2+y2(x−1)2+y2=2，
整理得x2+y2=4，
故点M的轨迹方程为x2+y2=4；
（2）当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x=1，
由圆O:x2+y2=4，则圆心为0,0，半径为2，
此时弦长为222−12=23，满足题意；
当直线l的斜率存在时，不妨设斜率为k，
则直线l的方程为y−12=kx−1，
即kx−y−k+12=0，
则圆心0,0到直线l的距离d=−k+12k2+(−1)2.
因为直线l被C所截得的线段的长为23，
所以d2+(3)2=22，则d=1，
所以d=−k+12k2+(−1)2=1，解得k=−34，
所以直线l的方程为3x+4y−5=0.
综上，满足条件的直线l的方程为x=1或3x+4y−5=0.
19．（1）由题可知函数fx的定义域为0,+∞,fx=x2+x−lnx
f′x=2x+1−1x=2x2+x−1x=2x−1x+1x
令f′x=0得x=12或x=−1（舍去）
所以，fx在0,12上单调递减，12,+∞上单调递增.
（2）fx=x2+x−lnx，
要证明fx+ex>x2+x+2，只用证明ex−lnx−2>0，
令gx=ex−lnx−2,g′x=ex−1x，
设ℎx=ex−1x，ℎ′x=ex+1x2>0，即g′x单调递增，
g′12=e−20，
可得函数g′x有唯一的零点x0x0>0且x0≠1，满足ex0−1x0=0，
当x变化时，g′x与gx的变化情况如下，
所以g(x)min=gx0=ex0−lnx0−2=1x0+x0−2，
因为1x0+x0−2≥21x0⋅x0−2=0，因为x0≠1，所以不取等号，
即1x0+x0−2>0，即g(x)min>0恒成立，
所以，ex−lnx−2>0恒成立，
所以，对∀x>0,fx+ex>x2+x+2成立.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
C
C
C
D
BCD
BD
题号
11









答案
ABC









男
女
合计
了解
50
35
85
不了解
50
65
115
合计
100
100
200
x
0,12
12
12,+∞
f′x
-
0
+
gx
单调递减
极小值
单调递增
x
0,x0
x0
x0,+∞
g′x
−
0
+
gx
单调递减
极小值
单调递增