河北省邢台市2024-2025学年高一(上)期末数学试卷（解析版）

这是一份河北省邢台市2024-2025学年高一(上)期末数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集为，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由对数函数定义可得，所以，
又，可得.
故选：D.
2. 下列函数在上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数在上减函数；在上是减函数；，当时，在上是增函数；在上是减函数.
故选：C.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】取，满足，而；
反之，，取，满足，而，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4. 在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，
则第二次所取的区间是或，
第三次所取的区间是或或或，
故选：B.
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，
，所以，故．
故选：A.
6. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是奇函数排除，且当时，.
故选：A.
7. 已知是偶函数，且在区间上递增，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，函数为偶函数，且在轴两侧左增右减，故，解得.
故选：A.
8. 已知，则函数的零点的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】函数的定义域是（0，+∞），y==，令y=0，则，在同一直角坐标系中做出函数y=和y=的图象可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点由2个，故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】依题意，，即，则且.故C正确；
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于D：，故D正确．
故选：BCD.
10. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A：因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B：由A知，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：，当且仅当时，等号成立，故C错误；
对于D：，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选:ABD．
11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Bruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】根据定义可知：若为不动点函数，则有解．
A．令，得，此时无解，故不是“不动点”函数；
B．令，所以或，所以是“不动点”函数；
C．当时，，无解；当时，，无解，所以不是“不动点”函数；
D．令，不难看出是该方程的根，所以是“不动点”函数．
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数的图象过点，则的值为______.
【答案】
【解析】设，
所以，所以.
故答案为：.
13. 函数，则________.
【答案】
【解析】令，则，所以，所以.
故答案为：.
14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则______.
【答案】
【解析】在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，，.
（1）若，求实数a取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解：（1）若，则，得；
（2）由，得，即，
所以，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，
即，解得.
即实数a的取值范围是.
16. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
．
（2）原式
.
17. 已知函数.
（1）若奇函数，证明：；
（2）讨论的单调性.
解：（1）证明：的定义域为，
对，都有，
又为奇函数，则必有，
即，
整理可得，
因为，所以，命题得证．
（2）设，，且，
，
易知，，又在上为增函数，，可得，
当时，，为增函数；
当时，，为常函数无单调性；
当时，，为减函数．
18. 某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示.
（1）根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型；
（2）已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？
解：（1）①若选择作为y与x的函数模型，
将的坐标分别代入，得，解得，
所以.
此时，当时，与表格中的7.8相差较大，
当时，与表格中的11.2相差较大，
所以不适合作为y与x的函数模型.
②若选择作为y与x的函数模型，
将坐标分别代入，得，解得，
所以.此时，当时，，
当时，，y的值刚好与表格中的7.8和11.2相符合，
所以更适合作为y与x的函数模型.
（2）由题可知，该果园最多可种植30000棵该品种果树，所以x取值范围为，
当时，.
易知，当，即时，之取最大值53（万元），
故果树数量为289百棵时，年利润最大.
19. 设函数且，已知，
（1）求的定义域；
（2）是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，得，即，①
由，得，即，②
由①②得，解得，或（舍），，
所以，
由得，
故的定义域为；
（2）假设存在实数，使得在区间上的值域是，
∵在上单调递增，
，故方程有两个大于1的不等实数根，
令，则方程的两个大于2的不等实数根，
令，则，即，解得．x
1
4
9
16
y
1
4.4
7.8
11.2