2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  若一组数据为，，，，，，，则这组数据的第百分位数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在三棱雉中，，均为等边三角形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  队共有甲、乙两名队员回答某道题，有人答出则此题回答正确，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则此题队回答正确的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为，，，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，调查全校学生的睡眠时间高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为小时，高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为小时，三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为小时，则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为(    )

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

6.  在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，则到平面的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知的外接圆为圆，圆的直径，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  ，，，这个电器元件出故障的概率分别为，，，，按下图的两种连接方式，图一连通的概率为，图二连通的概率为，其中电路是否连通只与电器元件是否出故障有关，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若复数，则下列说法正确的是(    )

A. 若为实数，则 B. 若为纯虚数，则或
C. 在复平面内对应的点不可能在第二象限 D. 在复平面内对应的点不可能在第三象限

10.  甲投篮次，事件“恰命中次”，事件“第次未命中”，则与事件互斥的事件是(    )

A. 仅第次命中 B. 第次命中且总命中次数为
C. 第，，次命中 D. 第，，次命中

11.  若为复数，则下列各选项正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在正方体中，，，，分别为，，的中点，则(    )

A. ，为异面直线
B. 平面截正方体所得截面的面积为
C. 平面
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，，则 ______ ．

14.  若一组个数据，，，的平均值为，方差为，则 ______ ．

15.  在平行四边形中，的中点为，交于，，则 ______ ．

16.  已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数满足，．
求；
若复数满足，求．

18.  本小题分
甲袋中有个球，个红球个白球，乙袋中有个球，个红球个白球，从甲、乙两袋中随机各取个球．
求这个球为个红球个白球的概率；
从甲、乙两袋中取出的个球都放入甲袋，再从甲袋中随机取个球，求该球为红球的概率．

19.  本小题分
某商品天日销量单位：件的频率分布直方图如图所示．
求；
估计该商品天日销量的中位数结果保留一位小数；
估计该商品天日销量的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表．

20.  本小题分
已知，，．
求；
若点，满足，为坐标原点，求的最小值．

21.  本小题分
已知四棱锥的体积为，底面为平行四边形，，分别是，上的点，，，平面交于点．
求；
求多面体的体积．

22.  本小题分
如图，在三棱台中，平面，，，，．
证明：；
求与平面所成角的正弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据复数四则运算法则计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以这组数据的第百分位数是第个数据，为．
故选：．
将数据数量值乘以百分比即可得出答案．
本题考查百分位数，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，，则，
异面直线与所成角即为异面直线与所成角，
而异面直线与所成角的余弦值为，
因为，均为等边三角形，，
所以，
在中，，，
因为，所以，所以，
，所以．
故选：．
取的中点，连接，，由题意可知异面直线与所成角的余弦值为，求出，，，由余弦定理求解即可．
本题考查异面直线所成的角，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，队中，甲答出的概率为，乙答出的概率为，
则甲、乙答不出的概率分别为，，
故A队答出的概率为．
故选：．
根据题意，求出甲、乙不能回答问题的概率，由对立事件的概率性质分析可得答案．
本题考查概率的应用，涉及互斥事件、相互独立事件的概率计算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得抽样比为，
则高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为，，，
设高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为小时，由，得小时．
故选：．
先求出抽样比，根据抽样比求出高三年级抽取的学生的平均睡眠时间，再根据三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为小时列式可求出结果．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，，，得，，
则，，又四边形为平行四边形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
在平面内，作于点，平面平面，平面平面，
平面，则即为所求点到平面的距离，
在直角三角形中，，又，
．
到平面的距离为．
故选：．
计算可得，结合平面平面，得平面，平面平面，在平面内，作于点，则即为所求点到平面的距离，计算可得结果．
本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：圆的直径，，
，
得取的中点，则，
．
故选：．
由题意知，从而可得，即，取的中点，可得，由数量积的定义求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图一得，
由图二得，
解得，故．
故选：．
根据独立事件的概率乘法公式，建立方程，可得答案．
本题考查了独立事件的概率乘法公式，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
对于，若为实数，
则，故A正确；
对于，若为纯虚数，
则，解得，故B错误；
对于，因为，
所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，C错误，D正确．
故选：．
根据已知条件，结合实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：的对立事件为，
与互斥的事件应为的子事件，
即“总命中次数不是次且第次命中”，
故只有符合．
故选：．
根据互斥事件的定义逐一分析即可．
本题考查了互斥事件的定义，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，所以，所以，故A正确；
因为，且，所以，故B正确；
因为，所以，所以，所以，故C错误；
因为，所以，则
，D正确．
故选：．
根据已知，利用复数概念、性质计算求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示，

易得，即，在同一平面，A错误；
平面截正方体所得的截面是边长为的正六边形，
该正六边形的面积为，B正确；
易证平面，平面，又，
则平面平面，
因为平面，
所以平面，C正确；
易证，又，，
则平面，
则，D正确．
故选：．
根据图形易得，即，在同一平面，A错误；平面截正方体所得的截面是边长为的正六边形，B正确；平面平面，C正确；平面，D正确．
本题主要考查直线与平面平行，平面的基本性质及推论，异面直线的判定，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，
所以．
故答案为：．
利用数量积的运算法则将展开，结合求解即可．
本题考查向量的数量积，解题关键是熟练掌握数量积公式，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：若一组个数据，，，的平均值为，
所以，
即，
不妨设这组数据的方差为，
此时，
即，
则．
故答案为：．
由题意，根据平均数和方差的计算公式，进行求解即可．
本题考查平均数和方差，考查了逻辑推理和运算能力．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，因为是平行四边形，所以，
所以∽，所以，
得，
所以，，得．
故答案为：．

根据平行四边形的性质，结合相似三角形的判定、平面向量基本定理进行求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设该圆台的高为，则，解得．
设圆台上、下底面半径为，，所以，，解得：，
当圆台的上、下底面在球心的两侧时，
设球心到下底面的距离为，球的半径为，
则，所以，解得，
则，故球的表面积为．
当圆台的上、下底面在球心的同侧时，
设球心到下底面的距离为，球的半径为，
则，所以，解得：，不符合题意．
故答案为：．
由圆台的体积公式求出圆台的高，再由圆的面积公式求出圆台上、下底面半径，讨论当圆台的上、下底面在球心的同侧时不满足题意，当圆台的上、下底面在球心的两侧时，设球心到下底面的距离为，球的半径为，由，解方程求出，即可求出，再由球的表面积公式求解即可．
本题考查圆台与球的结构特征及其体积，表面积，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意得，
，
所以或舍去，
故；
设，
则，
所以，解得或，
所以或． 

【解析】根据复数的模长公式即可求解．
根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：记事件甲袋取红球且乙袋取白球，则，
事件甲袋取白球且乙袋取红球，则，
所以这个球是个红球个白球的概率为；
该事件等同于“从乙袋中任取个球放进甲袋，再从甲袋中取个球，且该球为红球”，
所以所求事件的概率为． 

【解析】由题意可知个球为个红球个白球可以是：甲袋取红球且乙袋取白球或甲袋取白球且乙袋取红球，分别求出其概率即可；
该事件等同于“从乙袋中任取个球放进甲袋，再从甲袋中取个球，且该球为红球”，进而可以求出结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：由频率分布直方图可知，，
解得；
设该商品天日销量的中位数为件，
因为第一组和第二组数据的频率之和为
第一组、第二组和第三组数据的频率之和为，
所以，
则，
解得；
该商品天日销量的平均数的估计值为． 

【解析】根据频率之和为即可求解；
根据中位数的计算公式结合条件即得；
根据平均数的计算公式即可求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和中位数的计算，属于基础题．
 

20.【答案】解：由，可得，又，．
由，，可得点坐标为，
所以，
，
，当时，取最小值，最小值为． 

【解析】由向量模长得到关于的方程，求解即得；
首先求出点坐标，进而得到的坐标，表示出模长，配方求得最小值．
本题考查平面向量的坐标运算，属基础题．
 

21.【答案】解：如图，延长，交于点，取的中点，连接，则，
由图可知，∽，，
，
连接，则在上，
，，，≌，
可得，即；

连接，，，，则，
，
，
． 

【解析】延长，交于点，取的中点，连接，则，由三角形相似得到，连接，则在上，再证明三角形全等即可得到结论；
利用比例关系以及等体积法，由体积公式求解．
本题考查多面体体积的求法，训练了等体积法的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】证明：因为平面，，
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，
所以，即C.
解：由知，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
设与平面所成角为，则，，
故A与平面所成角的正弦值为． 

【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出所需各点的坐标，由，即可得证；
求得平面的法向量，设与平面所成角为，由，，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直、求线面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．